2.3 Jonctions supraconducteur-normal-supraconducteur
2.3.3 Approche quasiclassique de l’effet de proximit´e
a l’interface avec le m´etal normal et ξN(T ) =q ~DN
2πKBT est la longueur de coh´erence des paires de Cooper dans le m´etal normal.
Lorsque T est proche de Tc et dans le cas d’une jonction ´epaisse
Im∼ e−2dN/ξN(Tc− T )2 (2.96) Im(T ) est donc proportionnel `a (Tc − T )2 pour une jonction SNS alors que dans le cas d’une jonction SIS, la d´ependance est lin´eaire pr`es de Tc.
L’expression 2.96 pr´evoit une d´ependance exponentielle du courant critique avec l’´epaisseur du m´etal. D’un point de vue exp´erimental, il s’agit d’un param`etre contrˆolable qui permet d’ajuster la valeur du courant critique en fonction de l’utilisation d´esir´ee de la jonction.
2.3.3 Approche quasiclassique de l’effet de proximit´e
Cette partie pr´esente tr`es bri`evement le formalisme des th´eories quasiclassiques de la supra-conductivit´e. Le but est d’introduire les ´equations d’Usadel sous la forme param´etr´ee que nous utiliserons dans le chapitre 3 consacr´e aux jonctions fabriqu´ees par irradiation ionique3.
Les ´equations de Gorkov que nous avons introduites dans ce chapitre fournissent un cadre th´eorique complet pour l’´etude des syt`emes supraconducteurs inhomog`enes. Malheureusement, mˆeme dans le cas de syst`emes relativement simples, ces ´equations sont complexes et ne peuvent ˆetre r´esolues exactement. Cependant, une forme simplifi´ee des ´equations, plus facilement utilisable, peut ˆetre obtenue dans le cadre de l’approximation quasiclassique initi´ee par Eilenberger.
Cette m´ethode est bas´ee sur le fait que les ´energies mises en jeu dans le ph´enom`ene de supracon-ductivit´e (≃ ∆) sont bien inf´erieures `a l’´energie de Fermi (EF)[87]. L’approximation quasiclassique consiste alors en un d´eveloppement perturbatif des ´equations de Gorkov en fonction d’un petit param`etre E∆F. Cela signifie que toutes les variations des grandeurs physiques sur une ´echelle de longueur inf´erieure `a la longueur de coh´erence ξ sont int´egr´ees. Cette approximation supprime toutes les informations `a l’´echelle de la longueur d’onde de Fermi et ne permettra pas non plus de d´ecrire les ph´enom`enes d’interf´erence `a un ´electron telle que la localisation faible. Dans le cas des supraconducteurs conventionnels le rapport E∆F est de l’ordre de 10−3 ce qui justifie pleinement l’approximation quasiclassique. Pour les supraconducteurs `a haute temp´erature, ce rapport peut atteindre 10−2− 10−1 et l’approximation reste valable, au minimum pr`es de Tc.
La th´eorie quasiclassique utilise les fonctions de Green quassiclassiques qui sont obtenues par int´egration des fonctions de Green sur l’´energie au voisinage de la surface de Fermi. En utilisant les notations du formalisme de Nambu [104], la matrice des fonctions de Green quasiclassiques s’´ecrit
ˆ
gω= g f f†−g
o`u g est la fonction de Green quasiclassique correspondant aux ´etats `a une particule et f la fonction de Green qui d´ecrit la coh´erence `a deux particules.
3Le lecteur int´eress´e par le formalisme quasiclassique de la supraconductivit´e pourra consulter l’article de revue de W. Belzing [19].
2.3.3.1 Equations d’Eilenberger
Les ´equations de Gorkov ont ´et´e reformul´ees par Eilenberger[41] dans l’approximation qua-siclassique sous une forme identique `a des ´equations de mouvement. En utilisant les notations du formalisme de Nambu et du formalisme de Matusbara, l’´equation quasiclassique d’Eilenberger s’´ecrit [19]
−~vF∂, ˆˆ gω(vF, r) = ωˆτ3+ ˆ∆ + 1
2τhˆgω(vF, r)i, ˆgω(vF, r)
(2.97) o`u ω = (2n + 1)πkBT (n=0,±1,±2... ) sont les fr´equences de Matsubara et ˆ∂ = ∇ +ie
~A(r)ˆτ3 la d´eriv´ee covariante. hˆg(vF, r)i est une moyenne sur les collisions avec les impuret´es.
