Approche par les éléments finis

Le cas d’étude de la LAC s’inscrit dans une problématique générale qui est celle des lignes de transmission à plusieurs conducteurs (Multiconductor Transmission Line MTL [CLAYTON-94]).

L’analyse du système doit se scinder en deux étapes. La première consiste à déterminer les inductances propres et les inductances mutuelles des lignes de transmission en fonction de la fréquence d’excitation. La seconde étape est une analyse électrostatique du système, afin de déterminer les capacités parasites entre les différents conducteurs. Ces matrices inductance et capacité renseignent intégralement le comportement du système LAC. Ainsi, les couplages électromagnétiques et électrostatiques entre les conducteurs sont pris en compte. Une matrice résistance peut venir compléter les précédentes matrices.

Pour l’ensemble des calculs de champs magnétique et électrique nécessaires à nos études, nous utiliserons le logiciel FLUX2D®, qui est un logiciel de Conception Assistée par Ordinateur (CAO), basé sur une méthode d’éléments finis. Ce logiciel calcule sur des sections planes (problèmes plans ou problèmes à symétrie de révolution) les états magnétique, électrique ou thermique des dispositifs. Ces états permettent d’accéder à de nombreuses grandeurs globales ou locales : champ, potentiel, flux, énergie, force, etc.

3 La résistivité d’un sol peut varier de 0,1 à 10⁶ Ω.m, en fonction de la composition du milieu et de son taux d’humidité [ESCANE-99].

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3.1.2.1. Calcul de la matrice inductance

Pour établir la matrice inductance du système LAC, nous allons nous baser sur les différents flux magnétiques vus par les conducteurs. Selon la méthode MTL, le schéma de la structure présenté Figure 3-1 peut s’associer à un schéma électrique inductif équivalent :

Figure 3-2 : Schéma inductif du système LAC étudié

Une symétrie du problème peut être constatée selon l’axe vertical de la LAC. Le sol a été choisi comme le conducteur de référence 0. Cela signifie que le sol est considéré comme un conducteur d’inductance propre nulle. D’un point de vue physique, la présence du sol dans le système modifie la répartition des courants – et donc des inductances – dans les conducteurs. Le sol est donc bien pris en compte dans la caractérisation du système, bien qu’il soit dépourvu d’inductance propre. Une matrice inductance L symétrique (Équation 3-1) peut être définie par unité de longueur, rassemblant les inductances propres et mutuelles du système LAC.

L = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

33 32 31

23 22 21

13 12 11

L L L

L L L

L L L

Équation 3-1

Pour remplir cette matrice, chaque terme est calculé à partir des différents flux entre les conducteurs.

La procédure de résolution est détaillée dans [CLAYTON-94]. Cette méthode consiste à créer successivement différentes boucles de courant, en associant un conducteur au conducteur de référence du système. Dans notre cas d’étude, trois boucles de courant seront créées successivement. La Figure 3-3 présente un exemple de boucle de courant entre le conducteur 1 et le conducteur de référence.

Figure 3-3 : Boucle de courant entre les conducteurs 1 et 0

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Les conducteurs non alimentés doivent être connectés à une source de courant nulle, de telle sorte que les courants induits dans chaque conducteur soient nuls. Cette remarque est primordiale dans le cas d’utilisation de FLUX2D®, car ce dernier reboucle les conducteurs massifs à l’infini. Cela signifie que les extrémités de chaque conducteur sont ramenées au même potentiel électrique grâce à un connecteur virtuel n’ayant aucune influence magnétique sur le reste du système. La somme des courants induits dans chaque conducteur est nulle, mais chaque terme peut être différent de zéro. Une erreur va alors apparaître sur les différents flux. Cette considération étant prise en compte, dans le cas de la Figure 3-3, les différentes équations régissant les flux magnétiques entre les conducteurs se mettent sous la forme des Équation 3-2 et Équation 3-3. Une démonstration des équations est proposée dans l’Annexe I.

∫∫

∫∫

Ω

Ω

Ω

− Ω

=

k

k k k

k AJ d

i d D J i A

D . . . .

0

0 0 0

r r r

φ

r avec

k k k

J i

= Ω Équation 3-2

1 1.i L_k

k =

φ

∀k∈[1,3] (i_n =0 ∀n∈[2,3]) Équation 3-3

φ_k représente le flux entre le conducteur k et le conducteur de référence, D est la profondeur d’étude du système (souvent prise égale à 1 m), ik est le courant dans k, Ar

est le potentiel vecteur magnétique, Jrk

est la densité de courant surfacique dans k, L_ij est l’inductance mutuelle entre les conducteurs i et j, et Ω_k est la surface du conducteur k.

