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Étude des états électroniques en champ magnétique dans le niveau de Landau N=O de la tricouche ABC de graphène

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Texte intégral

(1)

Etude des états électroniques en champ magnétique

dans le niveau de Landau N =0 de la tricouche ABC

de graphène

par

Maxime Rondeau

au départem ent de Physique

en vue de l’obtention du grade de m aître ès sciences (M.Sc.)

FACULTÉ DES SCIENCES UNIVERSITÉ DE SHERBROOKE

(2)

1+1

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(3)

Le 27 ju in 2013

le ju ry a accepté le mémoire de Monsieur Maxime Rondeau dans sa version finale.

M em bres du jury

Professeur René Côté Directeur de recherche Départem ent de physique

Professeur Bertrand Reulet M embre

D épartement de physique

Professeur Claude Bourbonnais Président rapporteur Départem ent de physique

(4)
(5)

Table des m atières

T able d es m a tières iii

L iste d es ta b lea u x v i

L iste d es figures v ii

Som m aire x v

In tro d u ctio n 1

0.1 Le g ra p h è n e ... 1

0.2 Pertinence du projet de m a îtris e ... 6

1 N o tio n s d e b ase sur le g ra p h èn e e t la trico u ch e A B C 9 1.1 Description théorique du graphène et de ses p r o p r i é t é s ... 9

1.2 Graphène sans champ m a g n é tiq u e ... 9

1.2.1 Avec champ m a g n é tiq u e ... 16

1.2.2 Tricouche de g r a p h è n e ... 18

2 L im ite d e v a lid ité d u m o d èle à 2 b an d es 33 2.1 M atrice énergétiquement d o m in a n te ... 33

2.2 Bandes et niveaux de L a n d a u ... 35

3 In tera ctio n de C oulom b e t d ia g ra m m e d e p h ase d u G E 2 D C 39 3.1 Interaction de Coulomb dans l’approxim ation de H a rtre e -F o c k ... 39

3.1.1 Traitement de l’interaction de Coulomb dans l’approximation pro- jective N = 0 ... 40

3.1.2 Calcul des param ètres d ’ordre à l’aide de la fonction de Green . . 44

3.2 Système à trois niveaux ... 49

3.3 Résultats n u m é riq u e s... 52

3.3.1 Diagramme des phases électroniques de la tricouche ABC de graphène 52 3.4 Conditions d ’existence de la phase c ris ta llin e ... 64

(6)

Table des matières iv

4 P ro p riétés électro n iq u es d es é ta ts fo n d a m en ta u x 68

4.1 Densité électronique ... 68

4.1.1 Dipôles é le c tr iq u e s ... 71

4.1.2 Le c o u r a n t... 73

4.1.3 Densité d ’états et densité d ’é tats lo c a le ... 78

5 M o d es c o llectifs des ph ases é lectro n iq u es 85 5.1 Réponse linéaire dans l’approxim ation H a rtre e -F o c k ... 85

5.2 Réponse linéaire dans l’approxim ation G R P A ... 87

5.3 Modes collectifs des phases l i q u id e s ... 91

5.3.1 Liquides incohérents (L I C ) v K±T = 1 ... 92

5.3.2 Liquide incohérent à v k±t = 2 ... 102

5.3.3 Phase cristallin e ... 106

6 M o d èle de p seu d o sp in e t s ta b ilité to p o lo g iq u e 115 6.1 Les champs de pseudospin e t les s k y rm io n s... 115

6.1.1 Pseudospin 115 6.1.2 S k y rm io n s ... 116

6.1.3 Pseudospin dans la tricouche de graphène polarisée en vallée et spin (v k±,? = 1 , 2 ) ... 117

6.1.4 Développement aux grandes longueurs d ’ondes de l’énergie Hartree-Fock ... 120

C on clu sion 125 A O pérateu rs d ’éch elle, h a m ilto n ien e t m o d èle effe ctif 129 A .l Application des opérateurs d ’é c h e lle ... 129

A.2 Hamiltonien liaison f o r t e ... 130

A.3 Hamiltonien à deux bandes : dérivation du modèle effectif... 131

A.4 Énergies et vecteurs propres N ^ 0 du modèle effectif en cham p m agnétique 134 B P o la risa tio n d e sp in e t de v a llée 137 B .l Polarisation du s p in ... 137

B.2 Polarisation dans une vallée du liquide incohérent dans n = 0 ... 138

C F on ctions de G reen 149 D D ip ô les électriq u es, courant e t a im a n ta tio n 153 D.0.1 Dipôles é le c tr iq u e s ... 153

D.0.2 C o u r a n t ... 157

(7)

Table des matières v

E F orm alism e général d e la rép o n se lin éa ire à un p o ten tie l e x te r n e 167

F M a trices d e G ell-M a n n 171

G A b so rp tio n 173

(8)

L iste des ta b lea u x

1.1 Param ètres de sau t entre les sites et la distance correspondante... 21 1.2 Valeurs des paramètres de saut. Ces valeurs sont déterminées avec le calcul

D F T lissé sur le modèle des liaisons fortes... 22 1.3 Termes négligés dans le développement du modèle à deux bandes parce

q u ’il sont inversement proportionnel aux param ètres dom inants... 27

(9)

L iste des figures

1 Structure de bande de tricouche de graphène à droite et mesure du gap à l ’aide de la conductivité optique p ar absorption à gauche. Les pics P I et P2 dans la figure de droite représentent les transistions 1 e t 2 inscrite dans la figure de droite... 4 2 Plateaux de l’effet hall quantique dans la tricouche de graphène ABC. La

dégénérescence au niveau de Landau N = 0 se voit dans le sau t de -6 à 6

dans la conductivité de hall... 5 1.1 Illustration de la structure cristalline du graphène. Les deux sous-réseaux

sont triangulaires. En rouge le sous-réseau composé des atom es A et le bleu des atomes B ... 10 1.2 Première zone de Brillouin du graphène. Les deux vallées sont K + et K

sont indiquées ainsi que la zone irréductible... 11

1.3 (o)-Dispersion autour du point K + — ^ (§ ,0 ). Ce sont les cônes qui forment le sablier mentionné dans l’introduction. La dispersion électro­ nique est linéaire, de sorte que la masse effective est nulle. (fe)-Structure de bande de la monocouche de graphène. L a bande de valence et la bande de conduction se rencontrent aux vallées K. et K + où la dispersion devient linéaire et forme les cônes de Dirac... 15 1.4 Exemple de l ’empilement de type Bernai avec les param ètres énergétiques

de saut 7^, j = 0 ,1 ,3 ,4 ... 19 1.5 Vue du dessus d ’une tricouche A B C et de la configuration de sites les

uns par rapport aux autres. L ’indice au bas des lettres A et B indique la couche à laquelle l’atome de carbone ap p artien t... 20

1.6 Les six bandes d ’énergie de la tricouche ABC de graphène. L ’axe des abs­ cisses est tracé en suivant le triangle de la zone irréductible (médaillon de gauche), la norme |k| somme sur le tour du triangle. Il n ’y aucun po­ tentiel électrique sur chacune des couches. Le médaillon de droite est un agrandissement du point de rencontre des bandes de valences et celles de conduction... 23

(10)

Liste des figures

1.7 Comparaison de l’ordre des niveaux d ’énergies orbitaux dans chaque vallée. Deux situations sont illustrées, celle du h au t où A n = 0 alors que celle du bas correspond à All < 0 ... 2.1 Comportement des niveaux de Landau avec (a) — le champ m agnétique et (b) — la différence de potentiel entre les couches 1 et 3. Ce calcul est pour le modèle à six bandes incluant les param ètres 7 0,7X, 7 2,7 3,7 4... 2.2 Comportement énergétique des orbitales avec A #. Il y a les bandes du

modèle à six bandes (lignes noires) incluant les paramètres 7 0,71; 7 2,7 3,7 4

et celles du modèle effectif (les symboles) avec 7 0,7i ,74- Ici le calcul est pour la vallée K +... 3.1 Illustration de l’ordre des douzes niveaux en l’absence d’interaction, mais

avec une levée de dégénérescence. La flèche rouge représente le spin de l’électron. Les vallées sont indiquées ainsi que l’ordre des orbitales... 3.2 B — 10T (a) — Population de chacune des vallées en fonction de Al l -(b) — La courbe noire est l’énergie d ’un cristal d ’électrons dans une seule vallée alors q u ’en rouge il y a cohérence de vallée, donc un cristal dans une superposition des deux vallées. Pour un minuscule A ll les deux énergies convergent et il y a une polarisation de vallée... 3.3 Population des orbitales dans le liquide cohérent en fonction de A u ,.

