4-3-1 Dans les travaux de Barnes
Dans ses travaux, Barnes (2005), qui conduit ses recherches en Afrique du Sud, s’appuie sur les travaux de l’institut Freudenthal. Le schéma ci-dessous présente les phases de mathématisation horizontale et verticale pour une situation posée dans un contexte réaliste :
Figure 21 : Représentation de la mathématisation horizontale et verticale de Barnes (2005) Barnes commente ainsi ce schéma :
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« Horizontal mathematisation is when learners use their informal strategies to describe and solve a contextual problem and vertical mathematisation occurs when the learners' informal strategies lead them to solve the problem using mathematical language or to find a suitable algorithm (Treffers,1986). For example, in what we would typically refer to as a "word sum", the process of extracting the important information required and using an informal strategy such as trial and error to solve the problem, would be the horizontal mathematising. Translating the problem into mathematical language through using symbols and later progressing to selecting an algorithm such as an equation could be considered vertical mathematisation, as it involves working with the problem on different levels. » (Barnes 2005)
L’auteur décrit le travail de mathématisation horizontale comme relevant de la description de la situation réelle et de la sélection des informations importantes dans la réalité qu’il schématise par « describing ». Le travail de la mathématisation verticale relève pour l’auteur de la traduction des aspects retenus du problème en langage mathématique et du traitement mathématique.
4-3-2 Dans les travaux de Rasmussen & al.
Les travaux de Rasmussen & al. (2005), s’appuient également sur les deux aspects de la mathématisation distingués dans la RME dans l’objectif de donner un cadre pour analyser une progression dans la mathématisation en adaptant les notions de mathématisation horizontale et verticale pour la résolution de problèmes intra mathématiques.
« Horizontal mathematizing refers to formulating a problem situation in such a way that it is amenable to further mathematical analysis. Thus, horizontal mathematizing might include, but not be limited to, activities such as experimenting, pattern snooping, classifying, conjecturing, and organizing. » (Rasmussen & al. 2005, p.54)
« Vertical mathematizing consists of those activities that are grounded in and built on horizontal activities. Thus, vertical mathematizing might include activities such as reasoning about abstract structures, generalizing, and formalizing. » (Ibidem)
Rasmussen & al. utilisent les notions de mathématisation horizontale et verticale comme un moyen de développer l’idée de faire progresser l’activité mathématique. Dans leur article, ils décrivent les activités qui relèvent de ces deux aspects.
« We further put forward the notion of progressive mathematization, composed of horizontal and vertical mathematizing activities, as a means to develop the idea of advancing mathematical activity » (Op.cit p.70)
Dans le cas des trois pratiques symboliser, algorithmiser et définir, ils décrivent les activités mathématiques pour chacune d’entre elles en distinguant celles qui relèvent de l’aspect horizontal de celui vertical.
76 Le travail de mathématisation horizontale est associé à la formulation d’un modèle et à sa représentation, tandis que le travail de mathématisation verticale est associé à la mise en relation dynamique de la symbolisation issue de la mathématisation horizontale.
pour la pratique algorithmiser,
Le travail de mathématisation horizontale est associé à la création de procédures aidant à l’organisation du problème et répondant à des sous-questions qu’ils se posent, tandis que le travail de mathématisation verticale est associé à la généralisation et au développement des procédures précédemment créées.
pour la pratique définir,
Le travail de mathématisation horizontale est associé à l’utilisation de définition d’objets mathématiques déjà connus, tandis que le travail de mathématisation verticale est associé à la construction de nouveaux concepts, et à l’étude des relations entre ces concepts en posant la question de leur généralisation.
De l’analyse de ces trois pratiques dans le cadre de la distinction des activités qui relèvent des aspects horizontal et vertical ressort l’importance de l’interaction entre créer et utiliser, interaction présente dans ces deux aspects.
