L r 3 r cos θer drdθ (5.41)
Par sym´etrie, la direction de ce terme est selon x et sa projection donne δ δ0 = 1− nL3 Z 2π 0 cos2θdθ Z ∞ d dr r2 = 1− πnL 3 d (5.42) Soit finalement δ δ0 = 1− π n n0 3/2 (5.43) On retrouve bien la mˆeme d´ependance de δ/δ0 en fonction de n/n0.
Les ´equations 5.17 et 5.43 sont compar´ees avec les donn´ees `a la Figure 5.6. On remarque que l’accord du mod`ele avec nos donn´ees est loin d’ˆetre satisfaisant, mais que n0 = 1/L2 semble ˆetre une densit´e ca-ract´eristique acceptable. Nos exp´eriences n’ont pas ´et´e faites pour n n0, et des donn´ees exp´erimentales suppl´ementaires sont donc requises pour tester ce mod`ele `a basse densit´e.
Notons enfin que toutes les mesures de d´eflexion de piliers en milieu dense sont compar´ees `a celles faites pour un pilier isol´e. Rap-pelons cependant que nous avons consid´er´e qu’`a un pilier isol´e cor-respondait une densit´e n = 0,04 mm−2. Ce choix peut ˆetre valid´e th´eoriquement a posteriori. En effet, en utilisant l’Eq. 5.43, on obtient que δ(n = 0,04 mm−2) ≈ 0.998δ(n = 0). Une v´erification exp´erimentale est cependant n´ecessaire pour valider pleinement cette hypoth`ese.
Afin d’´etendre le mod`ele `a de plus grandes densit´e, nous avons consid´er´e une autre approche pr´ec´edemment d´ecrite [213], qui consiste `a consid´erer l’assembl´ee de pilier comme un milieu poreux dans lequel l’´ecoulement est ralenti. Nous allons d´ecrire ici comment Alvarado et al. [207] ont ´evalu´e la vitesse moyenne de l’´ecoulement dans une assembl´ee de piliers proches les uns des autres.
3.2 Approche ph´enom´enologique
3.2.a Description
Alvarado et al. [207] ont calcul´e le flux moyen `a l’int´erieur d’un as-semblage dense de piliers d´eformables. Leur approche consiste `a r´esoudre l’´equation de Brinkman, qui n’est autre que l’´equation de Stokes dans la-quelle on rajoute un terme originaire de l’´equation de Darcy [214] qui prend
120 CHAPITRE 5. EFFETS COLLECTIFS (a) (b) H L 0 y −u/k + ∇2u = 0 ∇2u = 0 Stokes Brinkman
Figure 5.7 – (a) Sch´ema de la g´eom´etrie Taylor-Couette utilis´ee par Alva-radoet al. [207]. La sonde interne (grid fonc´e) est recouverte d’un assemblage de fibres en ´elastom`ere (gris clair) et plong´ee dans un liquide (bleu). (b) Sch´ema en coupe de la g´eom´etrie montrant le champ de vitesse en fonction de la position verticaley.
