III.4.1 Introduction
Notre formulation du probl`eme de commande r´ef´erenc´ee vision 2D consiste `a stabiliser la situation relative d’une cam´era mobile par rapport `a une cible fixe, sur la base des informations qu’elle d´elivre sur celle-ci. `A ce probl`eme de stabilisation d’un vecteur d’´etat par retour de
96\III.4. APPROCHE DE LA LOCALISATION VISUELLE EN TANT QUE LE DUAL DE L’ASSERVISSEMENT VISUEL
sortie correspond le probl`eme dual – au sens de la dualit´e observation-commande – de sa reconstruction sur la base des valeurs pass´ees et pr´esentes des vecteurs de mesure et de commande. En d’autres termes, il s’agit de reconstruire la pose d’une cible fixe `a partir des historiques des mesures visuelles d´elivr´ees par une cam´era mobile et des torseurs cin´ematiques appliqu´es `a cette cam´era (Figure III.15).
Au-del`a de son caract`ereesth´etique, cette propri´et´e de dualit´e originale sugg`ere d’ap-procher la localisation visuelle par des techniques duales de celles pr´ec´edemment consid´er´ees pour l’asservissement visuel. Ainsi, le probl`eme s’inscrit naturellement dans le cadre du filtrage des syst`emes rationnels incertains.
III.4.2 Aper¸cu de la formalisation math´ematique du probl`eme
Nous nous sommes plac´es dans le contexte du filtrage ensembliste [CIACL-06-AV-3]. Disposant
`
a l’instantkd’un ellipso¨ıde de confianceE(k) entourant la situation relative cam´era-cible r´eelle – inconnue –x(k), et connaissant la mesure visuelley=s−s∗, on recherche l’ellipso¨ıdeE(k+1) de taille minimale entourant les valeurs possiblesx(k+ 1) `a l’instantk+ 1.
Plus formellement, on suppose la donn´ee a priori d’un mod`ele rationnel `a temps discret du syst`eme en boucle ouverte
[BOz] :
x(k+ 1) = Ak(x(k), χ(k))x(k) +Bk(x(k), χ(k))u(k) +Gk(x(k), χ(k))w(k)
y(k) = Ck(x(k), χ(k))˜x(k) +Hk(x(k), χ(k))v(k). (III.45) L’´equation d’´etat s’obtient par exemple par discr´etisation de l’´equation d’´etat de la boucle ou-verte continue (III.9) sous l’hypoth`ese d’un blocage d’ordre z´ero de la commande. Le bruit de dynamique additifw(k) se r´ealise dans un ellipso¨ıde de confiance de caract´eristiques donn´ees.
L’´equation de mesure est la mˆeme que dans le cas continu. Outre d’´eventuelles incertitudes rationnelles sur le mod`ele param´etrique de la cible ou sur les param`etres intrins`eques de la cam´era, elle peut ´egalement comprendre un bruit de mesure additif v(k) caract´eris´e sous forme d’un ensemble elliptique. Un parall´elotope Xχ(k) des valeurs admissibles de χ(k) est
´egalement donn´e.
Conceptuellement, le principe de la solution comporte deux ´etapes. Dans un premier temps, on isole les triplets (situation relatives cam´era-ciblex(k)∈ E(k) ; r´ealisation des incertitudes dans le mod`ele de mesure ; r´ealisation du bruit de mesure) compatibles avec la mesure visuelley(k) pr´elev´ee `a l’instantk. Une pr´ediction des valeursx(k+ 1) `a l’instant suivantk+ 1 est ensuite effectu´ee depuis lesx(k) ainsi isol´es, pour toutes les r´ealisations admissibles des incertitudes et du bruit apparaissant dans l’´equation d’´etat†. La recherche d’un l’ellipso¨ıde de taille minimale encerclant l’ensemble ainsi obtenu conduit `a E(k+ 1).
Une extension mineure de l’algorithme de filtrage ensembliste des syst`emes lin´eaires auto-nomes discrets `a incertitude rationnelle propos´e parEl GhaouietCalafiore[El Ghaoui 01]
permet la mise en œuvre des id´ees pr´ec´edentes. On d´etermine dans un premier temps le plus petit parall´elotope Ξ(k) – orient´e selon la base canonique de l’espace d’´etat – encerclant E(k), ce qui ne pose aucune difficult´e. Ensuite, on lin´earise globalement [BOz] sous l’hypoth`ese x(k)∈Ξk,i.e.on remplace formellement dans les arguments des fonctions matricielles [BOz]
le vecteurx(k) par un param`etre incertain δx(k) vivant dans Ξk. La forme LFT du syst`eme
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a param`etres variants [LPVk] ainsi obtenu se r´e´ecrit comme l’interconnexion d’un syst`eme
†. En fait, la m´ethode est sensiblement plus g´en´erique car elle permet que les ´equations d’´etat et de mesure partagent les mˆemes incertitudes et/ou sources de bruit. Seules les r´ealisations de ces quantit´es partag´ees isol´ees lors de la premi`ere ´etape participent alors `a la pr´ediction du vecteur d’´etat `a l’instantk+ 1.
