Approche de modélisation stochastique

O algoritmo desenvolvido em MATLAB para executar a optimização de estruturas ou componentes utiliza como método de avaliação a correlação entre os resultados dos dois modelos, o de referência e o calculado, comparando os pares de valores dos modos de vibração e das frequências naturais. Para se efectuar esta comparação é necessário recorrer a um critério que quantifique as diferenças entre os pares dos modos de vibração e das frequências naturais.

O critério a utilizar é o Critério de Garantia Modal (Modal Assurance Criterion – MAC) segundo Allemang e Brown em 1982, o MAC é representado pela seguinte equação:

2tå{ d 3w4û

N_w¥x3²

w4ûw4û^Ow¥xPw¥x` 3.20

onde, ₅
é o uÉéôåo6 modo de vibração de referência e _z é o €Ééôåo6 modo de vibração do modelo de calculado. O valor do MAC é entre zero e um, significa que quando a correlação entre dois modos de vibração é boa o valor aproxima-se de um, se a correlação for má o valor aproxima-se de zero. Quando dois modelos em estudo, um numérico de referência e um numérico calculado, estão perfeitamente correlacionados os valores da diagonal da matriz MAC aproximam-se de um, enquanto para os valores fora da diagonal aproximam-se de zero. Na realidade a matriz MAC de uma forma geral nunca apresenta valores de um na sua diagonal, pois para que isto acontecesse os modos de vibração teriam de ser perfeitamente iguais e isso não acontece, a não ser que se compare exactamente os mesmos modelos. Como tal estes valores da diagonal tendem para um, sendo aceitável que os modos de vibração sejam considerados correlacionados com valores superiores a 0,90 (90% de correlação). Pela mesma razão mas no sentido oposto valores inferiores a 0,10 (10% de correlação) indicam que os modos de vibração em comparação não se correlacionam. Um exemplo da correlação entre modos de vibração é apresentado segundo Tabela 3.2.

CAPÍTULO 3 – OPTIMIZAÇÃO 49

Tabela 3. 2– Exemplo de uma matriz MAC.

Modos de Vibração do Modelo de Referência

1 2 3 4 5 6 M od os d e V ib ra çã o do M od el o C al cu la do 1 0.98 0.00 0.00 0.17 0.00 0.00 2 0.00 0.99 0.00 0.00 0.00 0.00 3 0.00 0.00 0.99 0.00 0.00 0.40 4 0.19 0.00 0.00 0.99 0.13 0.00 5 0.02 0.00 0.00 0.04 0.97 0.02 6 0.00 0.00 0.51 0.00 0.02 0.78

O algoritmo desenvolvido em MATLAB permite traduzir a matriz MAC por cores, onde as cores mais escuras (preto) são os valores que se aproximam de um e as cores mais claras os valores que se aproximam de zero, Figura 3.3. Assim pode-se afirmar que quanto mais escuro for a cor da diagonal maior é a correlação entre modos de vibração.

Figura 3. 3– Exemplo de uma matriz MAC traduzida por cores.

A matriz MAC é uma matriz quadrada, em que os valores em cada eixo são modos de vibração, no eixo das abcissas são representados os modos de vibração do modelo numérico calculado e no eixo das ordenadas são representados os modos de vibração do modelo de referência.

No caso de haver em alguma linha mais que um valor próximo de um, isto não tem relevância desde que um desses valores se encontre na diagonal, significa isto que existe uma boa correlação em mais que um par de modos de vibração. Mas se o valor da diagonal for inferior a outro encontrado na mesma linha é claro que houve um emparelhamento incorrecto, e diz-se que o emparelhamento é realizado com um modo falso.

50 Optimização do Comportamento Dinâmico de um Componente Estrutural de um Auto-Rádio Com o MAC podem-se comparar os modos vibração calculados com os de referência, mas não há uma sensibilidade estabelecida no critério para os modos falsos ou para as frequências naturais muito próximas, como no caso de existirem dois modos de vibração em modelos simétricos, produzindo-se assim emparelhamentos errados. Isto acontece, porque o MAC não tem qualquer sensibilidade às frequências naturais, e estas são pares inseparáveis do respectivo modo de vibração. Para que seja possível efectuar- se uma melhor correlação entre modos, considerando que os dois modelos podem ser correlacionados, deve existir um conjunto de frequências naturais para cada modelo associadas aos modos de vibração. Assim numa primeira fase, calcula-se a correlação entre modelos admitindo a ordem crescente das frequências nos dois modelos. Na análise MAC o emparelhamento entre modelos, fica dependente da correlação entre os modos de vibração e esquece as frequências naturais, o que pode originar emparelhamentos com modos de vibração falsos. Por isso o MAC é afectado com um critério complementar, Alternated Search Modal Assurance Criteria (ASMAC). Este critério cria um emparelhamento entre as frequências naturais associadas a cada modo de vibração e também quantifica a influência da qualidade dos resultados numéricos como função do número de nós utilizados para definir os modos de vibração [Meireles, 2007:72]. O critério ASMAC, equação 3.21, é assim definido:

72tå{d R3%_%8"_8"É%_Ë%9₉3Q 0,03_/: 3.21

onde, h_;å é a uÉéôåoõ frequência natural do modelo de referência associada ao modo de vibração ‘_;å, para o qual foi calculado o valor MAC correspondente na diagonal principal e h_{ é a €Ééôåoõ frequência natural do modele numérico, que diz respeito a cada frequência natural do modelo a optimizar. O valor do ASMAC é directamente proporcional à correlação entre as frequências h_;å e h_{. /_: é o número de pontos nodais que definem os modos de vibração, este factor presente na segunda parcela da equação tem como peso adicional penalizar os casos de estudo que têm um reduzido número de nós a caracterizar os modos de vibração.

A tabela 3.3 é um exemplo da aplicação do ASMAC, à forma como é feito o emparelhamento entre frequências. Neste exemplo são utilizadas as quatro primeiras frequências naturais do modelo de referência e oito frequências naturais do modelo

CAPÍTULO 3 – OPTIMIZAÇÃO 51

calculado, deste modelo foram determinados dezoito modos de vibração. Logo, /:d 18.

Tabela 3. 3 – Exemplo da aplicação da equação da ASMAC utilizando 18 modos

de vibração. h{<« 95,87 130,07 219,70 301,01 383,20 469,91 646,45 864,41 h;å < « 95,70 -0,13 -0,28 -0,52 -0,64 -0,73 -0,79 -0,87 -0,93 140,54 -0,32 -0,17 -0,35 -0,49 -0,59 -0,67 -0,77 -0,85 219,02 -0,52 -0,38 -0,13 -0,28 -0,40 -0,49 -0,62 -0,72 295,98 -0,64 -0,52 -0,28 -0,14 -0,26 -0,35 -0,50 -0,62

Analisando a tabela, há uma correlação entre frequências naturais, pois o maior valor do ASMAC encontra-se na diagonal comprovando assim a correlação.

Para também visualizar a correlação das frequências, cria-se em paralelo com a matriz MAC, a cores uma matriz coluna para frequências naturais. Assim a correlação entre frequências naturais de referência e as calculadas pode também ser traduzida por cores assim como acontece com a matriz MAC, Figura 3.4:

Figura 3. 4 – Exemplo da matriz coluna das frequências naturais.

As cores mais claras, cores que tendem para o branco, significam que existe uma maior correlação entre frequências naturais.