Les inductances propres et mutuelles composant la matrice inductance L sont donc aisément déduites à partir des flux entre les conducteurs. Ces flux sont obtenus de manière numérique avec le logiciel FLUX2D. Le maillage du système, présenté Figure 3-4, doit bien évidemment être en accord avec la fréquence d’excitation du système. Les effets de peau et de proximité sont en effet très influents dans la caractérisation du système. Lorsque la fréquence augmente, les courants sont rejetés à la périphérie des conducteurs. La ‘géométrie équivalente’ du système est ainsi différente, induisant des modifications d’inductance.

Figure 3-4 : Maillage du système LAC

La limite extérieure du domaine est soumise aux conditions de Dirichlet, c’est-à-dire qu’un potentiel vecteur magnétique nul y est imposé.

Les lignes d’équi-flux, et le champ magnétique (et donc aussi l’induction) sont tangentielles à cette limite extérieure, cf. Figure 3-5 et Figure 3-6.

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Figure 3-5 : Illustration des lignes d’équi-flux suite à l’alimentation de la boucle LAC-Sol

(10 kHz), vue zoomée

Figure 3-6 : Conditions aux limites : alimentation de la boucle LAC-Sol (10 kHz), vue

sur le domaine d’étude complet

Le sol est un conducteur à part entière du système. Il sera modélisé comme un matériau semi-cylindrique, dont le rayon Rc dépend de la profondeur de pénétration complexe du milieu. Selon [WANG-01], R_c peut être choisi à 6 fois la valeur absolue de la profondeur de pénétration complexe (ce qui revient approximativement à 4 fois la valeur de l’épaisseur de peau) :

sol

= 2 Profondeur de pénétration complexe Équation 3-4

j

La Figure 3-6 permet de se rendre compte de la dimension du système. Une attention particulière doit être portée sur le maillage du système puisque les dimensions sont très disparates. Par exemple, pour une fréquence d’excitation du système de 10 kHz, le rayon Rc à retenir pour l’étude est d’environ 200 m (4 fois l’épaisseur de peau). La cohabitation de telles grandeurs avec les tailles et les espacements des conducteurs (de l’ordre du m, cf. Figure 3-1) doit donc être traitée rigoureusement.

Les matrices inductances obtenues pour les différentes fréquences sont données ci-après. Nous rappelons que ces matrices sont symétriques.

f = 10Hz

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f = 100Hz

Figure 3-7 : Variation des inductances propres et mutuelles du système LAC avec la fréquence

Lorsque la fréquence des courants d’excitation varie, les termes de la matrice les plus sensibles sont les inductances propres des rails de roulement (conducteurs 2 et 3).

Remarque : L₂₂ et L₃₃ sont identiques car le système est symétrique par rapport à l’axe vertical passant par la LAC.

A 10 Hz, les inductances propres des rails de roulement (L₂₂ et L₃₃) sont 4 fois plus importantes que celle de la LAC, alors qu’à 1000 Hz, elles sont identiques. Ces résultats seront comparés à ceux obtenus de manière plus pragmatique dans le paragraphe suivant. Une troisième comparaison pourra aussi s’effectuer grâce au logiciel IMAFEB® d’ELBAS®, basé sur les équations de Carson, utilisé au sein de la société ALSTOM.

3.1.2.2. Impacts de la modélisation de la LAC par les éléments finis 3.1.2.2.1. Comparaisons avec des paramètres linéiques de câbles

La plupart du temps, les valeurs d’inductances linéiques de câbles, définies par les constructeurs, sont directement intégrées dans les schémas équivalents. Ces valeurs sont généralement définies à 50-60 Hz, dans un milieu ouvert. Le Tableau 3-2 résume par exemple les données recueillies sur des données de constructeurs :

R [mΩ/m] L [µH/m]

LAC : Câble Pirelli 150mm² 0.119 0,215

Rail de roulement Cogifer, de type 35 GP 0,015 0,360

Tableau 3-2 : Caractéristiques des conducteurs issues des constructeurs

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Si l’on calcule par exemple l’inductance d’une boucle de 1 m entre la LAC et l’un des rails de roulement, à l’aide des éléments finis ou à l’aide d’une analyse simple des données des constructeurs, la Figure 3-8 peut être dressée :

Les résultats des deux types de modélisation sont nettement différents. Les paramètres des conducteurs donnés par les constructeurs ne sont pas valables pour notre cas d’étude. L’inductance propre du conducteur est généralement calculée à 50 – 60 Hz dans un environnement amagnétique, retiré du sol.