(B = 1 0 T ) ... 3.4 Différence d ’énergie entre la phase spirale et le liquide incohérent dans

l’orbitale n — 0 en noir. Nous voyons que la phase spirale survit jusqu’à All ~ 0-01 Les lignes de couleur représentent les populations des orbi­ tales. Param ètres ( B = 10T, v k±,t = 1 ) ... 3.5 La délocalisation d ’un électron dans plusieurs orbitales, (a) — Forme des

trois orbitales en A = 0. (6) — Illustration de la délocalisation de l’électron sur les trois orbitales sur chaque site électronique. L a surface q u ’a le disque représente le poids qu ’a l’électron dans cette orbitale... 3.6 Diagramme de phase pour les remplissages v = — 5,4. C T est pour cristal

triangulaire. En p artan t de la gauche ( A Ll < 0) les états fondam entaux sont le liquide incohérent dans n = 2, le cristal e t le liquide incohérent dans n = 0. Le liquide cohérent (LC) est plus bas en énergie que les liquides incohérents, mais plus h aut que le cristal. L ’instabilité est définie au chap 5 ... 3.7 L’énergie par particule de quatre phases différentes en fonction de Al l -C T = -C ristal triangulaire, L-C=liquide cohérent, LI-Cn=liquide incohérent dans l’orbitale n. Le cristal triangulaire a toujours l ’énergie la plus faible

2 2

entre —0 ,3 1 ^ « A ll ~ 0,1 Le médaillon m ontre la p artie A LL > 0.

Param ètres B = 10T, k = 1. D ’autres phases ont été calculées, mais nous retenons celles-ci pour alléger le graphique...

(11)

Liste des figures ix

3.8 Évolution des populations de chacune des orbitales dans la phase cristalline (dans une vallée et d ’un spin spécifique) en fonction de A l l- La ligne pointillée est l’endroit où le cristal n ’est plus la solution de plus basse énergie. Le médaillon montre la densité électronique de YO D C 2D . Plus c’est rouge plus la densité est grande. Avec B = 10T, vk±,t = 1... 61

3.9 Énergie des quatre phases dans le cas où u — —4, 5 en fonction de A l l- LIC nm —liquide incohérent dans les orbitales n et m , voir la fig.(3.8) pour les autres abréviations. Le médaillon m ontre la différence d ’énergie entre YO D C 2D et le L I C n = 1, n = 2 en fonction de A l l- B = 10T, = 2,

k = 1... 62 3.10 Évolution des populations de chacune des orbitales (dans une vallée et

d ’un spin spécifique) en fonction de A l l- Le médaillon m ontre la den­ sité de Y O D C 2 D , les points bleus sont des creux de densité (des trous). Param ètre : = 2. B = 1 0 T ... 63 3.11 Allure de la partie réelle de quelques interactions. Puisque certaines de ces

interactions ne sont pas isotropes nous avons pris une direction spécifique, qy. C ependant [//n,n,n,n(q) — X TKTl,n,n (q)]> sont isotropes et réels... 65 4.1 Densité électronique (u k-,+ (r )) dans la phase spirale à A Ll = —0,045

Param ètre v k±,t = 1 , 5 = 10T. C et é ta t n ’est jam ais l’é ta t fondamen­

tal. Le médaillon montre la densité électronique ( Ûk+ (r)) du liquide

incohérent... 69 4.2 (a )— Densité électronique (r)) du cristal triangulaire à All —

0 ,0 0 0 4 9 ^, v k+,- = 1 et B = 10T. C ’est la forme de la densité de l’é ta t

2 2

fondamental quand —0 ,3 1 ^ < A/,/, < 0 .0 9 ^ . Le champ de vecteurs re­ présente les dipôles électriques d (r). (b)— Densité électronique (fi-Kt (r))

2

du liquide cohérent à A ll = —0 ,127—, v k+ - = 1 e t B = 10T. Le champ

de vecteur représente les dipôles électriques qui sont tous alignés dans la même direction... 70 4.3 Densité électronique (nK+,~ (r )) du cristal triangulaire à A ll = 0,0069 ~ ,

v k ~ - — 2 et B = 10T. C’est la forme de la densité de l’é ta t fondamental

2 2

quand —0, 38— < A LL < 0 ,0 2 ^ . Le champ de vecteur représente les dipôles électriques d ( r ) ... 70 4.4 Différence entre le maximum et le minimum de densité pour les remplis­

sages = L P °ur la courbe verte, le champ magnétique est fixe à B = 10T. ’ ... . . . . 71 4.5 Le champ de vecteurs est la densité de courant / J ^ , _ ( r ) ) en unités de

\ / 2 ^ - dans la phase cristaline (ao est le pas du réseau). La densité de couleur est l’aim antation (m -(r)) en unité de g2^ e. Paramètres, All —

(12)

Liste des figures x

4.6 Courant yJft:±,T(q = 0)y total, dipôle ^ d iC t.^ q = 0)y to tal et aim an­ tation (rnZK± ,T(q = 0 )) en fonction de A l l - Le dipôle et le courant sont toujours nuls alors que l’aim antation change de pente proche de l’inversion de population mentionnée au premier chapitre et elle change de signe avec A i l. Param ètre B = 10T, v k±,^ = 1... 78 4.7 (a)— Densité d’états du cristal triangulaire à A LL = —0 ,1 8 2 ^ e t B = 10T.

Les trois niveaux initiaux sont élargis par la phase cristalline à cause de la formation des bandes d ’énergie. (b) — Densité d ’é tats du liquide cohérent à A u = —0,182— e t B = 10T. Il n ’y a que trois niveaux d’énergie dégénérés N ô fois chacun. L’interaction de Fock ne fait que changer l’énergie où les pics apparaissent... 81 4.8 Évolution du gap de conduction dans la phase cristalline en fonction du

A ll- Sur toutes la plage de A LL présentée, VODC2D est l’é ta t fonda­ mental. Le gap est minimal autour de l’inversion des populations. Pour le cristal, la valeur exacte du gap n ’est pas vraim ent celle indiquée sur la figure puisque les pics sur la densité d ’é tats sont élargis, la m éthode de calcul en souffre aussi. Cependant le com portem ent qualitatif ne devrait pas être affecté... 82 4.9 Densité d ’états locale, en unité de 2n£2, du cristal triangulaire pour uk+,~ =

2

1, All = 0.023^ pour un champ m agnétique B = 10T. Le patron des états accessibles dans l’espace suit le patron de densité d ’électrons. Le pas du réseau est de l’ordre de £ 100 Â ... 84 5.1 Représentation des liquides incohérents. Les orbitales en rouges sont pleines.