ˆ
τ3 est la troisi`eme matrice de Pauli ˆ
τ3= 1 0 0 −1
La matrice de Green doit satisfaire `a la condition de normalisation ˆg2
ω(vF, r) = ˆ1 c’est `a dire g2
ω(vF, r) + fω(vF, r)f† ω(vF, r) ˆ
∆ est la matrice du potentiel de paires donn´ee par ˆ ∆ = 0 ∆ ∆† 0
Les grandeurs spectrales peuvent s’obtenir en effectuant la continuation analytique ωn → iǫ + 0+. Les grandeurs thermodynamiques comme le potentiel de paires et le supercourant sont obtenues en effectuant une somme sur les fr´equences de Matusbara.
2.3.3.2 Equations d’Usadel
Nous consid´erons maintenant le cas d’un supraconducteur ayant une forte concentration d’im-puret´es et dont le libre parcours moyen est plus petit que la longueur de coh´erence. Les fonc-tions de Green deviennent alors quasiment isotropes et peuvent ˆetre d´evelopp´ees en harmoniques sph´eriques. Dans cette limite, Usadel [136] a simplifi´e les ´equations quasiclassiques en moyennant les fonctions de Green sur toutes les directions du vecteur d’onde.
L’´equation d’Eilenberger ne d´epend alors plus du vecteur d’onde et se r´eduit `a une simple ´equation de diffusion[19, 85]
~∂, ˆˆ Gω(r)∂, ˆˆ Gω(r)]] =ωˆτ3+ ˆ∆(r), ˆGω(r)
(2.98) o`u D = vFl
3 est le coefficient de diffusion et ˆGω(r) est la moyenne sur tous les angles de la matrice des fonctions de Green quasiclassiques.
Lorsqu’il n’y a pas de terme de gradient de phase, ˆGω(r) est enti`erement r´eel et le formalisme de Matsubara sera donc particuli`erement bien adapt´e `a la r´esolution de l’´equation d’ Usadel.
Le courant est donn´e par
j(r) = −iπσN 2e T X ω T rˆτ3Gˆω(r)∂, ˆˆ Gω(r) (2.99) o`u σN = 2e2N0D est la conductivit´e `a l’´etat normal (N0est la densit´e d’´etats de quasiparticules).
L’´equation self-consistante du potentiel de paires est alors donn´ee par ∆ = λ2πkBTX
ωn
2.3 Jonctions supraconducteur-normal-supraconducteur 61
o`u λ est la constante de couplage.
Les fonctions F et G ob´eissent `a la condition de normalisation F2+ G2= 1
qui traduit le fait que le nombre total d’´electrons du syt`eme est fix´e.
Cette propri´et´e permet d’effectuer une param´etrisation des ´equations d’Usadel en fonction d’un angle d’appariement θ(r) et de la phase χ(r)[19, 85]
G(ωn, r) = cos θ(r) (2.101)
F (ωn, r) = sin θ(r)eiχ(r) (2.102) ˆ
Gω=
cos θ sin θ(r)eiχ(r)
sin θ(r)e−iχ(r) cos θ
Les ´equations d’Usadel prennent alors une forme simplifi´ee ~D 2 ∂2θ ∂x2 − ωnsin θn+ ∆ cos θ −~2D∂χ∂x 2 sin θ cos θ = 0 (2.103) ∂ ∂x h∂χ ∂xsin 2θi= 0 (2.104)
L’´equation self-consistante du potentiel de paire est alors donn´ee par ∆(x) = λ2πkBTX
ωn
sin θ (2.105)
On notera que dans le cas d’une jonction entre un m´etal normal et un supraconducteur, ∆ est nul dans le m´etal normal, (sauf si celui-ci est lui-mˆeme un supraconducteur), ce qui simplifie la r´esolution de l’´equation d’Usadel.
Le courant est alors donn´e par
j(x) = −πeN0DTX
ω
∂χ ∂xsin
2θ (2.106)
Nous voyons que l’´equation 2.104 exprime simplement la conservation du courant j(x). Conditions aux limites et aux interfaces L’´equation diff´erentielle 2.103 doit ˆetre r´esolue avec des conditions aux limites. Dans une jonction Supraconducteur-m´etal Normal, les ´equations d’Usadel d´ecrivent la propagation des paires du cˆot´e supraconducteur ou du cˆot´e normal. Il faut alors ajouter `a l’´equation, des conditions `a l’interface qui traduisent les caract´eristiques respectives des deux mat´eriaux. Dans le cas d’une barri`ere transparente elles sont donn´ees par
σS ∂θ ∂x x=0−= σN ∂θ ∂x x=0+ (2.107) sin θ(x = 0−) = sin θ(x = 0+) (2.108) o`u σS et σN sont les conductivit´es ´electriques respectives du supraconducteur et du m´etal normal.
Pour un supraconducteur BCS loin d’une interface, cette condition s’´ecrit tan θ = ∆
ωn