Ecorr = E0 - EHF < 0
IV. 3. 1.Approximation locale
Il nous faut à présent donner une forme algébrique à Exc qui permette de prendre en compte de façon satisfaisante les corrélations entre les mouvements des différents électrons. La première approximation qui a été envisagée va dans la continuité de la démarche de Kohn et Sham et consiste à définir une référence pour laquelle nous disposons d’une expression aussi précise que possible de la fonctionnelle en question. L’idée de l’approximation de la densité locale est de considérer le potentiel d’échange-corrélation comme une quantité locale définie en un point r, dépendant faiblement des variations de la densité autour de ce même point r. L’approximation locale de la densité ou LDA de l'anglais Local Density
Approximation doit donc reproduire au mieux les caractéristiques physiques de la moyenne sphérique du trou d’échange-corrélation plutôt que du trou lui-même. Cette approximation est à la base de toutes les fonctionnelles d’échange-corrélation modernes et peut-être définie comme suit :
{ = ∫ 𝜀 ( )
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C’est la fonctionnelle pour laquelle une forme exacte est presque connue. L’approximation de Exc ρ est basée sur le modèle du gaz d’électron uniforme où le terme εxc est l’énergie d’échange-corrélation par particule du gaz d’électron uniforme de densité . De plus, εxc peut être considérée comme la somme d’une contribution d’échange et de corrélation:
εxc =ℰx + ℰc (12')
Le terme d’échange, communément appelé "échange de Dirac" [28]. (Symbolisé par S du fait que cette expression fut reprise par Slater) est connu exactement :
ℰ = − 1/3
(13')
La partie corrélation ε ne peut être exprimée de manière exacte. L’approximation de ce terme établie par Vosko, Wilk et Nussair (VWN) [28] a obtenu le plus de succès. Elle est basée sur une interpolation des résultats de calculs Monte-Carlo quantiques très précis sur le gaz uniforme d’électrons réalisés par Ceperley et Alder [29].L’idée de base de la LDA est qu’il est possible d’estimer l’énergie d’échange-corrélation d’un système inhomogène en utilisant sur des portions infinitésimales les résultats d’un gaz homogène d’électrons de densité égale à la densité locale du système inhomogène. Cette approximation est raisonnable pour un système où la densité varie lentement mais cette condition n’est pas satisfaite en pratique. Cependant, la LDA est étonnamment efficace et son application aux atomes et aux molécules se justifie par le succès de ses applications numériques.
IV.3.2. L’approximation du gradient généralisé
La plus grande source d’erreur de la LDA provient de l’énergie d’échange qui est souvent sous-estimée tandis que l’énergie de corrélation est souvent surestimée même si, en valeur absolue, sa contribution à l’énergie totale est plus petite. Ces deux erreurs ont tendance à s’annuler. Pour améliorer la précision des calculs DFT, nous avons besoin de meilleures approximations pour la fonctionnelle d’échange-corrélation. Certains auteurs ont eu l'idée de définir une fonctionnelle de la densité qu'ils ont associée à ses dérivées propres dans le but de prendre en compte l’inhomogénéité du système. Dans un premier temps, la LDA fut traitée comme le premier terme d’un développement en série de Taylor :
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[ ] = ∫ 𝜀 ( ) + ∫ |∇ | + ⋯ (14')
Cette forme de fonctionnelle est l’approximation du gradient (GEA ou Gradient Expansion
Approximation en anglais). Malheureusement, ceci donne de plus mauvais résultats que la LDA. En effet, le trou d’échange-corrélation ne satisfait plus les conditions qui assuraient à la LDA un certain sens physique. Afin de corriger ces problèmes, la fonctionnelle ci-dessus a été modifiée pour la forcer à respecter les principales conditions aux limites. Nous obtenons alors l’approximation du gradient généralisé (GGA ou Generalized Gradient Approximation en anglais) à l’origine du succès de la DFT :
[ , ∇ ] = ∫ 𝜀 ( , ∇ ) (15')
Souvent les contributions pour l’échange et la corrélation sont développées séparément :
, ∇ = , ∇ + , ∇ (16')
Le problème majeur de la LDA provenant de l’échange, une attention toute particulière fut portée sur le développement de cette partie :
, ∇ = − ∫ ( ) (17')
Où F est une fonction du gradient de densité réduite (sans dimension) :
s(r)=|∇ | (18')
Nous pouvons ainsi citer les fonctions de Becke (B88) [30]. , celles de Perdew (PW86) [31]. Et celles de Handy et Cohen (OPTX) [33].
B88
La fonctionnelle d’échange B88 est basée sur une analyse dimensionnelle et sur un comportement asymptotique correct de la densité d’énergie d’échange
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= + ℎ− avec =0.0042 u.a (19')
β est un paramètre empirique déterminé par une analyse des moindres carrés des énergies d’échange des six atomes de gaz rares (de He à Rn).
la fonctionnelle de Perdew et Wang (PW91) [33]. provient d’une modification de cette fonctionnelle pour qu’elle satisfasse à certaines conditions de mise à l’échelle.