En gris, transitions d ’énergies non-nulles, inter-orbitales et non-dispersives. En vert, des transitions d ’énergies nulles, intra-orbitales et non-dispersives. En bleu, les transitions inter-orbitales et dispersives. Classement des or­ bitales avec leurs énergies pour A u > 0 à gauche et A l l < 0 à droite. (a) — Transitions possibles pour v k±,t = 1- (&) ~~ Transitions possibles pour i'k±,t = 2 ... 91 5.2 Diagramme présentant certaines phases ainsi que les états fondam entaux

pour v k±,t — 1- L C : liquide cohérent. C T : Cristal triangulaire. L I C n = 0 : Liquide incohérent dans l’orbitale n = 0. L I C n — 2 : Liquide incohérent2 dans l’orbitale n = 2. Le L C n ’est stable que p o u r —0 ,2 9 8 ^ < A l l <

2 2

—0 ,2 5 ^ . Le L I C n — 2 est stable pour A l l < —0 ,2 9 8 ^ mais devient l ’é ta t 2

fondamental seulement à A l l < — 0 ,314|^ et le L I C n — 0 est stable pour A l l > 0 ,0 1 7 ^ et devient l ’é ta t fondamental pour A l l > 0 , 0 9 g ... 92

(13)

Liste des figures

5.3 Modes collectifs avec une courbe lisse sans symboles sont ceux du liquide incohérent dans l’orbitale n = 0 calculés pour plusieurs A ll et la formule analytique approximée. Modes avec les symboles sont un calcul numérique sans approximation. Le Numé dans la légende est pour numérique et toutes

2

les énergie A ll sont en unités de ^ ... 5.4 Puissance absorbée au mode q —> 0 ... 5.5 (a) — Modes du liquide incohérent dans l’orbital n — 2. (b) — Absorption

de cette phase à q —» 0. Il n ’y a que le premier mode qui contribue à l’absorption...

2

5.6 Pour A ll = —0 ,2 5 ^ , B — 10T et v k+- — 1- H faut rem arquer que la dispersion est anti-symétrique wn ( —q) = —u n (q). (a)— Dispersion de liquide cohérent avec des dipôles dans la direction —x , les courbes noires sont les dispersions selon qx et les oranges selon qy . (b)— Idem pour des dipôles orientés selon — ÿ... 5.7 L’indice i prend les valeurs x ou y. Figure (a) : Les fonctions de réponse - I m [XdiA ( ° ’0 ’ w )]. Figure (b) : Absorption dans les directions x e t y du liquide cohérent... 5.8 Diagramme de phase pour v k±,t — 2. L I C n = 0, n = 1 : Liquide in­

cohérent dans l’orbitale n = 0 et n = 1. L I C n — 2,n = 1 : Liquide incohérent dans l’orbitale n = 2 e t n = 1. Le L I C n = 2, n = 1 est

2

stable pour A LL < —0 ,2 3 5 ^ mais devient l’é ta t fondamental seulement à A ll < —0) 3 3 8 ^ et le L I C n — 0 ,n = 1 est stable pour A l l > 0 et

2

devient l’é ta t fondamental pour A u > 0 .0 3 8 ^ ... 5.9 Liquide incohérent à uK±T = 2. (a) — Modes du liquide incohérent avec

orbitales pleines n = 0,1. (6) — Absorption de cette phase à q —> 0. Seul le premier mode est actif en a b s o r p tio n ... 5.10 (a)- Modes du liquide incohérent dans les orbitales n = 1, 2 pleines. Nous

remarquons le comportem ent qualitativem ent identique au mode de la phase avec (pœ (0)) = 1. (6)- Absorption de cette phase à q —► 0. Il n ’y a que le premier mode de v is ib le ... 5.11 Zone irréductible (triangle rouge) de la première zone de Brillouin du cris­ tal triangulaire d ’électrons ou de trous. Les longueurs des segments du triangle sont en unités de ^ avec a le pas du réseau direct...

2

5.12 Continuum des modes du cristal à A u = 0 ,0 3 7 ^ . Il est vérifié que l’éner-2

gie à laquelle débute (E le continuum correspond bien à l’écart d ’énergie entre le fin du premier pic et le début du deuxième pic dans la densité d ’états. La fin du continuum (E - 1,0^ ) correspond bien à l’écart d ’énergie entre la fin du premier et du dernier pic de la densité d ’états . . 5.13 (a) : Modes collectifs du cristal triangulaire tracé sur le parcours I \ / A F, pour le remplissage v k ±,\ = 1 et A u , = 0. (b)— Mode de phonon à faible q ainsi que le comportement de la courbe lissée en bleu...

(14)

Liste des figures

5.14 Évolution des modes collectifs du cristal triangulaire d ’électrons pour u r±&

1 en fonction de Al l...

2

5.15 (a) — Fonctions de réponse pour A ll — 0 , 0 3 7 (b) — A bsorption pour plusieurs ... 5.16 Graphique (a) : Évolution de la dispersion du cristal de tro u en fonction

de A ll pour ~ 2- Graphique (b) : A bsorption et réponse dipolaire

2

du cristal de trous à A LL = —0 , 1 ^ ... 6.1 Skyrmion de spin de charge topologique Q = 1. Q uand r —► oo le spin est polarisé +2, alors qu’au centre du skymion, il est —2... 6.2 Les champs de vecteurs sont sans les facteurs de forme (a) — Cham p de vecteur p°xl , Py1 et le fond, est la variation de pQzl . (b) — Cham p de vec­ teur pl2, Py2 et le fond est la densité d ’électrons, (c) — Les champ de vecteurPx2, p°2 et le fond est T $ ...

xii 112 112 113 118 122

(15)

C o m p o sitio n du ju ry

L e _________________________ , le jury a accepté le mémoire de M. Rondeau dans sa version finale.

Prof. Claude.Bourbonnais Départem ent de physique

Président- rapporteur

Prof. René. Côté D épartem ent de physique

Directeur de recherche

Prof. B ertrand Reulet D épartem ent de physique

(16)
(17)

Som m aire

Dans cet ouvrage nous étudions les phases du gaz d ’électrons bidimensionnel dans la tricouche de graphène en empilement A B C . En p a rta n t du modèle des liaisons fortes et en faisant l’approximation du continuum autour des vallées K +, K _ , nous obtenons un modèle effectif à deux bandes qui perm et de décrire la physique de basse énergie des électrons en champ magnétique dans cette structure. Ce modèle contient trois orbitales dégénérées dans le niveau de Landau N = 0. Ce dernier est donc 127V,;, fois dégénérés en incluant les degrés de liberté de spin et de vallée. E n ajo u ta n t l’interaction de Coulomb au système et en considérant seulement les remplissages v — - 5 , —4,4, 5 afin d ’avoir un système à trois niveaux, nous étudions le diagramme de phase du gaz d ’électrons en fonction d ’un biais électrique entre les couches externes. Nous trouvons une phase d ’onde de densité de charge bidimensionnelle (O D C 2D ) comme é ta t fondamental du système. Cette O D C 2D se nomme cristal dans ce mémoire et nous dérivons ses propriétés de transports et ses modes collectifs. Nous discutons également du caractère topologique de ce cristal. Notre étude englobe aussi les phases liquides avec ou sans cohérence orbitale. Nous concluons notre mémoire par l’étude de quelques signatures expérim entales des phases du gaz d ’électrons dans la tricouche.

(18)

R em erciem en ts

Merci papa, merci maman, merci Annie-Pol, votre support est déjà acquis à mes yeux, mais bon, je sais le reconnaître.

Je veux surtout remercier mon superviseur. Dans la vie il n’y a q u ’une seule chose qui vaut plus que l’argent, et ça, c’est le tem ps. Avec le tem ps on peut acheter beaucoup plus que des biens, on peu t acheter des amis, de la connaissance, des talents et même de l’argent. En plus d ’être e x trêm em en t p a tie n t, mon superviseur m ’a donné ce q u ’il possède le moins et qui vaut tan t, son tem ps. Désolé d ’en avoir pris au tan t Pr.C ôté, c’est parce que je suis lent. C ’est vraim ent votre plus grande qualité et j ’en suis très reconnaissant, merci encore.