lin´eaire `a temps discret avec un gain matriciel incertain, ou Inclusion R´ecurrente Lin´eaire Structur´ee et Born´ee en Norme (SNLRI = Structured Norm-Bounded Linear Recursive In-clusion). L’immersion de cette SNLRI dans une approximation externe permet l’obtention d’une solution LMI au sch´ema de filtrage, par application de la S-proc´edure. Comme pour la commande, l’obtention d’une forme LFT minimale de [LPVk] est essentielle `a la limitation du conservatisme des conclusions.
III.4.3 Illustration sur des cas d’´etude
Consid´erons la localisation d’une cible constitu´ee de 2 ou 3 points, dispos´ee orthogonalement
`
a l’axe optique d’une cam´era immobile. La situation relative cam´era-cible est repr´esent´ee par le vecteurx= (tz N=tan(ν4))0, o`u, comme pr´ec´edemment,tz etN d´esignent respectivement la translation et la rotation relatives cam´era-cible.
La Figure III.16 pr´esente les r´esultats de localisation obtenus lorsque l’extraction des indices visuels est entˆach´ee d’un bruit. La situation relative r´eelle est mat´erialis´ee par le point not´e x(0), et le centre de l’ellipso¨ıde de confiance E(0) donn´e a priori est not´e ˆx(0). `A chaque instant k, la r´esolution du programme d’optimisation LMI conduit `a l’ellipso¨ıdeE(k) de centre ˆx(k). On reconnaˆıt ´egalement la famille des parall´elotopes Ξ(.) circonscrits auxE(.), exploit´es pour la lin´earisation globale.
La comparaison de la ligne sup´erieure et inf´erieure montre qu’il est absolument capital de disposer d’une LFT minimale de [BOz]. Dans le cas contraire, l’approximation externe de la SNLDI est tr`es conservative, de sorte qu’`a chaque instant un nombre ´elev´e de valeurs de son vecteur d’´etat sont compatibles avec la mesure visuelle. Ce conservatisme augmente d’autant plus que le caract`ere non lin´eaire de [BOz] est prononc´e –e.g. lorsque le nombre
FigureIII.16 – Localisation visuelle d’une cible par une cam´era immobile.
98\III.5. CONCEPTION ET IMPL´EMENTATION D’UN ENVIRONNEMENT DE SIMULATION DE COMMANDES EN ROBOTIQUE
d’indices visuels augmente – de sorte que les r´esultats sont pires pour une cible munie du nombre maximal de points.
En revanche, lorsqu’une LFT minimale de [BOz] est exploit´ee, l’observation des deux colonnes de la ligne inf´erieure fait apparaˆıtre deux propri´et´es extrˆemement int´eressantes.
D’une part, les ellipso¨ıdes de confiance convergent vers un r´egime permanent, d’autant plus regroup´e autour de la vraie situation que la cible est informative. En outre, la vitesse de convergence vers ce r´egime permanent augmente avec le nombre de points.
FigureIII.17 – Localisation visuelle d’une cible par une cam´era `a 3 ddl.
Une autre illustration de la m´ethode est propos´ee pour la localisation visuelle d’une cible munie de 4 points coplanaires non align´es par rapport `a une cam´era `a 3 degr´es de libert´e telle que celle consid´er´ee au §III.3.2.5–B, lorsque celle-ci est asservie visuelle-ment vers cette cible. L’´evolution temporelle du vec-teur d’´etat x= (ty tz L=tanλ2 )0 et de l’ellipso¨ıde de confiance associ´e sont report´es Figure III.17. On note que l’algorithme poss`ede des propri´et´es de convergence int´eressantes.
Pour conclure, il convient de mentionner deux exten-sions de la m´ethode. L’une, imm´ediate, s’applique d`es lors que la cam´era est en mouvement, e.g. dans le second cas d’´etude pr´esent´e ci-dessus. Du fait que le probl`eme est pos´e dans le contexte de la localisation ensembliste, il est possible d’ins´erer `a chaque instantk quelques it´erations de l’algorithme de fa¸con `a r´eutiliser la mesure y(k) en supposant que la commande est nulle. Ainsi, E(k) peut ˆetre r´eduit en un ellipso¨ıde E0(k) – comme cela a ´et´e effectu´e dans le premier cas d’´etude –, pr´ealablement `a la propagation de ce dernier enE(k+1) sur la base dey(k), deu(k) et du mod`ele de dynamique.
