ζi(t) ≥ 0 xi(t) ≤ x(t) ≤ xi(t) yi(t) ≤ y(t) ≤ yi(t) 0 ∈ [ri, ri].
En fonction de l’évolution des résidusri, l’observateur par intervalles proposé est conçu pour détecter le changement d’état discret à partir d’un mode particulierilorsque0 /∈ [ri, ri]. Une estimation des instants de commutationtkest alors fournie. Le problème d’estimation des instants de commutation peut être formulé de telle sorte que :
(i) Aisoient stable et Metzler pouri = 1, . . . , N.
(ii) La normeL2deri(t)par rapport àWi soit inférieure àγ1/2quandχi(t) = 0 sup
Wi6=0
kri(t)k kWik < γ
1/2.
(iii) La normeL2deri(t) − Jχi(t)par rapport àχi(t)soit inférieure àβ1/2quandWi= 0 sup χi6=0 kri(t) − Jχi(t)k kχi(t)k < β 1/2, avecJ =JT 1, JT 2 T
∈ R2m×n est une matrice de pondération.
La spécification (i) assure la stabilité et la positivité de l’observateur par intervalles lorsque
i = q. La robustesse des résidusripar rapport à l’entrée inconnuew(t)est spécifiée dans (ii). La spécification (iii) permet d’améliorer la sensibilité des résidusripar rapport àχi(terme qui met en évidence le changement du mode). L’ensemble des spécifications est exprimé en terme de LMIs.
Approche par modes glissants
En se basant sur la théorie des modes glissants, un observateur fournissant une estima-tion qˆ du mode actuel q du système linéaire à commutations est proposé. Une batterie d’observateurs par modes glissants est conçue pouri = 1, . . . , N.
(
˙zi(t) = −CLizi(t) + νi(t) ˙zi(t) = −CLizi(t) + νi(t),
avecνietνi sont les termes de correction donnés par les expressions suivantes :
νi = −k1|zi− y + Yi|12sign(zi− y + Yi) + νi,1
˙νi,1 = −k2sign(zi− y + Yi)
νi = −k1|zi− y + Yi|12sign(zi− y + Yi) + νi,1 ˙νi,1 = −k2sign(zi− y + Yi).
161
La batterie d’observateurs par modes glissants est conçue pour fournir une convergence en temps fini de Yi− y et Yi− y. zi et zi désignent respectivement les signaux estimés de
Y − yetY − y.
Hypothèse 7. Afin de garantir la distinguabilité du mode actif, il est supposé qu’il existe des constantes positives connuesδ1 etδ2 telles que, pour toutt ≥ δ1, ∀i, j = 1, . . . , N, i 6= j
Z t t−δ1 kφi,j(s)k + kφi,j(s)kds ≥ δ2 (B.15) et Z t t−δ1 kφi,i(s)k + kφi,i(s)kds < δ2, (B.16) avec
φi,j(t) = −CLi(zi(t) − y(t) + Yi(t)) + C(Bi− Bj)u(t) − CAjx(t) + CAixi(t) +C(w − w(t))
φi,j(t) = −CLi(zi(t) − y(t) + Yi(t)) + C(Bi− Bj)u(t) − CAjx(t) + CAixi(t) +C(−w − w(t)).
Une approximation de cette hypothèse est définie dans [65] afin de concevoir une logique d’estimation de l’état discret.
Admettant les hypothèses 6-7, si les gains d’observateur sont conçus tel que :
k1 > 0 k2 > 3Γ + 2Γk22 1, (B.17)
alors, l’observateur d’état discret
ˆ q(t) =argmin i Z t t−δ1 kνi,1(s)k + kνi,1(s)kds (B.18) fournit une estimation deσ(t)dans chaque intervalle[tk−1+ T∗
1, tk), i.e.
ˆ
q(t) = σ(t), tk−1+ T1∗≤ t < tk, k = 1, . . . , N (B.19) avecT∗
1 < Tδ etTδ est le temps de séjour minimal.