(19)

In tro d u ctio n

0 .1

L e g r a p h è n e

Imaginer vivre avec une dimension de l’espace en moins, le concept d ’une pile de feuilles (livre) devient absurde, la fonction principale d ’une clôture serait parfaitem ent accomplie puisque nous ne pourrions pas sauter par-dessus. Heureusement, nous ne vivons pas dans un monde bidimensionel ! Il existe cependant des systèmes où les électrons se voient imposer de voyager en suivant seulement deux dimensions de l’espace. C ’est le cas du transiter M O S F E T (metal-oxide semiconductor field.-effe.ct transistor) en m ode inversé, ce dernier est habité par un gaz d ’électrons bidimensionnel (G E 2 D ) sous sa grille. Tout comme pour des hétérostructures comme l’empilement de semi-conducteurs (AlGaAs/GaAs/Al-GaAs) qui forme un puits qui confine les électrons à la surface du (G a A s). Des électrons libres flottent sur l’hélium liquide e t sont confinés à la surface de ce liquide. Tous les G E 2 D ont des électrons qui agissent comme s’ils étaient libres (dispersion quadratique) dans 2 dimensions de l’espace. Il existe un au tre type de G E 2D , c’est le graphène. C ’est en 2004 que Novoselov et al. [1] réussirent à isoler une couche de graphite épaisse d ’un seul atom e de carbone (couche que nous nommons graphène). Chaque atome de carbone de cette couche partage trois de ses quatre électrons de valence avec trois atomes de carbone voisins, et ce avec un lien sigma a d’une hybridation .sp2 (les harmoniques 2s , 2px , 2py). Notons que cette stru ctu re d ’atomes de carbone est très solide puisque les liens sigmas sont très forts : c ’est là une propriété du graphène. Il reste alors un électron de valence dans l’orbitale 2pz . Il y a un petit recouvrement entre les orbitales 2pz formant des liens n entre l’atom e de carbone et ses voisins. L’électron de valence restant peut alors sauter d ’atome en atome. Les électrons des liens n sont alors obligés de suivre deux dimensions de l’espace et le système complet (soit la couche

(20)

Introduction 2 d ’atomes) est habité par un gaz bidimensionnel d ’électrons GE2D . Il est im portant de noter que les électrons dans le graphène ne forment pas un gaz d ’électrons libres dans le sens strict du terme. Ils sont influencés par le réseau cristallin que forme le graphène. La structure en nid d ’abeilles du graphène a pour zone de Brillouin un hexagone avec deux points non-équivalents nommés AU et K +. A utour de ces points les électrons ont une dispersion linéaire nommée cônes de Dirac. Les cônes se touchant aux sommets forment une sorte de sablier autour des vallées. C ette dispersion n ’a pas de courbure ; alors les électrons agissent comme s ’ils n ’avaient pas de masse et ont une vitesse constante (la pente de la dispersion), la vitesse de Fermi vp ~ 106™ [4].

L’application d ’un champ magnétique dans un G E 2 D conventionnel donne naissance à des niveaux de Landau. Un niveau de Landau est dégénéré Nt!) — Gpi fois et a une énergie donnée par : E n — hujc (n + | ) , n = 0 ,1,2 .... . Dans le graphène les niveaux de Landau sont anormaux, l’énergie devient plutôt (E N oc ± \ / N ) . Il y a donc une énergie nulle à N — 0 e t aucune énergie minimale puisque les bandes (cônes) de valence et de conduction sont transformées en niveaux de Landau. De plus, la présence des deux points non-équivalents dans la zone de Brillouin double la hauteur des plateaux dans la conductivité de Hall a^ puisque la dégénérescence de ces vallées vient se multiplier à celle du spin et de N<f, pour donner des plateaux séparés par 4 ^ [2]. De plus, les particules autour des cônes de Dirac ont la propriété de chiralité que nous introduirons plus loin. Disons simplement que Phamiltonien a des éléments non-diagonaux (dans une certaine approximation) de la forme suivante, p j e±lje, où J est un entier relié à la chiralité du système. Une chiralité non pas avec le spin mais avec le pseudospin, objet que nous présenterons plus loin. L’hélicité fait en sorte qu’il n ’y a pas beaucoup de rétrodiffusion quand il y a des collisions élastiques avec des impuretés dans le graphène. Puisque la pluspart des barrières de potentiel couvre les atomes des deux sous-réseaux, une collision élastique conserve le pseudospin. Puisque le pseudospin est conservé, un changement de direction change l’hélicité et donc la bande d ’énergie où l’électron se trouve (puisque l’énergie dépend de l’hélicité). Pour que l’électron retrodiffusé reste dans la bande de conduction il faut le forcer à changer de vallée, mais cette dernière est aussi conservée dans une collision élastique [3]. Pour cette raison le graphène dém ontre des mobilités électroniques très élevées : 15000cm2/V,s à tem pérature de la pièce sur une su b strat de S iO2 pour une densité électronique de 1013cm~ 2 [4] e t de plus de 230000cm2/U s dans du graphène suspendu à basse tem pérature [5]. Le transport est donc balistique à la tem pérature de la pièce expliquant ainsi l’observation de l’effet Hall quantique [4] à

(21)

Introduction 3 cette tem pérature. Ce genre de mobilité est intéressante pour des applications en micro­ électronique. De plus, la conductivité thermique du graphène est très grande, en dépit de sa minceur ce qui rend encore plus a ttray an t pour ce genre d ’application car elle perm et de dissiper rapidement la chaleur. M alheureusement une seule couche de graphène n ’a pas de zone interdite d ’énergie (band gap) et donc le m atériau n ’est pas très intéressant pour une application de type transistor.

Il est toutefois possible d ’avoir un gap en faisant un empilement de deux couches de graphène : la bicouche. En appliquant une différence de potentiel (d.d.p) électrique entre les deux couches, il s’ouvre un gap au point de Dirac. Dans la bicouche de graphène, la dispersion des électrons est quadratique à faible énergie [6]. De plus, en champ magné­ tique, le niveau de Landau N — 0 y est 8 fois dégénéré e t donne un sau t de 8^ dans la conductivité de Hall. C ette nouvelle dégénérescence est causée par la présence de deux orbitales dégénérées dans le niveau de Landau N = 0 ayant comme origine la chiralité J — 2 [6]. L’orbitale constitue un nouveau degré de liberté qui se combine avec le spin et la vallée pour former un octet d ’é tats quasi-dégénérés. C ette nouvelle dégénérescence vient augmenter la capacité du niveau N = 0 : ce niveau peut m aintenant contenir 8 N# électrons. La dégénérescence orbitale et de vallée est levée avec l’application d ’une diffé­ rence de potentiel. Elle peut aussi être brisée spontaném ent p ar l’interaction de Coulomb. Si le niveau N = 0 ne contient pas 8A^ électrons, il n ’est pas plein, alors les électrons peuvent être dans des états cohérents d ’orbitales, de vallées et de spins puisque ces états sont quasi-dégénérés. Il y a donc des phases électroniques spéciales, de type ferroaimants de Hall [7], des cristaux d ’électrons, des spirales de pseudospins, qui apparaissent dans la bicouche à cause de la symétrie brisée [8]. Les param ètres de remplissage du niveau ./V = 0 et la d.d.p peuvent modifier ces états ou produire des changements de phase. Il est m aintenant pertinent de se dem ander si la dégénérescence du niveau N = 0 est encore plus grande dans la tricouche de graphène.

La tricouche de graphène A B C a une dispersion cubique autour des vallées selon la Réf. [9], dispersion observée expérimentalement par [10] à l’aide de la conductivité optique (voir fig.(l)). Ceci veut dire que J = 3 pour la chiralité dans la tricouche A B C . L’ouverture d ’un gap est possible en appliquant une d.d.p entre les couches externes [10]. L’application d ’un champ m agnétique sépare les bandes en niveaux de Landau. Le niveau N = 0 est dégénéré 12 fois [11]. Il y a trois orbitales dégénérées dans le niveau N = 0, elles viennent se multiplier à la dégénérescence de vallée et de spin [11]. C ette dégénérescence

2

(22)

Introduction 4 20 18 • p2 16 • V 0 ‘---1—■—■---1 ---0.2 0.3 0 .4 0.5 0 6 0.7

Fi g u r e 1 - Structure de bande de tricouche de graphène à droite e t mesure du gap à l’aide de la conductivité optique par absorption à gauche. Les pics F I et P2 dans la figure de droite représentent les transistions 1 et 2 inscrite dans la figure de droite. à la fig.(2). Il y a cependant très peu de litérature su r le sujet de l’interaction de Coulomb dans la tricouche de graphène malgré le fait que la dégénérescence de ce système p o u rrait être à l’origine d ’un diagramme de phase très riche.