Figure 3-8 : Evolution avec la fréquence de l’inductance d’une boucle de 1 m entre la LAC et un rail de roulement

Le modèle simple, basé sur les caractéristiques des matériaux données par les constructeurs, n’est pas acceptable pour traiter notre problématique. Sur la gamme de fréquence considérée (10 Hz à 10 kHz), l’utilisation des données linéiques (inductances et résistances) pour caractériser un régime de fonctionnement dynamique d’un réseau de tramway modifierait les constantes de temps d’établissement des régimes transitoires. Pour illustrer les conséquences du choix du type de modélisation, le scénario d’un court-circuit sur la ligne de tramway de la Rochelle sera présenté dans le chapitre 4.

3.1.2.2.2. Comparaisons avec l’Outil IMAFEB® d’ELBAS®

Le logiciel IMAFEB de la société ELBAS® est utilisé au sein d’ALSTOM Transport Systèmes pour la détermination fréquentielle des inductances et des résistances linéiques, et pour la répartition du champ magnétique sur des systèmes de lignes aériennes de contact. Ce logiciel prend en compte la présence du sol via un modèle de Carson [CARSON-26]. Les conducteurs du système doivent alors être modélisés comme des conducteurs cylindriques. Cette approximation se justifie dans le cas de la modélisation d’un système de transmission de type LAC, mais dans le cas de structures plus complexes telles qu’ALISS, la géométrie et la position des conducteurs est importante. Le logiciel IMAFEB n’est donc pas adapté pour traiter de tels cas de figure.

Pour le calcul des inductances, les champs magnétiques sont calculés selon la loi de Biot et Savart, qui requiert une perméabilité constante et égale à celle du vide :

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(V) : Volume

dν : Volume élémentaire entourant le point M )

(M

J : Vecteur densité de courant volumique u : Vecteur directeur unitaire

Figure 3-9 : Illustration de la loi de Biot et Savart

Une distribution volumique continue de courants J(M)sur un volume (V) crée un potentiel vecteur magnétique en un point P de l’espace :

π ν

Par ailleurs, l’induction magnétique Bau point P dérive du potentiel vecteur magnétique A :

π ν

( Équation 3-7

L’utilisation de matériaux magnétiques tels que les rails de roulement introduit une modification des lignes de champ magnétique du domaine. Considérer ainsi que l’environnement des conducteurs est amagnétique est une hypothèse simplificatrice utilisée par le logiciel IMAFEB.

Les résultats de la modélisation de la LAC par les éléments finis sont rappelés dans le Tableau 3-3 et sont comparés avec ceux obtenus par IMAFEB :

Fréquence [Hz] Matrice inductance MEF [µH/m] Matrice inductance IMAFEB [µH/m]

10 ⎟⎟⎟

Tableau 3-3 : Comparaisons des matrices inductance obtenues avec la MEF ou IMAFEB

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Les résultats entre les deux approches sont très proches exceptés pour les inductances propres des rails de roulement (conducteurs 2 et 3) de 10 Hz à 1 kHz. Sur ces points particuliers, la méthode d’IMAFEB pour le calcul des inductances propres de conducteurs magnétiques est à prendre en défaut.

Comme nous l’avons mentionné, le logiciel simplifie le problème en supposant que les lignes de champ du système ne sont pas modifiées par la présence de conducteurs magnétiques, ce qui est faux.

Mis à part cette différence sur les inductances propres des conducteurs magnétiques, l’adéquation des résultats des deux méthodes (éléments finis et méthode de Carson) est rassurante quant à la modélisation du sol retenue pour les éléments finis.

3.1.2.3. Sensibilité des résultats aux paramètres du sol

De manière à illustrer les impacts des paramètres du sol sur les inductances du système LAC, nous choisissons de nous placer à une fréquence de 10 kHz, et de faire varier la résistivité de milieu en fixant sa perméabilité (µ_sol = 1 pour l’ensemble de l’étude). Il serait bien entendu possible de faire le même genre d’analyse avec une perméabilité variable. Dans cette étude, la géométrie du système doit être modifiée en regard de l’épaisseur de peau, puisque le rayon Rc du conducteur semi-cylindrique qui modélise le sol en est dépendant, cf. Équation 3-4. Le Tableau 3-4 et la Figure 3-10 présentent les variations des inductances du système LAC avec la résistivité du sol.

