1.2 La mod´ elisation MHD
1.2.2 Approximations num´ eriques
En utilisant l’´equation de conservation de la masse (1.15), les ´equations ´evolutives (1.12)-(1.14) peuvent ˆetre r´ecrites sous la forme de la loi de conservation g´en´eralis´ee
∂ρ∗Ψ
∂¯t +∇ · (V
∗
Ψ) = ρ∗R , (1.23)
o`u Ψ ≡ {u, Θ0, B}T et R ≡ {R
u, RΘ0, RB}T d´enotent, respectivement, les vecteurs
des variables prognostiques d´ependantes et des termes de for¸cage correspondants, avec V∗ ≡ ρ∗u∗ symbolisant le vecteur de la quantit´e de mouvement responsable du
transport de Ψ par l’´ecoulement. Les forces de Lorentz et d’induction apparaissant dans (1.12) et (1.14) peuvent aussi ˆetre ´ecrites sous forme conservative via (1.16)
B∗· ∇B = 1 G∇ · GB ∗ B , B∗· ∇u = 1 G∇ · GB ∗ u . (1.24)
Dans l’approche Eul´erienne, (1.23) est int´egr´ee localement aux points de maille xi `a
l’aide des flux aux faces de chaque cellule; voir la section 1.2.2.1.
Alternativement, le syst`eme (1.12)-(1.14) peut s’´ecrire sous sa forme Lagrangienne ´evolutive
dΨ
d¯t = R , (1.25)
o`u d/d¯t d´enote la d´eriv´ee totale le long de la trajectoire d’un ´el´ement de fluide T : (x0, t0) → (xi, t) ayant son point de d´epart x0 au temps t0 et son point d’arriv´ee `a
xi au temps t. De ce point de vue, l’obtention de Ψ(xi, t) `a chaque pas de temps via
l’int´egrale de (1.25) le long des trajectoires des parcelles de fluide conduit directement aux m´ethodes semi-Lagrangiennes; voir la section 1.2.2.2.
Dans un cas ou dans l’autre, EULAG effectue l’int´egration de (1.23) ou (1.25) via l’approximation de diff´erences finies amont non-oscillatoires (‘non-oscillatory forward- in-time’ - NFT)
o`u la solution Ψn
i est calcul´ee au point (xi, t); bΨ ≡ Ψn−1+ 0.5∆tRn−1, et LE d´enote
un sch´ema `a deux niveaux temporels, qui correspond soit `a un op´erateur de trans- port Eul´erien ou `a un op´erateur semi-Lagrangien non-oscillatoire. Le terme ‘non- oscillatoire’ se rattache aux m´ethodes monotoniques telles que TVD (‘total variation diminishing’), FCT (‘flux-corrected transport’), ainsi qu’aux diff´erentes m´ethodes bas´ees sur la limitation des flux advectifs ou la pr´eservation du signe de la vari- able transport´ee, qui ´eliminent/r´eduisent/contrˆolent les oscillations num´eriques car- act´erisant les sch´emas haute-r´esolution [170]; tandis que ‘diff´erences finies amont’ d´esigne une classe de m´ethodes Lax-Wendroff g´en´eralis´ees [39, 163, 185]. L’algorithme (1.26) est implicite par rapport `a chaque variable prognostique, et doit ˆetre invers´e alg´ebriquement tout en ´etant sujet aux formes discr`etes correspondant aux contraintes (1.15) et (1.16). Pour y parvenir, (1.26) est ´ecrit sous la forme it´erative `a point fixe
Ψn,νi = bΨi+ 0.5∆tL(Ψ)n,νi + 0.5∆tN(Ψ) n,ν−1
i − 0.5∆t eG∇Φ| n,ν
i , (1.27)
o`u le terme de for¸cage R(Ψ) a ´et´e s´epar´e en parties lin´eaire L(Ψ) et nonlin´eaire N(Ψ) par rapport `a Ψ. Pour compenser les erreurs de troncature responsables de la violation de (1.16), un terme auxiliaire de la forme − eG∇π∗ est ajout´e au
cˆot´e droit de (1.14). Ce dernier est compris dans le dernier terme au cˆot´e droit de (1.27), qui inclut ´egalement le gradient de la pression − eG∇π0 dans (1.12), avec Φ ≡ (π0, π0, π0, 0, π∗, π∗, π∗). Le fait de d´ecaler le terme nonlin´eaire N(Ψ) par rapport aux autres termes permet d’obtenir une expression sous forme ferm´ee de la solution
Ψn,νi = [I − 0.5∆tL]−1i b b Ψ − 0.5∆t eG∇Φn,ν , (1.28)
o`u bΨ = bb Ψ + 0.5∆tN(Ψ)n,ν−1. L’application des analogues discrets des contraintes (1.15) et (1.16) `a (1.28) produit deux syst`emes lin´eaires tridiagonaux (ou penta- diagonaux, selon les d´etails de la discr´etisation des op´erateurs diff´erentiels) et g´en´era- lement nonsym´etriques, qui sont ensuite invers´es pour obtenir π0 et π∗ en utilisant l’algorithme du gradient conjugu´e g´en´eralis´e pr´econditionn´e (GCR) [57, 181]. Les
