Dans le cas du cristal, nous supposons encore avoir un pseudospineur à trois com posantes. Dans ce cas l’éq.(6.6) n ’a plus les matrices de Pauli mais bien les matrices génératrices de rotations dans le groupe S U (3), les m atrices de Gell-Mann (Ta). Ces dernières sont présentées dans l’annexe F. Donc sans connaître le pseudospineur exact nous connaissons les champs avec lesquels il est possible d ’écrire le modèle S N L . Si la moyenne est prise avec l’é ta t cristallin, les champs de l’éq.(6.6) s’écrivent aussi comme :
(Ta (r)) = 5 Z < n |ra |m )/i*n X (r) hm,x , (r) ( 4 , x cm,V') , (6.17)
X , X ' n jr i
alors que dans l’espace de Fourier :
(Ta
(q))
= Né 5 ^ ( n |T a[m)Kn,m(-q)
<Pn,m(q)>
■ (6-18)Chapitre 6 : Modèle de pseudospin et stabilité topologique 121 Dans le ehap.3, le calcul de toutes l’information nécessaire pour calculer Péq.(6.18) est donné. La forme des huit champs est donnée dans les éq.(F.9), (F. 10), ( F .ll) , (F 1 2 ), (F.13), (F.14), (F.15) et l’éq.(F 16). Nous désirons toutefois connaître le com portem ent des param ètres d ’ordre seulement. Nous définissons alors les champs de centre d ’orbite, c’est-à-dire que les facteurs de forme sont mis à un. Les champs deviennent alors :
T i(
q)
=/40a)(q),
(6.19) T2 (q)
II ■g (6.2 0)q) =
p£0'1}(q)
, (6.2 1)r4(q) =
Px°’2)(q)
; (6.2 2)r5(q)
IIê
(6.23)r6(q) =
Px'2)(q)
, (6.24) T r(q)
= p ^ H v ) , (6.25) T s(q)
= 2^ (po,o(q) +
p h1(q)
2p 2 2 (q)) , (6.26) avec : p (n ,m ) =Pn.m
(Q) + P rn,n(g) ^ (6.27) pC,m) / ) ^ Pn,m (g) ~ Pm,n (g) ^ (6.28) v 2 i ’ p(n<Jn) (q ) = (q ) _ ^ ^ (q ) (6-29)Un exemple de ces champs de vecteur dans la phase cristalline est donné dans la fig.(6.2). Le champ de spin de la fig.6.2 (a) est, comparé à la fig.(6.1), très semblable à un skyrmion de spin. C ’est pour cela que nous pensons que le cristal est peut-être stable topologique- ment. Le bu t est donc de retrouver le modèle S N L donné par l’éq.(6.8), où (S) est m aintenant un vecteur à huit composantes données par les huit champs (Fa), dans l’ha- miltonien Hartree-Fock. Pour ce faire, nous suivons la démarche em pruntée par Gosh et R ajaram an [28] en développant l’énergie Hartree-Fock pour des interactions aux grandes longueurs d ’onde. L’énergie moyenne Hartree-Fock est donnée par :
Chapitre 6 : Modèle de pseudospin et stabilité topologique 122
FIG U R E 6 .2 - Les champs de vecteurs sont sans les facteurs de forme ( a ) — C ham p de vecteur p®1, pj)1 et le fond, est la variation de fPzl . (b) — C ham p de vecteur p]2, p*2 et le fond est la densité d’électrons, (c) — Les champ de vecteurp®2, p°2 et le fond est Ts
Chapitre 6 : Modèle de pseudospin et stabilité topologique 123 N a e 2 2
(H° ) = ~ ^ T
^ 2 H nU,m(q) < P „ , t ( - q ) > (pl,m(q ) > - 5 3 ^ n , m ^ ( q ) {pn,t{~q )> (Pl,m(q ) > >
n,m,/,£=0 q^O
<ft,m(q)>=^
J d r eîq'r
(6.30) (6.31) ^ T p T = ~ ^ ] ^ n i , n 2 ,n 3 ,n 4 ( f l = ® ) ( P n x , n 2 (*3 ~ ^ ) ) ( P n 3 , n t ( q = O ) ) (6.32) ^ \k£ J n i , n 2 , n 3 , n 4 = 0 2 + ^ è / / dr,rfr [■ffn,M,ni(r/ - r) - - r)] <p„>t(r')> {p^m(r)> •L’approximation proposée est que l’interaction en cham p magnétique ne fait que coupler les centres d ’orbite qui ne sont pas trop éloignés, donc ceux séparés environ par Ceci se trad u it par :
( p n A r > ) ) - ( P n À r )> + Y , d(P; ; t ( r )) (X 'i ~ X i ) + l Y l W ^ ( X i ~ X i ) ’
2 3
h3
(6.33) avec x i — x et x2 = V- En insérant l’éq.(6.33) dans l ’éq.(6.32) et en effectuant beaucoup de manipulations algébriques, il est possible de m ontrer que l’énergie s ’écrit comme :
{ H ç ) ( £ )
- i -
K i t t ) 2 i r P/ *
E
f
J ~ ~ __ n (6.34) Tii,n2,n3,n4=0-xni ,n4 ,n3,n
2 (q = 0 ) ( p nun2( r ) ) ( p71$,7 1 4 (**) } A Tli ,ÎÎ4*JÎ3,n2(?i»0) <?i=0 , A dç.^ ”3,«2, « i , n 4 (?t ) 0) <7i=0 .E
j ( J X n i , n 4 , r i 3 , n 2 ( . Qi i Q j ) ■P]i \ dqj q i = 0 q j = 0 (d j(p n un2(r ))) ( M / V n » } ) }Chapitre 6 : Modèle de pseudospin et stabilité topologique 124 Le troisième terme commence à ressembler à celui de Péq.(6.8). Il faut combiner les 81 possibilités pour voir s’il est possible de retrouver l’éq.(6.8). Il reste toutefois les deux premiers termes qui ne peuvent pas être dans le modèle S N L . Il ne semble pas possible d ’obtenir le modèle voulu. Il est peut-être possible d ’avoir un modèle modifié qui adm et quand même un soliton. Le travail de combiner les (pni,n2(r )) pour obtenir les champs Y2a (di (Ta (r)))* (di (Ta (r))) est encore à faire. Il est donc encore à déterm iner si le cristal est stable topologiquent.