Par ailleurs, nous avons d´evelopp´e dans [CIACL-17-AV-5] une m´ethode alternative de filtrage ensembliste des syst`emes rationnels incertains. Le principe est le mˆeme que celui, rappel´e au §III.4.2, des travaux de El Ghaouiet Calafiore, cependant sa mise en œuvre est diff´erente quoique proc´edant en deux temps. [BOz] est d’abord r´e´ecrit sous la forme d’une Repr´esentation Alg´ebro-R´ecurrente (RAR = Recursive Algebraic Representation), puis, sur cette base, une condition LMI permettant la d´efinition de l’ellipso¨ıde E(k+ 1) recherch´e est obtenue par application du Lemme III.2 page 93. L’application de ce r´esultat th´eorique `a la localisation visuelle est en suspens.
III.5 Conception et impl´ ementation d’un environnement de simulation de commandes en robotique
Depuis plusieurs ann´ees, Matthieu Herrb, coll`egue ing´enieur de recherche au LAAS-CNRS, d´eveloppe le logiciel GDHE (Graphical Display for Hilare Experiments, http://www.laas.fr/~matthieu/gdhe). Il s’agit d’un serveur d’affichage, construit autour deOpenGL, et acceptant des requˆetes ´ecrites enTcl. Cet outil est tr`es utilis´e afin de visualiser des exp´erimentations robotiques, du fait qu’il encapsule des primitives de dessin dans des routines ´el´ementaires, permettant ainsi de dessiner rapidement un objet articul´e.
Nous avons proc´ed´e `a l’interfa¸cage deMATLAB-SIMULINKavecGDHEdans le but de simuler une grande vari´et´e de tˆaches robotiques incluant des capteurs visuels et/ou proxim´etriques (lasers) en b´en´eficiant de la souplesse et de la performance de SIMULINKpour la simulation, ainsi que des capacit´es de GDHE/OpenGL pour le dessin, le rendu 3D, et la manipulation de transformations homog`enes. Notre environnement MAVS (MAVS = “MAVS Ain’t Visual Servoing”) repose ainsi surSIMULINKpour la mod´elisation des dynamiques des ´el´ements de la sc`ene, et fournit `a l’utilisateur un ensemble de blocs lui permettant de d´efinir leur g´eom´etrie, de les visualiser sous GDHE, voire de r´ecup´erer depuis GDHE – la communication ´etant bi-directionnelle – la matrice homog`ene exprimant leur situation. `A titre d’exemple, il est possible de construire une chaˆıne articul´ee puis, au cours de la simulation, de modifier sa position depuisSIMULINK, de visualiser son ´evolution en 3D sousGDHE, et de r´ecup´erer la situation de son organe terminal calcul´ee parOpenGLsans calcul explicite de son mod`ele g´eom´etrique. Tout
´el´ement peut embarquer une ou plusieurs cam´eras perspectives et/ou capteurs lasers, dont les caract´eristiques sont param´etrables. Les possibilit´es d’interfa¸cage de SIMULINK permettent d’exploiter au fil de la simulation des routines de traitement de l’information ext´eroceptive cod´ees en C/C++. Afin de garantir un r´esultat fiable, l’utilisateur doit seulement s’assurer qu’`a chaque “minor time step” de la simulation SIMULINK, les op´erations suivantes soient effectu´ees en s´equence : 1/positionnement de tous les objets, 2/positionnement de tous les capteurs, 3/demande explicite de r´eaffichage du contenu de tous les observateurs (fenˆetre de visu principale et capteurs ext´eroceptifs) sous GDHE, 4/ex´ecution des routines de traitement des informations ext´eroceptives. Ceci exige de jongler avec les m´ecanismes d’affectation des des priorit´es sous SIMULINK, ce qui peut entraˆıner quelques frustrations...
Enfin, quatre blocs g´en´eriques (object2GDHE, configurableObject2GDHE, object2GDHEwithTrack, configurableObject2GDHEwithTrack) permettent l’exploita-tion depuis SIMULINK de nouveaux objets graphiques d´efinis dans un fichier Tcl. Cette possibilit´e est illustr´ee sur la Figure III.18.
Ce logiciel est actuellement utilis´e de mani`ere interne par quelques coll`egues de RIA. Un ultimetoilettage est pr´evu avant sa diffusion en Open Source.