Une tendance apparaît lorsque le nombre de couches n augmente. La chiralité J grimpe avec le nombre de couches ( J = n). L’augm entation de J augm ente la dégéné­ rescence des orbitales trouvées dans le niveau N = 0. Le nombre d ’orbitales dégénérées est toujours de J et la dégénérescence du niveau N = 0 est de 4JN$. L ’hamiltonien ap- proximé autour des vallées vient s’inscrire dans une classe de G E2D nommée gaz d ’élec­

trons bidimensionnel chiral (G E 2 D C ). Selon [13], l ’hamiltonien général s ’écrit comme :

où Oi sont les matrices de Pauli, p est la quantité de mouvement de l’électron, 9 est l’angle entre p et l’axe x, J est l’indice de chiralité, v F ~ 106™ [4] est la vitesse de Fermi et pc = ^ avec 7j le param ètre de saut entre deux couches immédiates. C ’est ce type de système qui est étudié dans ce projet de maîtrise. Nous y étudions les phases électroniques qui viennent de la brisure de symétrie de la dégénérescence du niveau N = 0 pour un G E 2 D C avec J — 3 causée par l’interaction de Coulomb.

(23)

(e Vh ) Introduction 5 n . ( 10: crn ') - 6 - 4 - J 0 14 6 e?/h - 6 --1 4 --12 _ 10 - 8 _ 6 - 6 0 - 4 0 - 2 0 0 20 4 0 60

V V>

F IG U R E 2 - Plateaux de l ’effet hall quantique dans la tricouche de graphène ABC. La dégénérescence au niveau de Landau TV = 0 se voit dans le saut de -6 à 6 dans la conductivité de hall.

«

P

D

(24)

Introduction 6

0 .2

P e r tin e n c e d u p r o je t d e m a îtr is e

Afin de mieux introduire les m otivations derrière notre projet, continuons la discussion dans la voie de la bicouche introduite plus haut, mais cette fois en incluant les interactions entre les électrons afin d ’étudier le diagramme de phase à la tem pérature nulle, étude faite en détail dans [7], [8]. La chiralité de cette bicouche est J = 2. Sous l’application d ’un champ magnétique, des niveaux de Landau se forment. Dans une certaine approxim ation, que nous verrons plus loin, nous trouvons qu ’il y a deux fonctions d ’onde qui ont une énergie nulle. Ce sont les orbitales mentionnées précédemments. Il y a donc deux orbitales que nous nommons n = 0 et n = 1. S’il y a application d ’une d.d.p entre les couches, il y a une orbitale d ’énergie plus faible que l’autre. En se lim itant aux énergies où l’électron reste dans les J orbitales dégénérées, nous incluons l’interaction avec les autres électrons dans l’approximation Hartree-Fock. Si tous les niveaux de Landau inférieurs à N = 0 sont pleins et que nous ajoutons N# électrons au système, nous obtenons un remplissage v = 1. Si la d.d.p rend l’orbitale n — 0 plus basse en énergie que l’orbitale n — 1, nous trouvons alors que le comportement collectif (l’é ta t fondamental) des électrons est de les placer dans l’orbitale n — 0 d ’une façon spatialem ent uniforme. Ce résultat est très raisonnable et intuitif, puisque l’énergie la plus basse est l’orbitale n = 0 et que l’interaction électron- électron de ces orbitales diminue d ’avantage l’énergie dans l’orbitale n — 0 que dans n — 1. De plus, ne pas avoir de m odulation spatiale diminue l’énergie électrostatique. Nous nommons cet é ta t liquide incohérent.

Nous nous attendons alors, très raisonnablement, à ce que l’é ta t fondam ental de la tricouche A B C , chiralité J = 3 avec trois orbitales dégénérées (n = 0, n = 1, n — 2) dans le niveau N = 0, dans des conditions identiques à la bicouche du paragraphe précédent, soit également un liquide incohérent. Encore une fois, parce que n — 0 est plus basse en énergie à cause de la d.d.p et que l’interaction de Coulomb dans l’orbitale n — 0 diminue le plus l’énergie to u t comme l’uniformité spatiale. Croyant que notre intuition de l’é ta t fondamental était bonne, nous avons to u t d ’abord calculé les modes collectifs de cet é tat (liquide incohérent). À notre grande surprise il y a un mode mou dans la relation de dispersion de ces modes. Ceci veut dire que l ’é ta t est instable. Il y a donc un état plus bas en énergie que le liquide incohérent, même si intuitivem ent ce dernier sem blait le bon. Quel est l’état fondam ental? Pourquoi n ’est-ce pas le liquide incohérent? Quelles sont ses modes collectifs ? Quelles sont les propriétés électroniques ? Pouvons-nous trouver un modèle approxim atif et plus simple pour décrire ce système ? Bref, un tas de questions

(25)

Introduction 7

émergent de ce résultat.

Le projet de m aîtrise s’inscrit donc dans ce contexte où un résultat semble contredire une intuitition qui est bonne dans le cas de la bicouche. Le document est construit de la manière suivante. Nous introduisons d ’abord la couche de graphène e t son hamiltonien et quelques résultats intéressants. Nous passons ensuite à la bicouche e t enfin nous in­ troduisons le sujet principal, la tricouche, qui pourra être mieux comprise puisqu’il est possible de comparer avec les autres systèmes introduits plus tôt. Le ch ap .l un porte sur un modèle effectif de la tricouche où nous intégrons les bandes d ’énergie supérieures dans un modèle à deux bandes pour étudier le com portem ent aux basses énergies autour des vallées non-équivalentes. Nous étudions ensuite le domaine de validité de ce modèle et ses approximations pour plusieurs param ètres (champs magnétique, énergie, vecteur d ’onde, différence d ’énergie entre les orbitales) dans un second chapitre. Dans le troisième cha­ pitre, nous introduisons l’interaction électron-électron dans l’approxim ation Hartree-Fock et nous étudions le diagramme de phase de la tricouche pour plusieurs param ètres. Nous trouvons alors plusieurs états fondamentaux. Dans le quatrièm e chapitre, nous étudions les propriétés électroniques des états (densité, courant, dipôles électriques, densité d ’états etc). Dans le cinquième chapitre, il est question des modes collectifs dans l’approxima­ tion GRPA, des états fondamentaux, de l’absorption électromagnétique, des fonctions de réponse et de la dispersion des modes. Dans le dernier chapitre, il est question de modèle effectif pour expliquer l’instabilité reliée à l ’apparition du mode mou dont il est question au paragraphe précédent. Nous cherchons un champ de vecteur pertinent pour décrire complètement les phases. Nous montrons que ce cham p de vecteur a peut-être un caractère topologique qui pourrait mener à l ’existence de skyrmions.

(26)
(27)

C h ap itre 1

N o tio n s de base sur le grap h èn e et

la tricou ch e A B C

C ette section a pour bu t de trouver les niveaux d ’énergie de la tricouche A B C sans interaction Coulombienne entre les électrons. Nous calculons la structure de bande e t les niveaux électroniques en champ magnétique. Ensuite, nous élaborons un modèle effectif pour faciliter les calculs quand les interactions à deux corps sont ajoutées.