Résistivité

ρ

_sol [Ω.m] 10 100 1000

Rayon R_c [m] 60 200 600

Matrice inductance L [µH/m]

Tableau 3-4 : Modification des matrices inductance avec la résistivité du sol (f = 10 kHz)

Figure 3-10 : Evolution des inductances du système LAC avec la résistivité du sol

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A la vue des résultats, nous notons clairement qu’une augmentation de la résistivité du sol se traduit par un accroissement des inductances du système. Cela est logique car l’accroissement de la résistivité du sol augmente son épaisseur de peau, cf. Équation 3-4, et donc de ce fait le rayon du conducteur équivalent semi-cylindrique. La surface où circulent les courants dans le sol est accrue, augmentant ainsi les inductances propres des conducteurs du système. Dans le cas d’étude présenté, lorsque la résistivité du sol augmente d’une décade, les inductances se renforcent d’environ 10 %. Le sol et ses paramètres caractéristiques associés sont donc d’importance dans la détermination du caractère inductif d’un système. Ainsi, nous jugeons que pour des cas d’études plus spécifiques (sols humides ou très secs), des mesures de résistivité du sol - voire de perméabilité - doivent être réalisées, afin d’ajuster au mieux leur valeurs.

3.1.2.4. Calcul de la matrice capacité

Comme pour le calcul de la matrice inductance du système, une matrice capacité, rassemblant les différentes capacités parasites entre les conducteurs, peut être établie. La technique utilisée pour la détermination de la matrice est différente de la méthode introduite par [CLAYTON-94]. En effet, l’Équation 3-8 liant les matrices inductance et capacité ne peut pas être utilisée car le milieu n’est pas homogène.

1 0 0. . ⁻

= C

L

µ ε

Équation 3-8

En nous basant sur des considérations énergétiques, nous pouvons envisager une autre approche. Le principe de la méthode consiste à imposer consécutivement un couple de densité de charge aux conducteurs du système. L’énergie globale du système, calculée sous FLUX2D, permet ensuite de déduire une capacité entre les deux conducteurs chargés, grâce à l’Équation 3-9.

C V Q

C E_globale

. 2

² ² . 2.

1 =

= Équation 3-9

A titre d’exemple, le comportement électrostatique du système LAC peut être modélisé par la matrice capacité C :

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

0 , 15 0 , 8 8 , 4

0 , 8 0 , 15 8 , 4

8 , 4 8 , 4 5 , 4

C pF/m

Les termes les plus importants de la matrice sont les capacités parasites entre les rails de roulement et le sol.

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3.1.2.5. Calcul de la matrice résistance

Au même titre que les matrices inductance et capacité, une matrice résistance peut être établie. Les différents conducteurs n’étant pas reliés physiquement les uns les autres, les matrices résistance sont des matrices diagonales. La détermination de chacune des résistances composant la diagonale de la matrice est réalisée en intégrant l’effet de peau. La démarche à suivre pour déterminer chacune des résistances du système est illustrée dans la Figure 3-11 :

Les paramètres géométriques d’un conducteur permettent de calculer sa surface totale. En prenant ensuite comme hypothèse que ce conducteur est cylindrique, il est possible d’en déduire un rayon équivalent. Le calcul de l’épaisseur de peau du conducteur permet enfin de déterminer sa surface équivalente (surface en forme de couronne où circulent les courants) et de calculer sa résistance.

Remarque : lorsque l’épaisseur de peau calculée est supérieure au rayon du conducteur cylindrique équivalent, cela signifie que les courants circulent sur la section totale du conducteur.

La Figure 3-12 montre par exemple la variation de résistance de la LAC ou d’un rail de roulement avec la fréquence.

Figure 3-11 : Principe du calcul de la matrice résistance

Figure 3-12 : Variation des résistances linéiques des conducteurs avec la fréquence

Comme nous le voyons sur la Figure 3-12, l’accroissement de la fréquence des courants d’excitation mène à une augmentation de la résistance des conducteurs. Bien entendu, ce phénomène est clairement connu : avec la fréquence, les courants sont rejetés à la périphérie des conducteurs. Les surfaces équivalentes des conducteurs sont donc réduites, renforçant de ce fait leur aspect résistif.

Surface totale Stot du conducteur (Paramètres géométriques)

Rayon équivalent Requ pour un conducteur cylindrique

π^tot

equ

R = S

Epaisseur de peau du conducteur

µ π

ρ . .f

=

∂

Surface équivalente du conducteur

( )

²

. −∂

−

= _{tot equ}

equ S R

S π

Résistance du conducteur

Sequ

R₌ ρ.L

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Dans le document Université Joseph Fourier (Page 58-68)