1 Problèmes d’élastoplasticité
1.1 Aspects phénoménologiques
1.1.1 Mise en évidence de la plasticité
Destinée à l’origine à caractériser le comportement des métaux ou des alliages mé-talliques, la plasticité peut se comprendre par les mécanismes liés aux mouvements des dislocations. Aujourd’hui, son formalisme est utilisé pour décrire le comporte-ment d’autres types de matériaux comme le béton, les sols ou même des composites à l’instar du bois, bien que les mécanismes mis en jeu n’ont alors plus rien à voir avec les dislocations. On peut dissocier en deux catégories de solides les matériaux plastiques en fonction de leur dépendance au temps, c’est-à-dire s’il est visqueux ou non.
La figure Fig.(2.1) présente les courbes d’écrouissage, de réponse à des essais unidimensionnels de fluage et de relaxation d’un solide élastoplastique. Le compor-tement de ce type de matériaux est élastique tant que la contrainte est inférieure à un seuil, puis élastoplastique dès que celui-ci est dépassé. On peut noter que la dé-charge est elle aussi élastique et qu’il subsiste une déformation résiduelle irréversible, dont l’amplitude dépend du chargement.
ǫ0 σ0 t σ ǫ σ ǫ
´ecrouissage fluage relaxation t
Figure 2.1: Courbes d’écrouissage, de réponse à un essai de fluage et à un essai
de relaxation d’un matériau élasto-plastique
Dans le cas des solides élasto-viscoplastiques, on retrouve sur la figure Fig.(2.2) les courbes d’écrouissage, de réponse à des essais unidimensionnels de fluage et de relaxation d’un solide élasto-viscoplastique. On retrouve les notions de seuil et de déformations irréversibles déjà présentes dans le cas élastoplastique, mais avec un effet de vitesse supplémentaire.
Ces exemples unidimensionnels mettent en avant les notions intrinsèques au phénomène de plasticité : qu’elles soient visqueuses ou non, des déformations
t σ
ǫ
σ ǫ
´ecrouissage fluage relaxation
σ0 ˙ǫ
ǫ0
t
Figure 2.2: Courbes d’écrouissage, de réponse à un essai de fluage et à un essai
de relaxation d’un matériau élasto-viscoplastique
vérifiant alors une loi d’écrouissage. Le schéma rhéologique Fig.(2.3) synthétise le comportement unidimensionnel (modèle de Bingham généralisé).
comportement ´elasto-plastique Ep γ σe comportement ´elasto-viscoplastique Ee
Figure 2.3: Schéma rhéologique représentant l’élasto(-visco)plasticité. Ee
caracté-rise la déformation élastique, Ep l’écrouissage, σela limite d’élasticité et γ la viscosité
Partant de constats empiriques, on peut supposer une décomposition de la
défor-mation totale en une partie élastique réversible ǫeet une partie plastique irréversible
ǫp :
ǫ = ǫe+ ǫp
Tandis que la classique loi de Hooke s’applique dans la plupart des cas à la partie élastique, la partie plastique va suivre une loi d’écoulement ou loi d’évolution. Tout
d’abord, la déformation plastique n’évolue que si σ = σe ou f = σ − σe= 0 :
˙ǫp = 0 si σ < σe ou f < 0
˙ǫp 6= 0 si σ = σe ou f ≥ 0 (2.1)
La définition du seuil de plasticité f = 0 est complexe, surtout pour les problèmes multidimensionnels. Deux notions sont nécessaires afin de traduire une représenta-tion proche de la physique. La grandeur f étant scalaire, une mesure tensorielle doit être introduite afin de traduire le critère f = 0 permettant de définir la limite d’élasticité. Ensuite, des essais cycliques ont mis en avant l’aspect évolutif de la
1.1.2 Limite d’élasticité
La figure Fig.(2.4) présente le dépouillement d’un essai de traction-torsion dans la direction 33 (voir [Calloch, 1997]). Le seuil de plasticité f = 0 y est représenté
en fonction des seules composantes de la contrainte non nulles, i.e. σ23 et σ33. On
remarque que les deux composantes jouent différemment sur la position du seuil, mettant en avant le caractère tridimensionnel de la limite d’élasticité.
