d’in-flexion de la courbe de croissance,
– la longueur caractéristique de la croissance λ,
– le temps τ qu’il reste à partir de ℓ = ℓx pour casser totalement l’échantillon. Les ajustements sont fait à travers les trois variables libre ℓx, λ et τ .
Le non-recouvrement des échelles expérimentales en longueur initiale ℓi et en contrainte appliquée σ ne permet pas d’obtenir les courbes décrivant les formes fonc-tionnelles de ℓx(ℓi)σ, ℓx(σ)ℓi, λ(ℓi)σ et λ(σ)ℓi. Nous n’allons donc pas présenter plus avant les résultats donnés par les ajustements des courbes de croissance. On peut seulement noter qu’à travers toutes les expériences réalisées pour différentes lon-gueurs initiales de fissures et forces appliquées, ℓx évolue entre 1 et 5cm et λ entre 0.7 et 1.1cm.
4.4 Autocohérence de la dynamique pour une contrainte
appliquée et une longueur initiale de fissure données
Dans cette section, on étudie la dispersion et l’autocohérence des comportements dynamiques à l’intérieur de séries d’expériences réalisées pour des conditions ex-périmentales identiques. Sur la figure 4.21(a), on observe trois courbes représen-tant la longueur de la pseudo-fissure en fonction de la longueur de la fissure pour trois expériences réalisées dans des conditions expérimentales identiques (ℓ = 1.5cm, F = 920N). Si on considère deux expériences α et β, pour une même contrainte appliquée σ, on constate expérimentalement que l’inégalité :
ℓβpz(ℓ) > ℓαpz(ℓ) (4.9)
est vraie partout si elle vérifiée pour une certaine valeur de ℓ. De plus l’écart entre les valeurs de ℓpz croît sans cesse avec la longueur de la fissure ℓ. Sur la figure 4.21(b), on observe trois courbes représentant la vitesse de croissance de la fissure en fonction de la longueur de la fissure pour les trois mêmes expériences que dans la figure 4.21(a). On constate que les vitesses des fissures, v = dℓ/dt, vérifient pour tout ℓ l’inégalité :
vα(ℓ) > vβ(ℓ) (4.10) si elles la vérifient quelque part. De plus, il existe une très forte corrélation entre le niveau de valeur de ℓpz et le niveau de dℓ/dt au cours de l’expérience. En effet, pour une même contrainte appliquée, on constate toujours que si le niveau de ℓpz est grand, le niveau de vitesse de croissance dℓ/dt va être faible.
Pour illustrer plus globalement la corrélation entre la valeur du rapport ℓpz/ℓ et la dynamique de rupture, on trace le rapport maximum (ℓpz/ℓ)max au cours de chaque expérience en fonction du temps de rupture correspondant Tr. On observe outre la dispersion des données une croissance monotone de (ℓpz/ℓ)max avec Tr (cf. figure 4.22).
Pour récapituler, si on considère une série d’expériences réalisées dans des condi-tions identiques, on observe initialement une statistique sur les vitesses de croissance
1.5 2 2.5 3 3.5 4 3 4 5 6 7 T r (a) ℓ (cm) ℓpz (c m ) 1.5 2 2.5 3 3.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9x 10 -3 (b) ℓ (cm) d ℓ/ d t (m .s − 1 )
Fig. 4.21 – (a) Longueur de la pseudo-fissure, (b) vitesse de croissance de la fissure, en fonction de la longueur de la fissure, pour trois expériences réalisées dans des conditions expérimentales identiques (ℓ = 1.5cm, F = 920N).
(cf. figure 4.21(b)). Une fois un niveau de vitesse initiale établi, celui-ci va rester cohérent tout au long de l’expérience et va de plus être fortement corrélé avec la taille de la zone plastique. Il semble ainsi qu’il y ait une sorte de rétroaction entre la vitesse dℓ/dt et la longueur ℓpz qui maintienne cohérent le niveau de la dynamique pendant toute la durée de l’expérience.
Pour interpréter naïvement cette rétroaction, on peut faire un raisonnement ré-current. Ainsi, considérons deux expériences, notées α et β, de croissance de fissure pour une même contrainte σ appliquée au bord de l’échantillon. Il est très important de noter que les observables expérimentales sont ici considérées comme dépendantes de la variable courante longueur de la fissure ℓ, i.e. :
ℓpz(ℓ), dℓ
dt(ℓ), t(ℓ) ... (4.11) C’est parfaitement possible puisque la croissance de la fissure est irréversible et qu’ainsi la fonction ℓ(t) est bijective.
– Ainsi, pour une certaine longueur de fissure ℓ, on suppose avoir :
ℓβpz(ℓ) > ℓαpz(ℓ) (4.12)
– Ceci implique l’inégalité suivante sur les contraintes moyennes dans la zone plastique estimée grâce à la loi de Dugdale-Barenblatt inversée :
σαy(ℓ) > σβy(ℓ) (4.13)
– Il est souvent admis en mécanique de la rupture que la vitesse de croissance d’une fissure est d’autant plus grande que le taux de restitution d’énergie élas-tique G l’est. Or, G dans le modèle de Dugdale-Barenblatt est croissant avec la
4.4. Autocohérence de la dynamique pour une contrainte appliquée 99 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 1.85 1.9 1.95 2 2.05 2.1 2.15 2.2 2.25 2.3 x 10 Tr (s) (ℓp z /ℓ ) m a x
Fig.4.22 –Maximum du rapport des longueurs ℓpz/ℓ pour de nombreuses expériences dans des conditions expérimentales variées en fonction du temps de rupture Tr.
contrainte σy dans la zone plastique3. De manière plus terre à terre, il est assez général de considérer que la vitesse de croissance d’une fissure est d’autant plus grande que la contrainte à la pointe de celle-ci l’est. Ainsi, on écrit que :
dℓ dt α (ℓ) > dℓ dt β (ℓ) (4.14)
– Le temps nécessaire pour atteindre le pas de longueur de fissure suivant ℓ + δℓ vérifie alors clairement l’inégalité :
δtα < δtβ. (4.15) – Sous l’influence du fluage et des effets visqueux, la zone plastique va d’autant
plus grandir qu’elle aura de temps pour le faire entre ℓ et ℓ + δℓ, d’où : δℓβpz > δℓαpz. (4.16) – Finalement, au pas suivant de longueur de fissure ℓ + δℓ, on aura l’inégalité :
ℓβpz(ℓ + δℓ) > ℓαpz(ℓ + δℓ) (4.17) avec même un accroissement de l’écart entre les longueurs des pseudo-fissures. Ce raisonnement récurrent, réalisé en considérant ℓ comme la variable courante, laisse entrevoir un mécanisme de rétroaction possible permettant d’expliquer la cor-rélation entre la vitesse de la fissure et le niveau de valeur du rapport ℓpz/ℓ au cours d’une expérience. Il permet aussi de comprendre très qualitativement pourquoi si l’expérience démarre sur un certain niveau de vitesse dℓdt et du rapport des longueurs ℓpz/ℓ, elle le conserve au cours de la croissance de la fissure.
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