2.12 Essai de propagation de fissure
2.12.3 Approche énergétique
𝑃(𝐿 − 𝑙) 𝐵𝑊2 𝑌(𝑥)√𝑎 ( 2-112 ) Où : 𝑃 : Charge de rupture
𝐿 et l : espacements entre les appuis inférieurs et supérieurs respectivement 𝐵, W : largeur et hauteur de l’éprouvette respectivement
𝑎 : Hauteur de fissure (m)
𝑌(𝑥) : Facteur de forme (sans dimension) 𝑥 =𝑊𝑎 : Profondeur relative de l’entaille
Figure 2-33. Eprouvette de flexion 4 points
Par rapport au facteur 𝑌(𝑥) on utilise normalement les formules empiriques proposées par différents au-teurs. Par exemple pour l’essai de flexion de 4 points, Brown et Strawley ont proposé :
𝑌(𝑥) = 1.99 − 2.47𝑥 + 12.97𝑥2− 23.17𝑥3+ 24.80𝑥4 Pour 𝟎. 𝟏𝟓 ≤ 𝒙 ≤ 𝟎. 𝟓𝟓 ( 2-113 ) Et Wilson il propose
𝑌(𝑥) =3.99
6 𝑥
−12(1 − 𝑥)−32 Pour 𝒙 ≤ 𝟎. 𝟓 ( 2-114 )
Tracer la courbe d’étalonnage 𝐶 = 𝑓(𝑥) et d’en déduire le facteur de forme 𝑌. Cette méthode est pré-sentée dans le paragraphe 2.13.4, grâce à un calcul aux éléments finis.
2.12.3 Approche énergétique
Griffith, 1921 a abordé le problème de la rupture des corps fissurés d’un point de vue énergétique. Griffith, affirme que la fissure initiale peut se propager à condition que le système composé des forces extérieures et du corps fissuré fournisse l’énergie nécessaire à un accroissement de fissure.
Soit un solide élastique avec une surface de fissure A. Lorsque la propagation de fissure a lieu, la géométrie de celle-ci a un changement de surface 𝑑𝐴. La conservation de l’énergie totale du système (1er principe de la thermodynamique) on peut l’écrire:
𝑑𝑈𝑡 = 𝑑𝑈 − 𝑑𝑊 + 𝑑𝛤 + 𝑑𝑇 = 0 ( 2-115 )
Où
𝑑𝑈𝑡 : variation de l’énergie totale du système ; 𝑑𝑈 : variation de l’énergie élastique stockée ; 𝑑𝑊 : travail des forces extérieures ;
𝑑𝛤 : énergie dissipée dans la création de deux surfaces libres : 𝑑𝛤𝑑𝐴 = 2𝛾𝑆 ; 𝛾𝑆 : énergie dissipée dans la création d’une surface libre ;
𝑑𝑇 : variation de l’énergie cinétique .
Cette équation présente une condition, parce que si l’énergie cinétique augmente 𝑑𝑇 ≥ 0, la fissure se propagera de façon instable soit
𝑑
𝑑𝐴(𝑊 − 𝑈) − 2𝛾𝑆≥ 0 ( 2-116 )
Et de cette expression on définit le paramètre 𝐺, appelé « Taux de restitution d’énergie »:
𝐺 = 𝑑
𝑑𝐴(𝑊 − 𝑈) ( 2-117 )
Où :
𝑊 – 𝑈 : variation de l’énergie potentielle ;
𝑑𝐴 : incrément de surface correspondant à l’avancement de la fissure 𝑑𝐴 = 𝐵𝑑𝑎 ; 𝐵 : largeur de la surface de fissure ;
𝑑𝑎 : incrément de l’avancement de la fissure.
𝐺 est définie comme l’énergie disponible pour faire progresser la fissure. 𝐺 ne dépend que des constants élastiques du matériau, de la géométrie de l’éprouvette et de l’effort, mais pas de la façon dont le système évolue ultérieurement.