Logique de décision
En combinant les deux approches, l’instant estimé de commutation tˆk, k = 1, 2, . . ., peut être défini comme suit :
ˆ tk= min(t ∈ R+|t ≥ ˆtk−1+ T∗ 1 and ˆq(t) 6= ˆq(ˆtk−1+ T∗ 1) ∨ t ≥ ˆtk−1+ T∗ 1 and 0 /∈ [rq(t)ˆ , rq(t)ˆ ]).
Le signal de commutation estiméσ(t)ˆ est alors défini par : ˆ σ(t) = ˆ q(t) t ∈ [ˆtk−1+ T∗ 1, ˆtk) ˆ q(ˆtk−1+ T∗ 1) t ∈ [ˆtk, ˆtk+ T∗ 1) avecq(t) = σ(t)ˆ pourt ∈ [ˆtk−1+ T∗ 1, tk).
En utilisant l’approche proposée, le mode actuel est identifié en temps fini. T∗ 1 est paramétré par les gains des modes glissants.
L’étatx(t)évolue dans une région bornée connueX ≤ x ≤ X (Hypothèse 6). Une réinitial-isation des étatsxi(ˆtk)etxi(ˆtk)pour touti = 1, . . . , N est réalisé afin de s’assurer
xi(ˆtk) ≤ x(ˆtk) ≤ xi(ˆtk)
tel que :
xi(ˆtk) = X xi(ˆtk) = X.
La figure B.5 présente la synthèse de l’observateur proposé.
PSfrag replacements u q y i=1..N Yi, Yi Ai, Bi, C, Li, Li z1, z1 zN, zN v1, v1 vN, vN Observateur ObservateurMode 1 Mode N ... ... ... argminiRt t−δ1kνi,1(s)k + kνi,1(s)kds w ˆ q
Observateur par intervalles
Observateur par modes glissants
Logique de décision
Figure B.5: Schéma bloc de l’observateur d’état discret.
Des résultats de simulations proposés dans la figure B.6 montre le signal de commutation et son estimation. L’approche proposé fournit une bonne estimation des instants de temps de commutationtk avec une petite erreurˆtk+ T∗
163
4.94 4.96 4.98 5 5.02 5.04 5.06
Time (s)
1 2
Figure B.6: Evolution du signal de commutation et son estimé (ZOOM).
Les résultats établis ont fait l’objet d’une communication [188] dans la conférence interna-tionale "Conference on Decision and Control".
Généralités sur le diagnostic
Le diagnostic de défaillance d’un système est primordial afin de maintenir la sécurité non seulement de son environnement mais également pour les opérateurs humains. Plusieurs travaux ont été rapportés sur les méthodes de diagnostic telles que [211] et [109] et leurs applications dans divers processus industriels. Le principe de base du diagnostic des défauts repose sur la notion de redondance qui permet de fournir au système plusieurs informations différentes sur une même variable. On peut distinguer deux approches. La première est dite redondance matérielle ou physique. Elle consiste à ajouter des capteurs pour obtenir des informations supplémentaires sur l’état du système, ce qui entraine un coût important en instrumentation. Ce type de diagnostic se limite à la surveillance des éléments redon-dants comme les capteurs, les actionneurs, ce qui rend impossible la détection des défauts provenant des éléments non redondants. La deuxième approche dite redondance analytique, utilise un modèle mathématique du système et les mesures réelles disponibles pour dévelop-per des algorithmes de détection et d’isolation des défauts. Les travaux de cette thèse se situent dans le cadre du diagnostic à base de modèles. Généralement, l’étude du diagnostic d’un défaut nécessite une phase de génération suivie d’une étape d’évaluation des résidus. Dans ce contexte, on rappelle quelques notions.
Definition 26. Un défaut est une anomalie ou une déviation non souhaitée d’au moins une caractéristique d’un système de son état de fonctionnement normal.