1 .1

D e s c r ip tio n th é o r iq u e d u g r a p h è n e e t d e s e s p r o ­

p r ié té s

Afin d ’introduire le graphène et ses caractéristiques, nous commençons par présenter quelques propriétés de la monocouche. Il est im portant de noter avant de commencer à lire cette partie, que la présentation sur la monocouchc sera transposée à la tricouche. D ’abord, nous présentons le modèle de liaisons fortes qui perm et de trouver la stru ctu re de bande de la monocouche de graphène. P ar la suite, nous ajoutons un cham p m agnétique perpendiculaire au plan de la couche et nous trouvons les niveaux de Landau du gaz d ’électrons, en m entionnant les différences avec le gaz d ’électrons normal.

1.2

G r a p h è n e sa n s c h a m p m a g n é tiq u e

La fig .(l.l) montre la structure physique du graphène. Nous voyons deux sous-réseaux triangulaires (réseau d ’atomes A et un réseau d ’atomes B ) ou encore un réseau

(28)

Chapitre 1 : Notions de base sur le graphène et la tricouche A B C 10

FIGURE 1.1 - Illustration de la structure cristalline du graphène. Les deux sous-réseaux sont triangulaires. En rouge le sous-réseau composé des atomes A e t le bleu des atomes B.

gulaire avec une base de deux atomes nommés A et B. Chaque atom e a trois voisins immédiats venant de l’autre sous-réseau qui lui sont relié p ar les vecteurs suivants :

Cle dn c a0 * , &o d l = — X H---7=2/, 2 2 \/3 ô2 = <53 = n'x + r-2 2>/3 a0 . v ^ y» ( î . i ) ( 1 .2 ) (1.3) Dans ces équations, a0 est le pas du réseau direct. Les vecteurs de bases (de norme a0 = \/3 j <5, |, |£f| = 1, 42 Â) du réseau direct sont les suivants :

Ro ~ \/3 a0 ai = — x --- y, 1 2 2 a2 a0x. (1.4) (1.5) Les relations imposées par les séries de Fourier du réseau perm ettent de trouver les

(29)

Chapitre 1 : Notions de base sur le graphène et la tricouche A B C 11

Prem ière zo n e de Brillouin

La zo n a Irréductible e s t en rouge

F IG U R E 1.2 - Première zone de Brillouin du graphène. Les deux vallées sont K + et K sont indiquées ainsi que la zone irréductible.

vecteurs du réseau réciproque : G\ G2 2n „ 2n — x -I— -=— a0 V 3a0 47r y-y, V 3a0 (1.6) (1.7) Les vecteurs du réseau réciproque font un angle de 30° avec ceux du réseau direct. Dans la première zone de Brillouin (fig.(1.2)), il y a deux points non-équivalents que nous nommons vallées, c’est-à-dire que nous ne pouvons pas relier le point K + au point AL à l’aide d ’une combinaison des vecteurs G , :

K = K _ = K ' = K + =

-1°

2a tr 1 2?r a ( 1.8) (1.9) La dispersion électronique autour de ces points forme les cônes de Dirac.

Avec ces informations, nous sommes m aintenant capables de dériver l’hamiltonien de liaisons fortes, (tight binding). Le modèle suppose l’électron dans une superposition

(30)

Chapitre 1 : Notions de base sur le graphène et la tricouche A B C 12

d ’orbitales de l’atome de carbone d ’un site R i du réseau. Ces orbitales peuvent .se recou­ vrir avec celles des plus proches voisins de cet atome. L’électron peut se délocaliser sur to u t le réseau à cause de ce recouvrement. Sa fonction d ’onde doit respecter le théorème de Bloch. La probabilité de saut est donnée par le recouvrement des orbitales. Le para­ m ètre d ’énergie de saut entre un atome et son plus proche voisin j 0 « 2,8 eV dans le

graphène [14]. L’hamiltonien approxim atif s’écrit comme su it :

Les indices i et j représentent un site du réseau direct. Le m ot approxim atif mentionné plus haut veut dire que nous considérons les sauts entre les voisins immédiats. Si nous passons en seconde quantification, l’opérateur de création d ’un électron sur un atom e du

Si nous explicitons la somme sur les plus proches voisins (p.p.v) avec R j = R , -f ôj, ôj étan t les voisins autour de l’atome du site R ,, nous obtenons :

(1.10) (iJ)

sous-réseau A s’écrit a\ et sur le sous-réseau B s’écrit fej. L’hamiltonien est

(1.11)

< » d )

Écrivons la série de Fourier des opérateurs :

e-*-k.(R,+<5,)^

( 1.12)

(1.13)

j k,k'

Écrivons sous forme matricielle (dans la base A, B ) l’hamiltonien en définissant : (1.15)

(31)

Chapitre 1 : Notions de base sur le graphène et la tricouche A B C 13 Nous obtenons :

0 A( k) W ak

A* (k) 0 / 1 &k (1.16)

Diagonalisons l’hamiltonien de la façon suivante, U est la matrice des vecteurs propres de la matrice M qui perm et de passer de la base diagonale à la base originale :

~7o ° A ( k ) \ ( £ + (k) 0 \ f A* (k) 0 /

l

0 E_ (k)

J ’

1 A (k ) A (k ) U = — ( iA<k)i >A(k)l y/ 2 l 1 1 (1.17) (1.18) En calculant les valeurs propres de la m atrice, nous trouvons les bandes d ’énergies du graphène :

(k) = ± 7 o \/|A ( k )|2. (1.19)

La fig.1.3 (b) présente la structure de bande. Dans cette équation, E_ représente la bande de valence et E + est la bande de conduction. Utilisons donc la définition suivante pour les opérateurs de création sur chacune des bandes :

v+k

V_k u t

a k

Nous avons finalement diagonalisé l’hamiltonien :

H„ V+k V-k ) I \E+ v +kv +k + E ~ (k ) v -k v —k V+k 0 E_ (k) ) \ v _ k (1.20) ( 1 .2 1 ) (1.2 2)

Dans ce qui suit, le mot ham iltonien est utilisé pour la m atrice

r o,

elle ne contient pas d ’opérateurs de création sur les sites A et B :

r

s - y ( 0 A ( k ) )

(32)

Chapitre 1 : Notions de base sur le graphène et la tricouche A B C 14 C ’est près du zéro d ’énergie que les bandes de valence et conduction se rencontrent, plus précisément aux points K + et K . La fig.l.3(a) m ontre que proche de ces points, la dispersion est linéaire et isotrope. Pour du graphène non-dopé, la bande de valence est entièrement remplie si la tem pérature est nulle. Nous cherchons à étudier le com portem ent des électrons autour des points K f et K . Pour cela, il fau t faire un développement de Taylor de la fonction A (k) :

a ( k ± + | ) ~ T ^ Y j j - ( p x ± i p y) , (1.24) À ^K ± + ^ j ~ (pcosO ± i p s i n 9 ) . (1.25) La variable f est une petite déviation par rapport aux points K ± dans l’espace réciproque (donc Ae > > Ak ±, l’approximation est bonne aux grandes longueurs d ’onde). Nommons cette étape l’approximation du continuum. En passant en coordonnées polaires, 9 (p) est l’angle entre p et px . L’approximation met en évidence le caractère linéaire de la dispersion. Il est im portant de remarquer que dans cette approximation l’ham iltonien contient e±lje où J — 1. La monocouche est donc un gaz d ’électrons bidimensionnel chiral. Définissons vq = - ^ ^7o :

/ q e±i0(P) \

r» l-'OJ = i"»!’ (

e T » ( p )

0 J.

o-26)

= ± v 0p [crx cos 9 (p) =F ary sin 9 (p )],

avec e = 7 0 ^ if P et la matrice de vecteurs propres dans l’espace p devient : +e±id ± e ±ie \

,

i ) '

( 1 ' 2 7 )

Nous voyons apparaître l’hêlicité dans l’hamiltonien, puisque l’hélicité est définie comme suit rj = a ■ E. Habituellement, elle représente la projection du spin sur la quantité de mouvement. Dans notre cas, on parle plutôt de la projection du pseudospin sur la quantité de mouvement. Les matrices de Pauli sont dans la base des sites des deux sous- réseaux, soit A ou H et donc :

To [K±] = ±r)e. (1-28)

Selon la vallée, l’hélicité pour la bande de conduction ou de valence, est fixée. P ar exemple, U Kj. =

(33)

Chapitre 1 : Notions de hase sur le graphène et la tricouche A B C 15

Fi g u r e 1 .3 - (a)-Dispersion autour du point K + = ( | , 0 ). C e sont les cônes qui forment le sablier mentionné dans l’introduction. L a dispersion électronique est linéaire, de sorte que la masse effective est nulle. (ù)-Structure de bande de la monocouche de graphène. La bande de valence et la bande de conduction se rencontrent aux vallées K _ et K + où la dispersion devient linéaire et forme les cônes de Dirac.