Figure 2.4: Seuil de plasticité (f = 0) en fonction des contraintes σ23 et σ33, issu
d’un essai de traction torsion [Calloch, 1997]. Les losanges représentent les valeurs issues des essais, la ligne continue la valeur de la contrainte équivalente de von Mises
Il est alors nécessaire de définir une mesure pour délimiter le domaine élastique
f = mes ( ) − σe < 0 (2.2)
On trouve dans la littérature des critères orthotropes ou isotropes ; seuls les deux plus courants critères isotropes sont présentés dans ce travail, mais de nombreux travaux présentent la plupart des outils, dont [Salençon, 2002, Lemaitre et al., 2009]. Les déformations plastiques des métaux sont les résultats de glissements, de cisaillements cristallins, dont l’amorçage est gouvernés par les contraintes tangentielles. Partant de ce constat, la plupart des critères se basent sur le cisaillement.
Critère de Tresca
Le critère de Tresca est un critère en cisaillement maximum. Il stipule que le comportement du matériau rentre dans le régime plastique dès que la contrainte de cisaillement τ dans une direction donnée atteint une valeur critique. Cette contrainte de cisaillement est définie telle que :
τ = supi6=j|σi− σj| 2
où les contraintes σi sont les contraintes principales. La définition du domaine élas-tique Eq.(2.2) associée au critère de Tresca s’écrit alors :
f = supi6=j|σi− σj|
2 − σe
La figure Fig.(2.5) de gauche illustre le seuil de plasticité dans le plan des
contraintes principales (σI, σII) lorsque celui-ci est basé sur le critère de Tresca
et que la contrainte σIII est nulle.
f < 0 f > 0 f = 0 f < 0 f > 0 σ ii σ i σ ii σ i f = 0
Figure 2.5: Seuil de plasticité dans le plan (σI, σII) pour les critères de Tresca
(figure de gauche) et de von Mises (figure de droite) (σIII = 0).
Critère de von Mises
Le critère de von Mises est un critère en énergie. Basé sur l’énergie élastique de cisaillement, il stipule que le comportement du matériau devient plastique lorsque
l’énergie élastique de cisaillement Wc atteint une valeur seuil Wc,f. Cette énergie est
définie comme l’énergie de déformation élastique à laquelle est retirée l’énergie de
dé-formation hydrostatique associée. En introduisant det e,d les parties déviatoriques
des tenseurs de contraintes et de déformation élastique1
, on a : Wc = 1 2Tr [ d. e,d] (2.3) = 1 4µTr [ d. d] ≤ Wc,f
en utilisant la loi d’élasticité linéaire, où µ est le module de cisaillement.
Dans le cas de l’utilisation d’un critère de von Mises, la limite d’élasticité est ainsi définie sur le carré de la contrainte déviatorique. Afin de retrouver un critère
en contrainte, on peut introduire la contrainte équivalente de von Mises σvm telle
1. Xd= dev(X) = X −1
que2
:
σvm = pTr [✛d.✛d] (2.4)
= k✛dk
Et le critère en énergie peut se mettre sous la forme :
Wc ≤ Wc,f ⇔ k✛dk ≤ σe (2.5)
La définition du domaine élastique Eq.(2.2) associée au critère de von Mises s’écrit alors :
f = k✛dk − σe
La figure Fig.(2.5) de droite illustre le seuil de plasticité dans le plan (σ11, σ22)
lorsque celui-ci est basé sur le critère de von Mises. Ce critère étant le plus courant, c’est celui retenu pour la suite de cette étude.
1.1.3 Notion d’écrouissage
Il existe deux grands types d’écrouissage permettant de traduire l’évolution de la limite d’élasticité en fonction de l’histoire du chargement : l’écrouissage cinématique et l’écrouissage isotrope. L’écrouissage isotrope R consiste en l’agrandissement du domaine d’élasticité et l’écrouissage cinématique X en son déplacement. Le seuil se met alors sous la forme suivante :
f = mes (✛ − X) − (R + R0) (2.6)
où R0 caractérise la taille initiale du domaine d’élasticité. La figure Fig.(2.6) illustre
ces deux phénomènes.
Le travail présenté ici se réduit aux problèmes d’écrouissage isotrope.