« The emphasis on activity, that involves both doing and thinking, resonates with a view of learning as participating in different practices that engage particular goals and purposes of those involved. Essential to the classroom teaching experiments from which we developed the construct of advancing mathematical activity was the fact that explicit attention was paid to explanation and justification. In particular, it became normative for students to routinely explain their thinking in whole class discussions, attempt to make sense of other students’ thinking, and indicate agreement or disagreement with other students’ mathematical ideas, interpretations, and conclusions. » (Rasmussen & al., 2005, p.70)
4-3-3 Dans les travaux d’Ouvrier-Buffet (2013)
Dans son habilitation à diriger des recherches, C. Ouvrier-Buffet (2013) propose différentes voies pour modéliser l’activité de modélisation dont une distingue les aspects horizontal et vertical de la mathématisation en appui sur les travaux de Rasmussen & al. (2005). Les conclusions de l’auteure sont les suivantes :
« En définitive, distinguer les niveaux horizontal et vertical dans le cas d’une activité de définition peut permettre schématiquement de dissocier ce qui relève de la formulation de définitions de ce qui relève du processus heuristique de construction de définitions, et fait ressortir la dimension « familiarité » avec les objets et concepts, qui a une place particulière dans l’activité de définition » (Ibid. p.48-49)
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4-3-4 Dans les travaux de Pisa
Les travaux de Pisa17 prennent explicitement appui sur Treffers (1986), on y retrouve la distinction entre les activités de mathématisation horizontale et de mathématisation verticale, permettant de mettre en évidence la progression dans la mathématisation des problèmes. Nous en donnons un exemple dans l’extrait issu de « Mesurer les connaissances et compétences des
élèves. Un nouveau cadre d’évaluation. » (OCDE, 1999, p.55).
78 On y retrouve l’idée d’organisation de la situation réelle de Freudenthal. Dans cet extrait, on peut noter que n’est pas explicitement mis en évidence l’aspect non linéaire des phases de
« La mathématisation, telle qu’elle est utilisée dans le cadre de PISA, est le processus qui permet d’organiser la réalité à l’aide d’idées et de concepts mathématiques. C’est une activité organisatrice dans laquelle sont mises en œuvre des connaissances acquises et des capacités pour découvrir des régularités inconnues, des relations et des structures (Treffers et Goffree, 1985). Ce processus est parfois qualifié de mathématisation horizontale (Treffers, 1986). Il fait appel à des activités telles que :
- Identifier, dans un contexte général, les éléments spécifiquement mathématiques : - Schématiser
- Formuler et visualiser le problème : - Découvrir des relations et des régularités :
- Reconnaitre des similitudes dans des problèmes différents (De Lange, 1989)
A partir du moment où le problème a été transformé en un problème mathématique, il peut être résolu au moyen d’outils mathématiques. En d’autres termes, on peut utiliser des outils mathématiques pour manipuler et affiner le modèle mathématique du problème réel. On parle alors d’un processus de mathématisation verticale, qui se distingue par les activités suivantes :
- Représenter une relation par une formule - Démontrer des régularités
- Affiner et ajuster des modèles
- Combiner et intégrer des modèles : ainsi que - Généraliser
Le processus de mathématisation se joue ainsi en deux phases différentes : la mathématisation horizontale, processus qui traduit le monde réel en monde mathématique ; la mathématisation verticale, processus de traitement du problème au sein des mathématiques à l’aide d’outils mathématiques, en vue de résoudre le problème. Réfléchir sur la solution trouvée au regard du problème original est une étape essentielle dans le processus de mathématisation qui bien souvent ne bénéficie pas de l’attention nécessaire.
On pourrait évidement soutenir que le processus de mathématisation intervient dans toutes les classes de compétences* puisque, dans tout problème contextualisé, on doit forcément identifier les mathématiques pertinentes. Toutefois, dans le cadre du projet OCDE/PISA, on donne une importance particulière au type de mathématisation sollicité dans la classe 3. C’est cette forme de mathématisation qui dépasse la simple reconnaissance de problèmes connus. »
*Trois classes de compétences sont proposées dans les travaux de PISA (Ibid.p.55) : La classe 1 : Reproduction, définitions, calculs
La classe 2 : Mise en relation et intégration pour résoudre des problèmes La classe 3 : Mathématisation, généralisation et compréhension en profondeur
79 mathématisation horizontale et verticale ce qui pourrait rejoindre la crainte de Freudenthal de les travailler indépendamment.