Definition 27. On désigne par résidus les changements ou les divergences entre le com-portement réel du système et celui prévu par le modèle.
Procédure de diagnostic
Le diagnostic permet de détecter, d’isoler et d’identfier les défaillances d’un processus physique. La détection détermine si un défaut s’est produit ou non. L’idée de base consiste à générer un vecteur résidu, défini comme la différence entre le signal de sortie mesuré et estimé. En raison de présence de bruit et des incertitudes, le vecteur résidu, soumis à la fois aux signaux de défauts et aux signaux de perturbations, est souvent non nul même dans les processus normaux. Le gain d’observateur peut être conçu en résolvant un problème d’optimisation multiobjetif (le vecteur résidu est sensible aux défauts et robuste contre les perturbations). Des travaux ont été développés pour la détection de défauts pour divers systèmes tels que les systèmes non linéaires Lipschitz [227], les systèmes non linéaires flous TS [228], et les systèmes à commutations [229]. La localisation d’un défauts consiste à déterminer son emplacement. L’idée consiste à concevoir soit un seul vecteur résidu sensible au défaut concerné, mais robuste aux autres défauts [230], soit à rendre chaque vecteur résidu sensible à tous les défauts sauf un et à résister aux erreurs de modélisation et aux perturbations [108]. La dernière étape, l’identification d’un défaut, sert à déterminer son type de faute, son évolution dans le temps et sa sévérité. L’idée de base des méthodes d’identification de défaut consiste à construire un système augmenté en introduisant le dé-faut en tant qu’état supplémentaire. Le vecteur d’état étendu est ensuite estimé. Les tech-niques d’observateurs telles que les observateurs de type proportionnel intégral(PI) [139], les observateur adaptatifs [138] et les observateurs par modes glissants [38] sont générale-ment utilisées pour l’estimation des fautes. Dans le cadre de cette thèse, on s’intéresse à la détection des défauts pour une classe de système linéaires à commutations.
Classification des défauts
Les défauts peuvent être classés en défauts de nature multiplicative ou de nature additive selon leurs effets sur les performances du système.
• Les défauts multiplicatifs correspondent aux modifications paramétriques du modèle représentant le système et ils induisent des changements sur la dynamique du système.
• Les défauts additifs sont modélisés sous forme de termes additifs dans le modèle. Ils affectent son état ou sa sortie. Cette modélisation est habituellement attribuée aux défauts de capteurs et d’actionneurs.
Les défauts peuvent être classifiés également selon le composant affecté. Ils peuvent affecter le procédé, les actionneurs ou bien les capteurs.
• Les défauts sur le système correspondent à une dégradation des composants du système lui même. Ces défaillances sont dues alors à des modifications de la structure ou des paramètres du modèle.
• Les actionneurs sont définis comme étant la partie opérative du système qui con-vertit les signaux de commande issus du contrôleur. Ainsi les défauts actionneurs s’additionnent aux commandes du système et ils se traduisent par une incohérence entre la commande des actionneurs et la réponse en leur sortie. Par conséquent l’actionneur devient incapable de commander le système.
165
• Les défauts capteurs donnent une image erronée de la grandeur physique à mesurer. Ainsi, ils se manifestent par un écart entre la valeur réelle de la grandeur et sa mesure.