Le critère de propagation de Griffith se traduit par
𝐺 ≥ 2𝛾𝑆 ( 2-118 )
Il y aura extension de la fissure lorsque l’énergie disponible pour propager la fissure 𝐺 atteindra une valeur critique 𝐺𝐶, d’énergie de propagation de la fissure. 𝐺𝐶 est l’énergie nécessaire pour que la fissure puisse se propager d’une surface unité, indépendante des géométries de la fissure et de l’éprouvette. Dans le cas des matériaux fragiles, 𝐺𝑐 est égal à deux fois l’énergie de surface thermodynamique.
Soit 𝐺 est supérieur à 𝐺𝐶, l’excédent est transformé en énergie cinétique et on dit que la propagation est instable. Quand la fissure suit le mode I, 𝐺𝐶 devient 𝐺𝐼𝐶.
Si on considère les trois cas Propagation à chargement
im-posé
Propagation à déplacement imposé
Propagation dans le cas général
𝑃1= 𝑐𝑡𝑒 ; 𝑢2= 𝑢1+ 𝛥𝑢 𝑢1= 𝑐𝑡𝑒 ; 𝑃2= 𝑃1− 𝛥𝑃 𝑢2= 𝑢1+ 𝛥𝑢 ; 𝑃2= 𝑃1− 𝛥𝑃 Sans importer la configuration, la variation de l’energie potentielle est l’aire 𝐴𝐵𝑂̅̅̅̅̅̅. Cette aire représente l’énergie dissipée pour faire avancer la fissure de l’incrément 𝑑𝑎
𝐺𝑑𝑎 = 𝐴𝐵𝑂̅̅̅̅̅̅ ( 2-120 )
ù on peut montrer que
𝐺 = 𝑃
2
2𝐵∙ 𝑑𝐶
𝑑𝑎 ( 2-121 )
La complaisance de l’éprouvette est définie 𝐶 =𝑢
𝑃 ( 2-122 )
La rigitité de l’éprouvette est l’inverse de la complaisance 𝑘 =𝑃
𝑢= 1
𝐶 ( 2-123 )
L’énergie en foction de rigidité on obtient
𝐺 = − 1 2𝐵∙ 𝑃2 𝑘2 ∙𝑑𝑘 𝑑𝑎= − 𝑢2 2𝐵∙ 𝑑𝑘 𝑑𝑎 ( 2-124 )
à partir de cette expression on obtient le « Taux de restitution d’énergie ». Cette dénomination est plus liée à une méthode de mesure qu’à la notion de force motrice du processus.
Irwin, 1957 et il y a une lien entre le facteur d’intensité 𝐾𝐼 et l’energie de propagation 𝐺𝐼 dans le cas de d’un milieu homogène et en mode I
𝐺𝐼 =𝐾𝐼
2
𝐸′ ( 2-125 )
Où 𝐸′ est le module de Young mais en contrainte plane 𝐸′ =(1−𝜈𝐸2)
2.12.3.1 Correction de complaisance du système et poinçonnement
Cependant ce système de mesure est soumis à deux phénomènes biaisants. Le premier est l’existence d’une complaisance du système de chargement car celui-ci n’est pas parfaitement rigide. Le déplacement produit par ce phénomène est noté par 𝑢𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑎𝑖𝑠𝑎𝑛𝑐𝑒 et ce déplacement est indépendant de température et la vitesse de la charge appliquée. Il peut être caractérisé par un comportement élastique linéaire, en plus ce déplacement est proportionnel à la charge appliquée et constant pour tous les essais (Chehab, et al., 2002) (Zhao, et al., 2003). Ce rapport on le note 𝐶.
Deuxièmement, le phénomène de poinçonnement de l’éprouvette aux points d’appuis. Le déplacement engendré par ce phénomène peut être évalué à l’aide de la mesure des capteurs LVDT1 et LVDT3. Le dé-placement mesuré par le capteur du piston peut être donc corrigé pour éliminer ces deux phénomènes biai-sants.