C onclusion
Sachant que la phase du liquide incohérent dans l ’orbital n — 0 est l’é ta t fondam ental dans la bicouche de graphène quand X LL > 0 et que le remplissage est entier i>kv ~ — 1, il était surprenant de trouver une instabilité dans les modes collectifs de ce même liquide dans la tricouche de graphène. Le projet commence donc p ar l’étude de la tricouche de graphène. Nous identifions la zone de brillouin dans le réseau réciproque d ’une couche de graphène. C ette zone possède deux vallées identifiées par K + et JRf_. Le modèle liaison forte est utilisé pour déterminer l’ham iltonien du système. Nous trouvons six bandes d ’énergies et le système n ’a pas de gap d ’énergie. L ’introduction d ’une différence de potentiel entre les couches aux extrém ités ouvre un gap dans la stru ctu re de bande. Nous dérivons ensuite un modèle de faible énergie à deux bandes autour des vallées. L’énergie a une dispersion cubique à l’ordre zéro e t l’hamiltonien est qualifié de chiral puisque la direction du pseudospin des atomes est liée à la quantité de mouvement de l’électron. Nous introduisons ensuite un cham p magnétique e t obtenons aussi un modèle à faible énergie à deux bandes. Encore à l’ordre zéro, ce modèle effectif possède trois orbitales dégénérées dans le niveau de Landau N = 0. Chaque niveau de Landau possède la dégénérescence de spin de vallée et celle des centres d ’orbite X , rendant chaque niveau dégénéré 4N# fois, exactement comme la bicouche et la simple couche de graphène. Le niveau N = 0 possède donc une dégénéresence supérieure de 12N0. C ette dernière a été observée dans le saut entre les plateaux de la conductivité de Hall. Si nous introduisons une différence de potentiel entre les première et troisième couches et le param ètre y 4, alors la dégénérescence orbitale est levée.
Nous introduisons ensuite l’interaction de Coulomb au modèle effectif en champ m a gnétique. L’interaction de Coulomb est traitée dans l’approximation Hartree-Fock. À cause de cette interaction, nous montrons que les remplissages étudiés, u — —5, —4 ,4 et 5 reviennent à étudier un système à trois niveaux et non douze parce que le spin et la
Conclusion 126 vallée sont polarisés. Ainsi, nous résolvons le système d ’équations des fonctions de Green en posant une phase caractérisée par une onde de densité de charge bidimensionnelle. Nous nommons cette modulation cristal. Le résultat est que la tricouche de graphène
2
possède un cristal triangulaire (quand A ll < 0 , 1 ^ et i = 1), alors que la bicouche présente un liquide incohérent pour des conditions identiques. Le diagram m e de phase de la tricouche n ’est pas aussi diversifié que celui de la bicouche. Il est essentiellement composé de trois phases. Pour = L avec la croissance de A l l e t en d éb u tant avec
2
A l l < ~ 0 ,3 8 ^ , le système est dans l’état du liquide incohérent dans l’orbitale n — 2, pour ensuite devenir le cristal triangulaire p our finalement redevenir un liquide incohérent mais polarisé dans l’orbitale n = 0. Le liquide cohérent et une m odulation spatiale en une dimension (onde de charge) sont des solutions possibles, mais totalem ent éclipsées par le cristal. Ce cristal est très robuste. Nous avons aussi montré que cette onde de charge 2D ne fait pas que s’écraser avec l’augm entation du biais électrique. La transition entre le liquide et le cristal est brusque, il y a discontinuité dans la pente des param ètres d ’ordre. Dans le cas f = 2, nous obtenons encore trois phases seulement. Deux liquides in cohérents, les orbitales n — 2, n = 1 pleines pour les A l l < 0, alors que pour A l l > 0, ce sont les orbitales n = 0, n = 1 qui sont pleines. Il y a un état cristallin de trous pris en sandwich entre ces deux dernières phases. Le cristal est possible dans la tricouche parce qu’il existe une énergie de cohésion pour des modulations non-nulles. Puisqu’il y a trois orbitales, il y a moins de contraintes e t cette énergie de cohésion est permise. Il reste toutefois nécessaire de déterm iner la validité de l’approximation Hartree-Fock e t si l’existence du cristal subsiste avec un autre modèle.