Détection des défauts
La phase de détection des défauts consiste à indiquer la présence d’un défaut et donc à déterminer si un système est défaillant ou non. Elle comprend deux étapes: (i) la génération des résidus, (ii) l’évaluation des résidus. La première phase repose sur la comparaison du comportement du modèle du système à celui du système réel. En absence de défauts, le vecteur résidu est généralement nul alors qu’il s’écarte notablement de la valeur zéro lorsque le système présente un défaut. Dans la pratique, le résidu n’est jamais parfaitement nul même en fonctionnement non défaillant, ceci est dû au présence des perturbations, des incertitudes du modèle et de bruits de mesure. Par conséquent, l’une des exigences les plus essentielles imposées aux algorithmes de génération des résidus est la robustesse contre les perturbations endogènes et exogènes. Différents critères ont été développés dans la littérature pour évaluer les effets des incertitudes sur les résidus tels queH∞etH2dans [111] et [112]. D’autres performances ont été reportées dans [113] pour étudier la sensibilité des vecteurs résidus aux défauts tels queH− etH∞. Plus récemment, la détection des défauts a été formulée comme un problème d’optimisation à objectifs multiples en maximisant la sensibilité des défauts sur les vecteurs résidus et en minimisant les effets des perturbations
H2/H2,H2/H∞,H∞/H∞etH−/H∞tel que dans [114] et [115]. La deuxième étape de la détection "l’évaluation des résidus" consiste à comparer la valeur d’un résidur à un seuil prédéfiniε. Une alarme est déclenchée à chaque franchissement de ce seuil :
rk ≤ ε Fault-free rk > ε Faulty
Dans la littérature, le seuil peut être constant, adaptatif ou variable dans le temps. Il convient de mentionner que la conception d’un seuil approprié reste une tâche difficile, en particulier pour les systèmes dynamiques sujets à des perturbations. Afin de limiter les fausses alarmes et les non détections dans un contexte à erreurs inconnues mais bornées, les méthodes d’évaluation de résidus basées sur des techniques d’ensemble ont connu un essor considérable pour différentes classes de systèmes. En effet, ces méthodes permettent de fournir des seuils dynamiques systématiques pour l’évaluation de résidus. Néanmoins, l’extension de ce type de méthodes pour les systèmes linéaires à commutations demeure peu traitée dans la littérature. Dans ce mémoire, la synthèse des approches de détection des défauts des systèmes à commutations est envisagée en utilisant les techniques ensemblistes, notamment les intervalles, les zonotopes et les ellipsoïdes.
Détection des défauts à base d’observateurs par intervalles
Afin d’assurer une détection de défauts robuste aux perturbations et au bruit de mesure, on se propose dans cette partie de considérer deux approches par intervalles pour un système linéaire à commutations défini par :
(xk+1= Aqxk+ Bquk+ Dqwk
avec x ∈ Rnx, u ∈ Rnu, y ∈ Rny, f ∈ Rnf, w ∈ Rnw et v ∈ Rnv sont respectivement l’état, l’entrée, la sortie, le défaut capteur, les perturbations sur l’état et le bruit de mesure. Les matricesAq, Bq, C, Dq, Dv et F sont supposées connues. La commutation entre les sous-systèmes est assurée par un signal de commutationq ∈ I = 1, N , N ∈ N.
Dans la suite, on considère l’ensemble de ces hypothèses.
Hypothèse 8. Le bruit de mesure et les perturbations d’état sont supposés inconnus mais bornés et de bornes connues tel que :
w ≤ w ≤ w, v ≤ v ≤ v, (B.21)
avecw, w ∈ Rnw etv, v ∈ Rnv.
Hypothèse 9. L’état initialx0 vérifiex0≤ x0≤ x0 avecx0, x0∈ Rn x.
Hypothèse 10. Les paires(Aq, C) ∀q = 1, . . . , N sont détectables.
Hypothèse 11. Il existe des gains Lq ∈ Rnx×ny et Lq ∈ Rnx×ny tel que les matrices
Aq− LqC etAq− LqC soient Metzler pour toutq ∈ I.
Observateurs par intervalles classique
La structure de l’observateur par intervalles est donnée par :
xk+1= Aqxk+ Bquk+ Lq(yk− Cxk) + ∆ xk+1= Aqxk+ Bquk+ Lq(yk− Cxk) + ∆ yk = C+xk− C−xk+ Dv+v − Dv−v yk= C+xk− C−xk+ Dv+v − Dv−v rk= yk− yk rk= yk− yk (B.22)
avecLq, Lq ∈ Rnx×ny sont les gains d’observateurs. ∆et∆sont donnés par :
(∆ = Dq+w − Dq−w + (LqDv)+v − (LqDv)−v, ∆ = Dq+w − Dq−w + (LqDv)+v − (LqDv)−v.