Par exemple, les mesures faites par les LVDTs permettent de déterminer la « vraie » la flèche au milieu de la poutre ainsi que le déplacement généré par le poinçonnement aux points d’appui selon les formules suivants.
Alors, le déplacement corrigé (𝑢𝑐𝑜𝑟) de l’éprouvette aux points d’appui se calcul selon : Et à partir de ces équations on obtient
𝐶 =𝑢𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑎𝑖𝑠𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑃 ( 2-126 ) 𝑓 = 𝐿𝑉𝐷𝑇2 −𝐿𝑉𝐷𝑇1 + 𝐿𝑉𝐷𝑇3 2 ( 2-127 ) 𝑢𝑝𝑜ç𝑜𝑛𝑛𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡= 2 ∙𝐿𝑉𝐷𝑇1 + 𝐿𝑉𝐷𝑇3 2 = 𝐿𝑉𝐷𝑇1 + 𝐿𝑉𝐷𝑇3 ( 2-128 ) 𝐿𝑉𝐷𝑇𝑝𝑖𝑠𝑡𝑜𝑛_𝑐𝑜𝑟= 𝐿𝑉𝐷𝑇𝑝𝑖𝑠𝑡𝑜𝑛− (𝑢𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑎𝑖𝑠𝑎𝑛𝑐𝑒+ 𝑢𝑝𝑜ç𝑜𝑛𝑛𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡) ( 2-129 ) 𝐿𝑉𝐷𝑇𝑝𝑖𝑠𝑡𝑜𝑛_𝑐𝑜𝑟= 𝐿𝑉𝐷𝑇𝑝𝑖𝑠𝑡𝑜𝑛− [𝐶 ∙ 𝑃 + (𝐿𝑉𝐷𝑇1 + 𝐿𝑉𝐷𝑇3)] ( 2-130 )
2.12.3.2 Mesure de hauteur de fissure avec la méthode de corrélation des images numériques pour mesurer la propagation de la fissure
La Corrélation d’Images Numériques (CIN) ou Digital Image Correlation (DIC) est une comparaison de deux photos, et avec un logiciel de corrélation, on peut déduire les déplacements des points de l’aire étudiée. Le champ de déformation se déduit du champ de déplacement par le calcul.
La plupart des caméras utilisées pour la DIC fonctionnent de manière monochromatique. Elles ne dé-tectent que le niveau de gris d’un pixel, avec une nuance de couleurs comprise entre 0 et 255. Une image numérique est donc représentée par une matrice dont chaque coefficient possède une valeur entre 0 et 255 et représente le niveau de gris d’un seul pixel. Pour cette raison les poutres entaillées sont peintes en blanc au milieu de la poutre et ensuite des mouchetis noirs sont ajoutés.
La résolution des caméras pour le champ de déplacement est inférieure à la taille d’un pixel (1/100 de pixel). Du coup, si une tache noire se situe entre deux pixels, la caméra augmentera le niveau de gris de celui duquel elle est le plus proche, plus que le niveau de gris du second. La différence de niveau de luminosité sur les gris entre les deux images permet de repérer précisément la position de la tache noire au début. En théorie à 1/256e de pixel près.(Attia, 2015)
Certains auteurs utilisent les corrélations des images pour mesurer hauteur de la fissure au cours de l’essai (Ben Mbarrek et al., 2013; Hilburger and Nemeth, 2006; Jin et al., 2015; Sutton et al., 2009; Tsangouri et al., 2014). Cette méthode remplace les jauges de fissuration utilisées dans des autres recherches (Nguyen, 2009). Les jauges de fissuration sont onéreuses et présentent parfois une rupture des fils avant que la fissure se propage. Par contre la DIC permet d’évaluer certains critères pour mesurer la fissuration, selon le ou les modes rupture à évaluer.
Figure 2-34. Champs de déformation estimées à partir de la DIC tels que visualisés dans différents charge-ments étapes, mesurés sur une poutre en béton. La fracture est progressivement formée et est donnée par les