forces dissipatives Du et DB des ´equations (1.12) et (1.14), ainsi que les termes de
diffusion radiative H(Θ0) et de refroidissement Newtonien −αΘ0 dans (1.13) peu- vent ˆetre trait´es de fa¸con similaire aux termes nonlin´eaires, ou ˆetre int´egr´es ex- plicitement au premier ordre dans le temps. Dans ce dernier cas, la structure de l’int´egrale trap´ezoidale (1.26) est reproduite en incorporant les termes dissipatifs dans l’argument de l’op´erateur de transport, tel que eΨ ≡ Ψ + 0.5∆t(R + 2 eR), o`u
e
R incorpore les termes dissipatifs en question. Une fois la solution Ψn,ν obtenue,
la somme des termes de for¸cage implicites RI := L − ∇Φ est donn´ee par RIn = (0.5∆t)−1(Ψn,ν − b
b
Ψ), tandis que la somme des termes explicites RE := N(Ψ) + eR s’obtient via la d´efinition de chaque terme. ´Etant donn´e que dans le contexte des simulations de magn´etoconvection les temps caract´eristiques associ´es `a la diffusion radiative et au for¸cage Newtonien surpassent grandement le temps de retournement des cellules convectives, chacun d’eux est int´egr´e explicitement au premier ordre.
1.2.2.1 L’approche Eul´erienne
Dans l’approche Eul´erienne, l’op´erateur LE dans (1.26) symbolise l’int´egration au deuxi`eme ordre dans le temps et dans l’espace de l’´equation de transport homog`ene pour eΨ — i.e. R = 0 au cˆot´e droit de 1.23 — en utilisant le sch´ema MPDATA (‘Mul- tidimensional positive definite advection transport algorithm’) [164]. Afin d’illustrer les propri´et´es de base de MPDATA, on consid`ere le cas uni-dimensionel et `a vitesse constante de (1.26) pour la quantit´e ψ avec ρ∗ = 1 et R = 0, qui m`ene `a l’´equation d’advection constante
∂ψ ∂t +
∂
∂x(uψ) = 0 . (1.29)
De fa¸con purement g´en´erale, il est possible d’approximer (1.29) via l’expression
ψni = ψin−1− [Fc(ψin−1, ψ n−1
i+1, Ci+1/2) − Fc(ψn−1i−1, ψ n−1
o`u la fonction de flux Fc est d´efinie en termes du nombre de Courant local C =
u∆t/∆x selon l’expression
Fc(ψL, ψR, C) ≡ [C]+ψL+ [C]−ψR , (1.31)
avec [C]+ ≡ 0.5(C + |C|) et [C]− ≡ 0.5(C − |C|). Les indices entiers et demi-entiers
correspondent ici aux centres et aux parois des cellules des volumes finis, respective- ment. Une premi`ere ´evaluation de (1.30) r´esulte en une approximation du second ordre en ∆x et ∆t de l’´equation de diffusion
∂ψ ∂t = − ∂ ∂x(uψ) − ∂ ∂x − K∂ψ ∂x , (1.32)
o`u K ≡ ∆x2/(2∆t)(|C| − C2), tel que le d´emontre une analyse de troncature de
(1.30). Le concept cl´e de MPDATA consiste `a red´efinir le flux diffusif `a l’int´erieur de la divergence correspondant au deuxi`eme terme au cˆot´e droit de (1.32) en termes d’un flux advectif
−K∂ψ ∂x ≡ udψ = ∆x 2 2∆t(|C| − C 2)1 ψ ∂ψ ∂x ψ , (1.33)
o`u ud est une pseudo-vitesse. Puis, une r´e´evaluation de (1.30) utilisant cette fois la
vitesse anti-diffusive ua ≡ −ud `a la place de u et la valeur de ψ mise `a jour dans la
premi`ere it´eration suffit `a compenser le terme diffusif du premier ordre au cˆot´e droit de (1.32). La stabilit´e de l’it´eration corrective est assur´ee, ´etant donn´e l’approximation de ua selon 1 ψ ∂ψ ∂x ≈ 2 ∆x ψn−1i+1 − ψn−1 i−1 ψn−1i+1 + ψi−1n−1+ ε , (1.34) pour ε > 0 et |C| ≤ 1. L’extension de MPDATA `a plusieurs dimensions spatiales s’obtient via la mˆeme approche en tenant compte des termes de troncature com- prenant les d´eriv´ees mixtes de ψ. De mˆeme, la stabilit´e des it´erations est garantie en bornant les nombres de Courant associ´es `a chaque dimension.
