7.3 Bornes inferieures avec Génération de colonnes
7.3.2 Approche proposée avec l’utilisation de la génération de colonnes
Nous avons considéré une approche de décomposition sur les activités, dans lequel nous avons comparé deux formulations des problèmes de maître, qui conduisent à la même sous-problème. Nous présentons ici celle qui nous a permis d’obtenir de meilleurs résul- tats.
Problème Maître (M P )
L’idée de base de notre approche de génération de colonnes est basée sur une reformula- tion indexée sur le temps du problème. Dans cette nouvelle formalisation mathématique, une colonne ω décrit les attributs de l’exécution d’une activité Ai. Ensuite, une colonne ω
est représenté par un triplet [Ai(ω), t(ω), W (ω)] ou Ai(ω) indique l’activité liée à ω, t(ω)
représente sa date de début, et W (ω) indique le sous-ensemble des opérateurs affectés à Ai. Nous supposons que les personnes affectés à ω répondre aux besoins en compétences
de l’activité associée. Plus précisément, on peut définir les paramètres correspondants de la manière suivante:
Paramètres αω
i 1 l’activité Aiest traitée sur la colonne ω, 0 sinon;
γω
m,t 1 si la personne Wm est affectée à la colonne ω à la date t, 0sinon.
En outre, on note Ω comme l’ensemble de toutes les colonnes possibles. Les variables de décision liées au modèle proposé sont définies par:
Variables
xω 1 si la colonne ω est choisi, 0 sinon;
ti Date de début de l’activité Ai;
La formulation mathématique associée est définie de la manière suivante:
Z[M P ] : M in tN (7.15) S.t. X ω∈[0,Ω] (xω· αωi) = 1 ∀i ∈ A (7.16) X ω∈[0,Ω] (xω· βiω) = ti ∀i ∈ A (7.17) X ω∈[0,Ω] (xω· γm,tω ) ≤ 1 ∀m ∈ W, ∀t ∈ [0, T ] (7.18) ti+ pi ≤ tj ∀i ∈ A, ∀j ∈ Ei+ (7.19) esi ≤ ti ≤ lsi ∀i A (7.20) xω ∈ {0, 1} ∀ω ∈ [0, Ω] (7.21)
La fonction objectif (7.15) est minimiser le makespan du projet. L’ensemble des con- traintes (7.16) indique que seulement une colonne peut être affecté à chaque activité Ai.
L’ensemble des contraintes (7.17) récupère les dates de début associés. L’ensemble des contraintes (7.18) précise que tout opérateur peut effectuer au plus une activité à un mo- ment donné. L’ensemble des contraintes (7.19) représente la relation de précédence entre les activités. Enfin, l’ensemble des contraintes (7.20) indique que le temps de début de chaque activité doit être comprise dans une fenêtre de temps prédéfinie.
En outre, le problème maître(MP) est obtenue en relâchant les contraintes liées aux variables de décision xω.
Définition du problème maître restreint (RMP)
Compte tenu de la formulation du problème maître, pour tout ensemble partiel de colonnes ¯Ω ⊆ Ω nous pouvons définir le problème maître restreint(RM P ( ¯Ω)) de la manière suivante: Z[RM P [ ¯Ω)] : M in tN + (L · X i∈A si) + (L · X i∈A ui) (7.22) S.t.
X ω∈[0, ¯Ω] (xω· αωi) + si = 1 ∀i ∈ A (7.23) X ω∈[0, ¯Ω] (xω· βiω) + ui = ti ∀i ∈ A (7.24) X ω∈[0, ¯Ω] (xω· γm,tω ) ≤ 1 ∀m ∈ W, ∀t ∈ [0, T ] (7.25) ti+ pi ≤ tj ∀i ∈ A, ∀j ∈ Ei+ (7.26) esi ≤ ti ≤ lsi ∀i ∈ A (7.27) xω ≥ 0 ∀ω ∈ [0, ¯Ω] (7.28)
Dans cette formulation, ui et si sont variables d’écart positifs qui sont ajouter au MP
afin de garantir la faisabilité d’une sélection partielle de colonnes. Comme L est défini comme une constante positive, une solution réalisable est garanti si les variables d’écart sont égales à zéro.
En supposant qu’une solution optimale du RM P( ¯Ω) a été calculé avec un solveur stan- dard, les multiplicateurs correspondants (variables duales) aux contraintes (7.23),(7.24),(7.18) sont définis comme suit:
πi Variables duales associées à l’ensemble de contraintes (7.23);
λi Variables duales associées à l’ensemble de contraintes (7.24);
µt
m Variables duales associées à l’ensemble de contraintes (7.25).