(34)

Chapitre 1 : Notions de base sur le graphène et la tricouche A B C 16 dans la vallée K _, l’électron dans la bande de conduction doit avoir une hélicité de — 1. Si l’électron pouvait changer de direction à cause d ’une collision élastique, l’hélicité deviendrait alors + 1 et l’électron se retrouverait dans la bande de valence puisque le pseudospin de site est conservé dans les collisions élastiques. Pour que le pseudospin change, il faut que l’étendu du potentiel diffusif soit plus petit que la distance A et B , [3]. Comme il ne peut y avoir changement d ’énergie dans une collision élastique, il faut que l’électron change de vallée pour perm ettre la rétro-diffusion. Changer de vallée n ’est pas chose facile : il faut des termes qui le perm ettent dans l’hamiltonien, ce n ’est généralement pas le cas pour des collisions élastiques et l’interaction de Coulomb conserve approximativement la vallée. C ’est pour cette raison qu’il y a du tunnelage de Klein [3] et alors du tran sp o rt balistique dans le graphène. La n atu re chirale du graphène (la relation entre l’énergie et l’hélicité) vient de l’équivalence des deux sous-réseaux et elle est im portante afin de bien comprendre le tran sp o rt électronique. C ’est pour cette raison que Pachronyme G E 2 D C est approprié pour le graphène.

1.2.1

A v e c ch am p m a g n é tiq u e

La présence d ’un cham p m agnétique perpendiculaire à la couche de graphène B = B z contraint les électrons à suivre une orbite (ce m ot vient d ’une vision classique d ’électrons en champ magnétique), c’est pour cette raison q u ’il y a quantification de l’énergie des états électroniques. Le champ m agnétique dans cet ouvrage est tra ité dans la jauge de Landau, A x = 0, A y — B x . La substitution de Peierls est effectuée dans l’hamiltonien donné par l’éq.(1.23). La substitution consiste to u t simplement à remplacer la quantité de mouvement par la quantité de mouvement covariante :

P À

P = p + — , (1.29)

c

pour finalement faire apparaître les opérateurs de création et d ’annihilation avec les définitions suivantes :

« = (Px - iPy) = a - , (1.30)

(35)

Chapitre 1 : Notions de base sur le graphène et la tricouche A B C 17 Les opérateurs de la coordonnée du centre d ’orbite (X ) et de la longueur m agnétique sont alors définis par :

e2

x

A

e B ' - i l2 d_ d y ’ (1.32) (1.33) Ces opérateurs d ’échelle agissent sur les fonctions d ’onde dans la jauge de Landau compo­ sées entre autres des k (x ) qui sont les fonctions d ’onde de l’oscillateur harmonique qui incluent les polynômes d ’Hermite Hn. Les niveaux de Landau sont la solution de l’hamil­ tonien d ’un gaz d ’électrons bidimensionnel dans une champ magnétique perpendiculaire. La solution étan t déjà connue nous ne faisons que la donner :

K , k (r) Vn,k (*) X 1 \ / A î -iky \ /2nn\ X ^ t2 U 2. exp

(g - x y

2£2 H n x — X (1.34) (1.35) (1.36) Avec cette définition des fonctions d ’onde, les opérateurs d ’échelle agissent de la façon suivante (voir la preuve dans l’annexe A) :

a ffin (r) ahn (r) <Jahn (r) is /n + l h n+ï (r) , - i s / n h n„ i ( r ) , n h n (r) . (1.37) (1.38) (1.39) Les niveaux de Landau sont les états propres d ’un gaz d ’électrons dans un champ m a­ gnétique et sont dégénérés N# fois :

N* = 5

(36)

Chapitre 1 : Notions de base sur le graphène et la tricouche A B C 18 Avec la substitution de Peierls dans l’hamiltonien (éq.(1.23)), nous obtenons dans la base des atomes (A , B ) :

t ) -

(L41)

Les é tats dans l’espace r et valeurs propres sont donnés (pour la vallée K+) par : = f s g n W , V ,+1 (r) \

V

*|JV| (r )

J

E ± n = ± l0y j \ a0 s j l ^ B ^ W l (1-43)

où N ^ 0 donne le niveau de Landau dans la bande de conduction (+ ) si N > 0 ou de valence (—) si N < 0. Il existe un niveau d ’énergie nulle qui a comme é ta t propre :

(1.44)

contrairement au gaz d ’électrons ordinaire. De plus, dans la vallée K _ , le niveau N = 0 a pour vecteur propre :

(

m d

) '

( 1 ' 4 5 )

aussi à énergie nulle. Ces deux derniers vecteurs m ontrent que l’indice de vallée et indice du sous-réseau sont équivalents dans le niveau N = 0. La présence de N = 0 est la raison pour laquelle les plateaux de la conductivité de Hall apparaissent à des valeurs

2 2

séparées de 2^- à le place de 4^- comme dans un G E 2 D normal. L’énergie croît (en valeur absolue) comme la racine carrée du niveau de Landau et idem pour la dépendance en champ magnétique. Dans le cas d ’un gaz d ’électrons ordinaire, c’est de façon linéraire que changent ces deux dernières variables.

1.2.2

T ricou ch e d e g ra p h èn e

Passons m aintenant au sujet principal de ce mémoire en gardant en tête la petite introduction sur le graphène. Considérons trois couches de graphène empilées de la façon Bernai. Comme mentionné plus haut, le graphène a deux sous-réseaux montrés à la fig (1.4) nommés A et B qui forment une structure en nid d ’abeilles. L ’empilement Bernai

(37)

Chapitre 1 : Notions de base sur le graphène et la tricouche AB C 19

Fi g u r e 1.4 Exemple de l’empilement de type Bernai avec les param ètres énergétiques de saut 7 - , j — 0,1,3,4.

consiste à avoir les atomes du sous-réseau B2 (l’indice veut dire la deuxième couche de

graphène) au centre des hexagones de la stru ctu re en nid d ’abeilles et les atom es du sous-réseau A2 au-dessus des atomes du sous-réseau B i .

La tricouche avec un empilement d it A B C est to u t simplement un empilement Bernai entre la première et la deuxième couche, mais aussi entre la deuxième et la troisième. En respectant ces empilements, les atomes du sous-réseau A i sont directem ent sous les atomes du sous-réseau B3 et les atomes du sous-réseau B\ sont au centre d ’une plaquette

de la troisième couche. L’empilement entre la troisième couche et la première est donc aussi Bernai. La séparation entre deux couches est de 3,33 Â, pour un espacement entre la première et la troisième d ’environ 6,67 À. La fig.(1.5) montre la stru ctu re complète de la tricouche (les indices représentent la couche).

Puisqu’il y a trois couches, le nombre de param ètres de saut augm ente considéra­ blement par rapport à la bicouche. Nous faisons donc une description de chacun de ces param ètres (définitions prises de [9]). Dans chacune des couches, il y a le sau t entre les atomes A, et B t, soit le terme 70. Ce param ètre est le seul intra-couche : tous les autres sont des transferts inter-couches. E ntre les couches directement voisines il y a plusieurs types de saut. Comme l’empilement est du type Bernai : il y a une différence entre, di­ sons, un saut d ’un atome du sous-réseau A i de la première couche vers un atom e B2 de

(38)

Chapitre 1 : Notions de base sur le graphène et la tricouche A B C 20

C o u ch e 1 C o u ch e 2 C o u ch e 3

F IG U R E 1.5 - Vue du dessus d ’une tricouche A B C e t de la configuration de sites les uns par rapport aux autres. L’indice au bas des lettres A et B indique la couche à laquelle l’atome de carbone appartient.