4-4 La mathématisation horizontale dans notre recherche
« Aujourd'hui, la plupart d'entre nous serons d'accord pour dire que les étudiants devraient aussi apprendre la mathématisation de questions non mathématiques (ou insuffisamment mathématiques), c'est à dire, d'apprendre à les organiser dans des structures accessibles à des traitements mathématiques. » (Freudenthal 1973, p. 133, traduit par nous)
4-4-1 Les définitions retenues dans notre travail
Dans notre étude, l’activité de modélisation mathématique est proposée à partir de situations posées dans un contexte réaliste. Comme dans les travaux de Treffers (1978) et Freudenthal (1973,1991), nous distinguons le travail de mathématisation nécessaire pour passer du réel au monde mathématique de celui de la mathématisation du problème mathématique obtenu, en utilisant les expressions mathématisation horizontale et mathématisation verticale issues du cadre de la RME.
Nous retenons des travaux d’Israël (1996) qu’un modèle rend compte non pas de la réalité mais de certains aspects de cette réalité et définissons un modèle mathématique comme « un
fragment de mathématique appliqué à un fragment de réalité ». Nous faisons l’hypothèse que
lors d’une activité de modélisation d’une situation réelle, il est nécessaire de « choisir un
fragment de réalité sur lequel on va se questionner pour construire un modèle en vue de répondre à la question posée ».
Nous retenons des travaux de Treffers (1978) et de Freudenthal (1991) que pour passer d’une situation réelle au monde mathématique, un travail de mathématisation horizontale est nécessaire pour identifier et choisir des aspects pertinents de la situation réelle qui vont permettre d’envisager un traitement mathématique avant d’envisager l’élaboration d’un modèle mathématique.
Ainsi, pour notre étude, nous définissons la mathématisation horizontale comme suit :
La mathématisation horizontale relève du choix d’un fragment de réalité, de l’identification et du choix de certains aspects de ce fragment de réalité susceptibles de relever d’un traitement mathématique puis de leur mise en relation en vue de construire un modèle mathématique.
80 Pour définir la mathématisation verticale, nous retenons la définition de Treffers (1978) :
La mathématisation verticale relève du travail mathématique à l’intérieur « du
monde des symboles », c’est-à-dire du traitement mathématique d’un problème
mathématique.
A partir de ces définitions et en appui sur les travaux que nous avons cités précédemment, nous présentons dans ce qui suit les différentes formes de la mathématisation horizontale et de la mathématisation verticale, que nous utiliserons dans notre étude.
4-4-2 Les formes de la mathématisation horizontale dans notre étude
Choisir un fragment de réalité sur lequel on se questionne en vue de répondre à la question posée
Identifier et choisir les aspects du fragment de réalité (éléments de contexte, grandeurs) susceptibles de relever d’un traitement mathématique
Mettre en relation les aspects retenus en vue de la construction d’un modèle mathématique
En appui sur les travaux de Chabot & Roux (2011), nous rajoutons une forme : La quantification
Selon les auteurs, la quantification est une forme de mathématisation qui définit « très
généralement la manière dont certaines propriétés sont associées à des quantités. » (Chabot &
Roux, 2011, p.13)
« Cette association peut se faire par un décompte élémentaire sans instrument (on compte les centimètres de pluie tombés chaque année, on mesure la taille des conscrits, etc.) ou supposer l’intervention de procédures plus complexes de mesure, avec dans certains cas des appareillages plus complexes (on ne mesure pas l’intensité d’un courant électrique ou la vitesse d’une particule à l’œil nu). » (Ibid. p.13)
Nous faisons l’hypothèse que cette forme de mathématisation permet d’envisager un traitement mathématique et en cela nous la considérons comme relevant de la mathématisation horizontale.
4-4-3 Les formes de la mathématisation verticale dans notre étude
Notre étude porte sur la mathématisation horizontale mais nous avons vu précédemment que les aspects horizontaux et verticaux de la mathématisation ne doivent pas être considérés de
81 manière indépendante; il est nécessaire de prendre en compte leurs articulations au sein du processus de modélisation. Par conséquent, en appui sur Freudenthal (1991) et Rasmussen & al (2005), nous dégageons des formes de la mathématisation verticale susceptibles de s’articuler avec le travail de mathématisation horizontale :
La traduction mathématique de la mise en relation des grandeurs pertinentes choisies Le traitement mathématique à partir de cette traduction