PW86
Cette fonctionnelle est basée sur une analyse de l’expansion du gradient du trou d’échange corrélation autour de sa forme LSDA.
𝑃 = [ + . 96 + 4 + . ] / avec p= 4 / (20')
La fonctionnelle de Perdew, Burke et Ernzerhof (PBE) [34]. est une modification de cette fonctionnelle. Il est intéressant de remarquer que ni PW86, ni PBE ne contiennent de paramètres empiriques.
IV.3.4. Les fonctionnels hybrides :
La contribution de l'échange est nettement plus grande que celle de la corrélation. Il est donc important d'avoir une expression des plus précises pour l'échange. Par ailleurs, le problème de la méthode Hartree-Fock réside juste dans la description de la corrélation électronique. L'énergie d'échange d'un déterminant de Slater peut être calculée de façon exacte. On peut donc se demander pourquoi utiliser des fonctionnelles approchées pour cette contribution alors que l'on peut utiliser l'expression exacte de l'échange Hartree-Fock. On écrirait ainsi l'énergie EXC :
= + (1'')
L'expression de s'obtient simplement en remplaçant les spin-orbitales { } par les orbitales de Kohn-Sham { } Malheureusement, cette approche ne donne pas les résultats escomptés. La dégradation, par rapport au calcul effectués avec des fonctionnelles d'échanges GGA, est même spectaculaire.
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Cet échec d'un échange totalement Hartree-Fock est notamment dû à la différence entre les définitions de l'énergie d'échange-corrélation en HF et dans le formalisme de Kohn-Sham. Exc [ ] contient TC[ ], la différence entre l'énergie cinétique du système réel et celle du système fictif sans interactions, et pas uniquement Encl On contourne ce problème en incluant partiellement l'échange Hartree-Fock.
Par analogie avec la thermodynamique et les processus adiabatiques, on peut passer de l'énergie du système fictif à l'énergie du système réel de façon continu à l'aide d'un paramètre qui varie de 0 à 1. La densité est considérée invariante par rapport à . Ce principe porte le nom de connexion adiabatique. On peut alors écrire :
= ∫ (2")
Quand = 1 , on est dans le cas du système réel et l'énergie d'échange-corrélation EXC peut être approchée à l'aide d'une fonctionnelle LDA ou GGA. Quand =0, on est dans le Système fictif sans interactions, et l'expression de = . limite à l'échange exact HF. On doit faire une approximation pour aller plus loin. En admettant que varie linéairement avec l'intégrale (2'') mène à :
= = + = (3")
En utilisant dans cette relation une fonctionnelle d'échange-corrélation LDA pour = et l'échange Hartree-Fock pour = Becke a établi l'approche connue sous le nom de "Half-and- Half" [35]. .Puis, l'étape suivante a été l'intervention de paramètres semi empiriques pour trouver la meilleure proportion d'échange HF. Ces travaux ont donné lieu à l'article [36]. le plus cité en chimie (d'après [37]. ) et à la fonctionnelle B3 :
= + ( = − ) + + 𝑃 (4")
Les paramètres optimisés pour cette fonctionnelle sont a=0.20, b=0.72, c=0.81. La fonctionnelle qui a le plus de succès, B3LYP [38], consiste simplement à remplacer la fonctionnelle de corrélation PW91 par la fonctionnelle LYP. Des variantes de ces fonctionnelles ont été développées, avec des contributions de l'échange HF plus ou moins grandes, en fonction des propriétés que l'on chercher à calculer. Dans le cadre de cette thèse,
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nous aurons l'occasion d'utiliser différentes fonctionnelles hybrides, le but, nous le verrons plus loin, étant de voir l'influence de l'échange exact sur nos calculs. La fonctionnelle de Reiher B3LYP* [39].est construite sur le même modèle que B3LYP, mais elle contient 15% d'échange Hartree-Fock au lieu de20%. Pour balayer un domaine plus grand de fraction d'échange HF nous avons eu recours à des fonctionnelles hybrides basées sur des fonctionnelles existantes avec des proportions d'échange local, non local et HF varié. Le logiciel Gaussian permet de personnaliser les fonctionnelles existantes.
IV.3.5. Au-delà des GGA
La troisième voie, suivie en parallèle des développements des fonctionnelles hybrides, est celle du troisième échelon de l’échelle de Jacob. A savoir, en plus de la dépendance du gradient de la densité ρ(r) de l’énergie d’échange corrélation, l’introduction de la dépendance du Laplacien de la densité ∇2ρ(r), et/ou la densité d’énergie cinétique. Ces types de fonctionnelles sont regroupés sous l’appellation méta-GGA (MGGA) dans le sens qu’elles vont au-delà des GGA. On les appelle aussi fonctionnelles -dépendante.