1.2.2.2 L’approche semi-Lagrangienne
Il est utile d’examiner l’approche semi-Lagrangienne du point de vue de l’int´egrale de chemin de la loi ´evolutive (1.25) le long de la trajectoire T et de son approximation correspondante (1.26). En consid´erant une composante particuli`ere de (1.25) — par ex. dψ/dt = R — on a ψin = ψ0 + Z T R d t ≈ ψ0+ 0.5∆t(R0+ Rni) ≈ (ψ + 0.5∆tR)0+ 0.5∆tRni , (1.35)
o`u (.)0 d´enote la variable au point de d´epart de la trajectoire (x0, t0) et la deuxi`eme
approximation tient compte de la nonlin´earit´e de l’op´erateur LE. L’avancement de la solution au temps t = t0 + ∆t s’effectue en trois ´etapes distinctes. Dans un
premier temps, les trajectoires arrivant aux points de maille xi sont ´evalu´ees via
l’approximation `a l’int´egrale
x0 = xi−
Z t t0
u(x(τ ), τ ) d τ , (1.36)
de la relation cin´ematique dx/d¯t = u. Deuxi`emement, les variables prognostiques sont obtenues aux points de d´epart des trajectoires eΨ(x0, t0) → eΨ(xi, t0) en utilisant
un sch´ema d’interpolation [166]. Troisi`emement, les contributions aux termes de for¸cage sont int´egr´ees le long des trajectoires selon (1.35) [60, 169, 175, 178, 199].
La formulation Lagrangienne conduit `a l’interpr´etation d’un continuum fluide dans lequel l’´evolution d’un ´el´ement de fluide infinit´esimal est d´ecrite par la formule d’expansion d’Euler
d ln J
dt = ∇ · u , (1.37)
o`u J := det(∂x/∂x0) est le Jacobien de l’´ecoulement, qui s’interpr`ete comme le
rapport des volumes des ´el´ements de fluide correspondant aux points d’arriv´ee et de d´epart de la trajectoire. Lorsque combin´ee avec la forme ´evolutive de l’´equation de conservation de la masse
dρ
la formule d’Euler donne la forme Lagrangienne de l’´equation de conservation de la masse
ρ(xi, t) = bJ ρ(x0, t0) , (1.39)
o`u bJ := det(∂x0/∂x) est le Jacobien inverse de l’´ecoulement. Par cons´equent,
l’´evaluation num´erique des points de d´epart induit des erreurs dans bJ , et peut mener `
a une violation de la compatibilit´e des int´egrales (1.35) et (1.36) avec (1.39). Dans le cas d’un fluide incompressible, la contrainte ∇ · u = 0 impose un volume constant aux parcelles de fluide et on a
b
J = 1 . (1.40)
Pour que l’´ecoulement soit physiquement r´ealisable, l’algorithme num´erique ne doit pas g´en´erer d’intersections entre les trajectoires des parcelles de fluide. Cette pro- pri´et´e implique que bJ doit ˆetre positif et born´e (0 < bJ < ∞), d’o`u l’importance d’assurer la satisfaction de (1.39) [168].