En utilisant l’observateur par intervalles (B.22), l’objectif est de concevoir des gainsLqetLq
qui assurent à la fois la coopérativité, la stabilité des erreurs d’estimation et la minimization de la norme L∞ de la fonction de transfert des perturbations et de bruit de mesure par rapport aux vecteurs résidusrk etrk. Dans la littérature, de nombreux travaux considèrent la performanceH∞pour atténuer l’effet des incertitudes. Il convient de noter que le critère
H∞concernent des signaux à énergie finie. Néanmoins, dans la pratique, certains signaux ne peuvent pas être considérés à énergie finie mais ont des amplitudes bornées. D’où l’intérêt de l’utilisation du critère de performanceL∞qui introduit l’indice de performance crête à crête.
Les conditions de coopérativité, de stabilité et de robustesse vis-à-vis les perturbations sont exprimées en termes des LMIs en utilisant les fonctions de Lyapunov communes et multiples.
167
Observateurs par intervalles : structure TNL
L’observateur par intervalles classique fournit une détection robuste de défauts du système considéré. Dans certains cas, il est rarement possible de trouver des gainsLq etLq tel que les matrices Aq− LqC et Aq − LqC soient non négatives. Dans cette partie, un nouvel observateur par intervalles est proposé pour réduire le conservatisme dû à la conception des gains d’observateur. La technique introduite permet de fournir plus de degré de liberté en introduisant des matrices de pondérationTq, Tq,Nq etNq. La structure de l’observateur par intervalles basée sur une structure TNL est donnée par :
ξk+1 = TqAqxk+ TqBquk+ Lq(yk− Cxk) + ∆ xk = ξk+ Nqyk ξk+1 = TqAqxk+ TqBquk+ Lq(yk− Cxk) + ∆ xk = ξk+ Nqyk yk = C+xk− C−xk+ Dv+v − Dv−v yk = C+xk− C−xk+ Dv+v − Dv−v rk = yk− yk rk = yk− yk (B.23)
avec ξk, ξk ∈ Rnx sont des variables intermédiares, xk, xk ∈ Rnx sont respectivement les bornes supérieure et inférieure de l’étatxk. ∆et∆sont donnés par :
∆ = (TqDq)+w − (TqDq)−w + (LqDv)+v − (LqDv)−v + (NqDv)+v − (NqDv)−v ∆ = (TqDq)+w − (TqDq)−w + (LqDv)+v − (LqDv)−v + (NqDv)+v − (NqDv)−v
Dans (B.23), Lq ∈ Rnx×ny et Lq ∈ Rnx×ny représentent les gains d’observateur. Tq ∈ Rnx×nx, Tq ∈ Rnx×nx, Nq ∈ Rnx×ny et Nq ∈ Rnx×ny sont des matrices constantes qui doivent être conçues pour satisfaire
Tq+ NqC = Inx (B.24)
Tq+ NqC = Inx. (B.25) En se basant sur une forme augmentée de la dynamique des erreurs d’estimation supérieure et inférieure, des conditions de coopérativité, de stabilité et d’optimisation du critère L∞
sont exprimées en termes des LMIs en utilisant les fonctions de Lyapunov communes et multiples.
Evaluation des résidus
L’évaluation de résidus indique la présence d’un défaut. Lorsqu’un défaut s’est produit, une déviation est détectée. Ceci est justifié par le fait que les sorties estimées ne sont plus compatibles avec les mesures, i.e :
yk∈ [y/ k yk] (B.26) L’inclusion (B.26) implique :
0 /∈ [yk yk] − yk
⇒ 0 /∈ [rk rk] (B.27) Par conséquent, le signal zéro est encadré par les bornes supérieure et inférieure du résidu quand le système est non défaillant. Toutefois, un défaut est détecté dans le cas contraire.