(39)

Chapitre 1 : Notions de base sur le graphène et la tricouche A B C 21

Transfert Distance Param ètre 7 du saut

Ai ^ B{ V3aD 7o Bi A i+ 1

/K

7i Ai B i+i d0 73 Ai --T A{ ^ 1 , Bi —=r Bi^.\ &o 74 A \ ^ B3 2 \ [ î ao 72 B\ ±=; A3 y/ScL0 75 A \ ±=i A3 , B i ±=; B3 \Bin 0 7e

TABLEAU 1.1 Param ètres de sau t entre les sites et la distance correspondante. et Bi sont l’un au-dessus de l’autre. Alors que B2 est au centre d ’un l’hexagone de la

première couche. Ainsi le sau t du sous-réseau B vers le sous réseau A d ’une au tre couche a le param ètre énergétique 7X. Ensuite il y a l’inverse, des atomes A vers un atom e B d ’une autre couche caractérisé par le param ètre énergétique 73. Les sauts entre les mêmes sous-réseaux (soit Ai vers A i+X et Bi vers B i+\) ont le param ètre Il reste finalement les sauts entre la première et troisième couche qui sont beaucoup moins probables à cause de la grande distance qui sépare ces deux couches. Le saut entre le sous-réseau A \ vers celui du sous-réseau B% a le param ètre 72. Les sauts aux plus grandes distances sont de B i vers A3 avec une énergie de saut 7 5 et l’énergie j6 pour les sauts A \ vers A3 et B\

vers B3. Le tableau (ta b .(l.l)) qui résume chacun des param ètres : .

Nous sommes m aintenant en mesure d ’écrire l’ham iltonien complet. É ta n t d ’une taille considérable nous choisissons de m ettre en annexe l’hamiltonien complet. Nous écrivons immédiatement la m atrice correspondante (voir éq.(1.23)) . Comme pour la monocouche, la matrice des vecteurs propres de Ho appliquée sur le vecteur des opérateurs de créa­ tion donnera les opérateurs d ’états propres, donc un hamiltonien diagonalisé en seconde quantification. La base utilisée est A x, B3. B i , A 2, B 2, A3 qui donne l’ham iltonien suivant

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Chapitre 1 : Notions de base sur le graphène et la tricouche A B C 22 7 0 = 3,16 eV 71 = - o , 502 eV 7 2-^T H gzrev 7 3 -0,377 eV 7 4 = —0,099 eV

Ta b l e a u 1.2 - Valeurs des param ètres de saut. Ces valeurs sont déterminées avec le

calcul D FT lissé sur le modèle des liaisons fortes. (pour une notation plus compacte, A(k) —> A) :

/ a î - \ 2,k 2,k 3,k H,o l,k ^3,k bU a,2,k 2,k (1.46) H0 =

\

V a 3,k / - 7 2 —70A* * c é -1 - 7 3 A - 7 e A - 7 2 eV3 —7 6 A* — 7 3 A * — 7 4 A —7 0A —7 0A - 7 6 A eVÏ —7 i - 7 4A* - 7 5A* - 7 4 A - 7 3A —7 i eV2 —70A* —74A* - 7 3A* - 7 4A* - 7 4A —7c>A eV2 “ 7i - 7 6A*70A* — 7 5 A7 4a7 i eV3 (1.47)

Négligeons e t 76, [9], puisque ce sont des sauts assez improbables de la distance entre les sites (voir le ta b .(l.l) ). Le term e A(k) est défini dans le section sur la monocouche (voir êq.(1.15)). Les eV, sont des potentiels appliqués sur les couches i afin de créer une différence de potentiel entre chaque couche. Nous utilisons les param ètres donnés dans l’article [9] qui sont trouvés à l’aide d ’un lissage pour adap ter la stru ctu re de bandes du modèle des liaisons fortes à celle trouvée avec la technique de D F T (density functional theory). La fig.(1.6)) montre la dispersion électronique de cet hamiltonien (éq.(1.47)). Il y a six bandes d ’énergie. Il n ’y a pas de gap dans la structu re de bandes. Il est possible d ’ouvrir un gap en appliquant une différence de potentiel entre les couches [10]. Il y a un petit gap d ’environ A = 27l entre les deux bandes aux basses énergies et les deux aux hautes énergies. Ce gap est situé au point autour du point K + — ^ ( | , 0). Les vecteurs propres dans l’espace des k des bandes qui se touchent près du zéro d ’énergie au point

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Chapitre 1 : Notions de base sur le graphène et la tricouche A B C 23 1*r zone de Brillouin Zone irréductible en rouge -10 0.2 0.4 0.6 |k| unité d e ( 2 n l a o) o 0.8 1 1.2

F IG U R E 1.6 - Les six bandes d ’énergie de la tricouche ABC de graphène. L’axe des abscisses est tracé en suivant le triangle de la zone irréductible (médaillon de gauche), la norme |k| somme sur le tour du triangle. U n ’y aucun potentiel électrique sur chacune des couches. Le médaillon de droite est un agrandissement du point de rencontre des bandes de valences et celles de conduction.

(42)

Chapitre 1 : Notions de base sur le graphène et la tricouche A B C 24 K + = jf- (§, 0) sont donnés par :

1 7 2

(

1

\

1 0 0 0

V 0 /

7 2

(

1

\

- 1 0 0 0 0 (1.48)

Selon ces vecteurs, les électrons sont partagés également sur les sites A\ et B3 dans ces

vecteurs propres. Autour des vallées K + et K _ aux faibles énergies (autour de zéro) les électrons se partagent sur deux sites seulement. Afin de faire une approxim ation à l’ordre zéro autour des points K + e t K „ il faut m entionner que les param ètres 7 2 et -y3

sont responsables du trigonal warping, ils créent une division du contact entre la bande de valence et de conduction en trois points [11]. Ils sont très petits. Dans le deuxième chapitre nous montrons que 7 2 et 73 peuvent êtres négligés. Alors même si 7 2 et 73 sont négligés les vecteurs propres changent, mais les atom es d ’intérêt ne changent pas :

( o\

1 0 0 0

V 0 /

/ i \

0 0 0 0 \ 0 / (1.49)

c’est encore les sites A \ et B3 qui entrent en jeu. Il est alors évident que si nous avons l’in­

tention d ’étudier le comportement des électrons au tou r des vallées pour des énergies près de zéro, c’est-à-dire au croisement de la bande de valence e t de la bande de conduction, alors il est peut-être pertinent de ne pas considérer la m atrice 6 x 6 complète et donc d ’avoir un modèle beaucoup plus simple. Il existe une démarche qui perm et d ’intégrer l’effet des quatre autres bandes dans un modèle à deux bandes [9]. Le résultat est alors une matrice plus simple, 2 x 2 dans la base des sites A i e t B 3. C ’est la base d ’intérêt puisque ces sites sont les plus im portants aux énergies que nous étudions. Il ne faut pas oublier que nous sommes dans l’approxim ation du continuum montrée dans la section sur la monocouche (voir éq.(1.24)) soit A (K ± + f ) ~ La démarche utilisée afin

Figure

FIGURE  1.1  -   Illustration  de  la structure  cristalline  du graphène.  Les  deux sous-réseaux  sont  triangulaires
TABLEAU  1.1  Param ètres  de  sau t  entre  les  sites  et  la  distance  correspondante
FIGURE  3.10  -   Évolution  des  populations  de  chacune  des  orbitales  (dans  une  vallée  et  d ’un  spin  spécifique)  en  fonction  de  A LL
FIGURE 5.1  Représentation des liquides incohérents. Les orbitales en rouges sont pleines
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