en compte l’effet de la porosit´e (Fig. 5.7) : −u
k +∇2u = 0 (5.44)
o`u k = λ2 est la perm´eabilit´e et λ la taille typique des pores. Par ailleurs, on suppose que la vitesse ne d´epend que de y, qui d´ecrit la coordonn´ee le long du pilier. L’´equation devient donc
∂2u
∂y2 −λu2 = 0 (5.45)
3.2.b R´esolution
Au dessus de l’arrangement de pilier, pour y≥ L, la vitesse est calcul´ee avec l’´equation de Stokes (∇2u = 0). Pour y ≤ L, on utilise l’´equation de Brinkman (∇2u−u/k = 0). En imposant la continuit´e de la vitesse du fluide pour y = L et avec la condition de non-glissement en y = 0, la r´esolution de cette ´equation donne la forme de la vitesse valable dans l’assembl´ee de piliers pour une hauteur inf´erieure `a L :
u(y) = U λ sinh(y/λ)
(H− L) cosh(L/λ) + λ sinh(L/λ) 0 < y < L (5.46) o`u U est la vitesse du plan sup´erieur. Pour all´eger les notations, on adimen-sionne les longueurs par L :
u(y) = U λ sinh(y/λ)
3. MOD ´ELISATION TH ´EORIQUE 121 En combinant les ´equations 5.47 et 5.2, et en utilisant les mˆemes conditions initiales que dans le cas du pilier unique
(
δ(y = 0) = 0
δs(y = 0) = 0 (5.48)
car la base du pilier est ancr´e dans la langue, et (
δss(y = L) = 0
δsss(y = L) = 0 (5.49)
car le sommet du pilier est laiss´e libre, on obtient la relation suivante : δ
δ0 = 1 K0
λ5sinh(1/λ)− λ4− (λ3/2) sinh(1/λ) + (λ2/3) cosh(1/λ)
(1− 1/H) cosh(1/λ) + (λ/H) sinh(1/λ) (5.50) o`u
δ0 = K0
ηU L3
HEa4 (5.51)
est la d´eflexion d’un pilier isol´e, comme vu au Chapitre 3.
Figure 5.8 – Rapport δ/δ0 en fonction de la densit´e num´erique de pi-lier n. Les carr´es noirs sont les moyennes des 9 points pour chaque den-sit´e et les barres d’erreur correspondent `a la d´eviation standard sur ces 9 points. La courbe orange est le r´esultat d’un ajustement des donn´ees avec l’´equation 5.50 avec λ = α/√
n o`u α = 0,43± 0,05. La courbe verte est l’´equation 5.24 avecS = 4 et la courbe bleu l’´equation 5.43.
Pour pouvoir relier l’´equation 5.50 `a nos r´esultats, il faut d´efinir quelle est la taille de la porosit´e λ dans notre cas. Alvarado et al. [207] d´efinissent celle-ci comme λ = d− a o`u d est la distance centre `a centre entre deux
122 CHAPITRE 5. EFFETS COLLECTIFS piliers voisins, qui correspond `a la plus petite distance d’un r´eseau hexagonal de pilier. Dans notre syst`eme, nous avons choisi d’arranger les piliers selon un r´eseau carr´e et la d´efinition qu’utilisent Alvarado et al. ne peut donc pas ˆetre utilis´ee ici. Pour leurs simulations num´eriques, Nazockdast et al. [213] d´efinissent la perm´eabilit´e k = λ2 = (n/α2)−1 o`u n est la densit´e num´erique de pilier et α une constante issue de la r´egression du coefficient de train´ee sur un pilier en fonction de la densit´e de piliers l’entourant. Nous avons donc choisi de d´efinir de la mˆeme fa¸con la dimension typique des pores λ = α/√
n o`u α est le param`etre d’ajustement. Le r´esultat de l’ajustement donne α = 0,43± 0,05, qui est donc d’ordre 1. Ce r´esultat apporte une nouvelle preuve que n0 = 1/L2 est bien la densit´e caract´eristique du probl`eme, et nous permet aussi de justifier l’hypoth`ese disant qu’un pilier de densit´e surfacique n/n0 ≈ 0,01 peut ˆetre consid´er´e comme isol´e.
La Figure 5.8 montre la comparaison entre les donn´ees, et le r´esultat de chacune des approches. Alors que l’approche microscopique rend compte du comportement pour des tr`es petites densit´es, le mod`ele ph´enom´enologique permet d’expliquer la variation de δ/δ0 pour toute la gamme de densit´e explor´ee avec un bon accord. Ces calculs r´ev`elent qu’il manque manifeste-ment un effort th´eorique pour d´ecrire l’´ecoulemanifeste-ment `a proximit´e des forces ponctuelles.