Nous avons ensuite étudié les propriétés électroniques des différentes phases. La mo dulation électronique des cristaux est accompagnée d ’un champ de dipôles orientés de façon radiale autour de chacun des sites électroniques, que ce soit pour v k±,t = 1 ou uk±, j — 2. Les liquides incohérents ne possèdent pas de dipôles contrairem ent au liquide
cohérent, même si la densité électronique est uniforme dans tous les liquides. L’orien tation des dipôles dans le liquide cohérent n ’influence pas l’énergie du systèm e de cette phase. Une autre propriété étudié est la densité d ’états. Celle des liquides présente trois pics. Dans le cas de v k±& = 1, le pic le plus bas en énergie est plein d ’électrons alors
que les autres sont vides (pour = 2, ce sont les deux premiers qui sont pleins). L’espacement d ’énergie entre la fin du pic plein et le début du prochain pic vide perm et de calculer un gap en conduction. Dans le cristal, les trois pics mentionnés sont consi dérablement élargis. Les niveaux dégénérés dans le liquide se séparent dans le cristal. Il
Conclusion 127 reste to u t de même possible d ’observer un gap en conduction. La densité d ’é ta t local du cristal correspond au patron de densité et est observable par STM . Nous avons aussi isolé trois contributions à la densité de courant dans la tricouche. La première vient des dipôles, une deuxième d ’une aim antation qui donne des courants liés e t une troisième inconnue. C ette troisième est peut-être due à l’approxim ation de projection orbitale et donc pas vraim ent présente. Il reste donc à calculer la forme de l’opérateur courant avec moins d ’approximations.
Les excitations collectives des phases liquides incohérents, cohérents et des cristaux sont ensuite étudiées. Il est possible de calculer analytiquem ent les modes collectifs des liquides incohérents et d ’en tirer les plages de A LL de stabilité. Nous observons de plus l’instabilité à q ^ 0 dans le liquide (p00 (0)) = 1 qui indique l’apparition de l ’onde de densité de charge. Nous enchaînons avec le liquide cohérent qui présente un mode de Goldstone dû à la brisure de symétrie de l’invariance d ’énergie avec la phase des di pôles électriques. Ce liquide présente aussi des instabilités à vecteurs d ’onde finis, ces instabilités sont toujours dans la direction perpendiculaire aux dipôles. Nous finissons le chapitre avec les modes des cristaux. Le mode de Goldstone dû à la brisure de symétrie de translation est présent, c’est le mode de plus basse énergie. Ce dernier donne une idée de la stabilité du cristal par sa largeur de bande que nous étudions en fonction de A n . Nous pensons qu’il y aurait l’introduction d ’un gap dans ce mode avec le désorde et que la phase cristalline risque alors d ’abaisser la conductivité de Hall au plateau inférieur. De plus toutes les phases possèdent des modes collectifs gappés. Nous calculons donc l’absorption optique pour savoir quels modes sont observables. Une fois la représentation pseudospin introduite, il est intéressant de savoir quels pseudospins sont actifs dans les modes collectifs. Une étude de l’activité des pseudospins à été fait d u ran t la m aîtrise, mais les résultats ne sont pas présentés dans ce mémoire et de plus il reste beaucoup à faire dans cette étude.
Pour term iner nous introduisons la notion de pseudospin. À l’aide du pseudospineur, nous sommes capable de démontrer l’existence du mode de Golstone dans le liquide cohé rent. Ensuite, il est question de stabilité topologique, le modèle S N L a comme solution des solitons nommés skyrmions. Puisqu’il existe des excitations sous forme de cristal de skymions dans la bicouche de graphène, nous essayons de savoir si le cristal dans la tricouche est aussi un composé de skyrmions. Pour ce faire, nous introduisons l’énergie moyenne développée aux grandes longueurs d ’onde. Le b u t est de retrouver le modèle
Conclusion 128 S N L dans cet hamiltonien. Pour conclure, il reste à déterminer si le cristal est stable topologiquement en m anipulant l’éq.(6.34) dans le chapitre 6. Si oui, il faut déterm iner la forme du pseudospineur à trois composantes du modèle S N L - C P 2. Avec ce pseudos pineur, le calcul la charge topologique et de l’énergie totale du système est possible. La présence du cristal serait alors expliquée d ’une au tre manière.