Par la suite, le coût réduit associé à une colonne donnée ¯ω liée à l’exécution d’une activité Ai à la date de début t, sont définies de la manière suivante:
ri,t = 0 − πi− (λi· t) − X m∈W X θ∈[0,T ] (µθm· γω m,θ) = r 1 i,t+ r 2 i,t (7.29) Où: ri,t1 = −πi− (λi· t) (7.30) ri,t2 = − X m∈W X θ∈[0,T ] (µθm· γω m,θ) (7.31) Sous-problème (SP)
Étant donné que l’activité Ai commence à l’instant t, chaque personne affecté doit tra-
vailler pendant les instants t, t + 1, .., t + pi − 1, donc le coût total de affectation de une personne Wmest égal à:
σm(t) = − t+pi−1
X
θ=t
µθm (7.32)
Avant de présenter le sous-problème (SP), il faut définir les variables de décision de la façon suivante:
Variables
ym 1 si la personne Wm est affectée à l’activité Ai, 0 sinon;
zk
m 1 si la personne Wm exerce la compétence Sklors de l’exécution de l’activité
Ai, 0 sinon .
Par la suite, trouver une nouvelle colonne relative à l’exécution d’une activité Ai, qui
commence au temps t, avec un coût minimal réduite, conduit au sous-problème suivante: Formulation du Sous-problème (SP) Z[SP ] : M in r2i,t = X m∈W (σm(t) · ym) (7.33) S.t. X m∈W zmk = bi,k ∀k ∈ S (7.34) ym = X k∈S zmk ∀m ∈ W (7.35) ym ∈ {0, 1} ∀m ∈ W (7.36) zmk ∈ {0, 1} ∀m ∈ W, ∀k ∈ S (7.37)
Dans cette formulation, l’objectif est minimiser le coût total de trouver une affectation des personnes pour effectuer l’activité Aià un instant t. L’ensemble des contraintes (7.34)
indique que les besoins en compétences doivent être satisfaits. L’ensemble des contraintes (7.35) garantit qu’une personne affectée utilise une seule compétence. En fin l’ensemble des contraintes (7.36) and (7.37) précise que les variables de décision sont binaires.
En outre, après l’obtention de la valeur de r2
i,t nous pouvons calculer le coût réduit
(ri,t = ri,t1 + r2i,t) associé à une colonne donnée. Par conséquent, si ri,t < 0, alors,
la colonne correspondant est candidat à entrer dans la base car son coût réduit négative diminuera la fonction objective du RMP( ¯Ω) actuel. Par conséquent, cette colonne peut être ajoutée à l’ensemble actuel des colonnes en définissant:
¯
Ω ← ¯Ω ∪ ¯ω (7.38)
αωi¯ = 1 (7.39)
βiω¯ = t (7.40)
γωm,t¯ = ym ∀m ∈ W, ∀θ ∈ [t, t + pi− 1] (7.41)
Résolution du sous- problème (SP)
Avec le sous-problème (SP) on cherche à résoudre un problème d’affectation à coût min- imum que l’on modélise à l’aide du graphe Fc[17], présenté sur la figure 7.3. Ce graphe
se compose d’un premier étage de sommets Sk ∈ S correspondant aux différentes com-
pétences Sk requises par l’activité Ai que l’on cherche à ordonnancer à la date de début
t, puis d ’un second étage contenant un sommet Wm ∈ W pour chaque personne qui
Ce graphe comporte un arc entre le sommet source et un sommet Sk ∈ S dont la
capacité maximum est égale à bi,k, le nombre de personnes requises par Ai pour exercer
la compétence Sk. Il existe un arc entre un sommet Sk ∈ S et un sommet Wm ∈ W si
la personne Wmmaîtrise la compétence Sk. La capacité maximum de cet arc est alors de
1 car une personne ne peut répondre qu’ à une unité de besoin. De même, il existe un arc entre un sommet Wm ∈ W et le puits du graphe, dont la capacité est égale à 1, car
une personne ne peut être affectée qu’à un seul besoin à un instant donné. Aux arcs de ce dernier type, on associé également un coût unitaire de affectation σm(t) pour chaque
personne Wm.
Nous utilisons ensuite l’algorithme de Busacker et Gowen [25] afin de rechercher un flot maximum à coût minimum dans ce graphe, dont on peut minimiser le coût total d’affectation r2 i,t. Source S0 S1 S2 Sk bi,k bi,0 1 1 1,σ0 (t) 1,σm(t) W0 W1 W2 Wm Puits
Figure 7.3: Graphe Fc: Affectation des compétences pour l’activité Ai.
Initialisation de l’ensemble de colonnes
Pour la première itération de la méthode CG, il faut initialiser le sous-ensemble de colonnes ¯Ω pour résoudre RMP( ¯Ω), selon l’ordonnancement obtenu par la recherche Tabou (TS) développée par [17].
7.3.3
Résolution du problème maître restreint (RMP)
Au départ, nous utilisons la méthode du simplexe pour résoudre la relaxation linéaire ré- sultant du problème maître restreint (RMP). Une autre approche utilisée est de résoudre la relaxation lagrangienne qui consiste à relaxer certaines contraintes et à pénaliser leur violation en insérant un terme dans la fonction objectif. Par conséquent, nous avons développé une approche de relaxation lagrangienne pour accélérer la résolution du RMP. Par la suite, nous utilisons la méthode de sous-gradient [66] pour obtenir les multiplica- teurs de Lagrange, qui nous permet d’estimer les variables duales nécessaires pour pou- voir calculer le coût réduit associé à une colonne.