On considère une application 𝜑 ∶ [0, 1] ←→ [0, 1], on munit l’intervalle de sa tribu borélienne et de la mesure de Lebesgue 𝜆.
On suppose qu’il existe un ouvert 𝑌1de mesure totale sur lequel 𝜑 est 𝐶2. L’ouvert 𝑌0est donc une réunion dénom- brable disjointe d’intervalles ouverts 𝐼𝑖, 𝑖 ∈ . On suppose que la restriction de 𝜑 à chacun de ces intervalles est un difféomorphisme sur]0, 1[. On suppose de plus qu’il existe 𝑎 > 1 et une constante 𝐶 > 0 telles que
|𝜑′
(𝑥)| ⩾ 𝑎 > 1 , |𝜑′′(𝑥)| ⩽ 𝐶
pour tout 𝑥∈ 𝑌1. On ne suppose pas l’application 𝜑 continue hors de 𝑌1. Sous ces hypothèses précédentes, on a :
Théorème 12.1. Il existe une fonction Lipschitz 𝑔 ∶ [0, 1] ←→]0, ∞) telle que la mesure 𝑚 = 𝑔𝜆 est une probabilité
invariante. La mesure 𝑚 est ergodique, et même mélangeante. C’est la seule probabilité invariante absolument continue.
On a alors 𝑆∗𝑛𝛿𝑥∕𝑛 ←→ 𝑚 pour 𝜆-presque tout 𝑥 (puisque les ensembles de mesure nulle pour 𝜆 sont les mêmes que les ensembles de mesure nulle pour 𝑚).
L’ergodicité de 𝑚 implique qu’aucune autre probabilité invariante n’est absolument continue par rapport à 𝜆. Trois exemples type sont :
L’application 𝑥 ←→2𝑥 sur ]0, 1∕2[ et 𝑥 ←→ 2𝑥 − 1 sur ]1∕2, 1[ (qui, pour la théorie ergodique, est l’application 𝑥 ←→ 2𝑥 sur 𝕋 ).
L’application tente 𝑥 ←→1 −|2𝑥 − 1|.
L’application de Gauss 𝑥 ←→{1∕𝑥} (partie fractionnaire de 1∕𝑥).
En réalité, l’application de Gauss ne vérifie pas exactement les hypothèses car 𝜑′(1) = 1. On vérifie toutefois facilement que 𝜑◦𝜑 vérifie les hypothèses ci-dessus, et donc 𝜑𝑛pour tout 𝑛 ⩾2. On a la même conclusion au vu de l’exercice suivant : Exercice 12.1. Soit 𝜑 une application mesurable de l’espace mesurable 𝑋. Soit 𝜆 une mesure de probabilité sur 𝑋.
Supposons qu’il existe 𝑛 tel que 𝜑𝑘a une unique mesure de probabilité invariante absolument continue par rapport à 𝜆 pour tout 𝑘⩾ 𝑛.
Montrer que la probabilité invariante absolument continue de 𝜑𝑘ne dépend pas de 𝑘.
Montrer que 𝜑 admet une unique mesure de probabilité absolument continue invariante, notée 𝑚.
Si 𝑚 est mélangeante ou ergodique pour 𝜑𝑘pour tous les 𝑘 assez grand, montrer qu’elle l’est aussi pour 𝜑.
Exercice 12.2. Dans le cas de l’application de Gauss 𝜑(𝑥) = {1∕𝑥}, montrer que 𝑔 = ((log 2)(1 + 𝑥))−1.
Commençons par quelques définitions. On note 𝑌𝑛 ∶= 𝜑−(𝑛−1)(𝑌
1) et 𝑍𝑛son complémentaire, qui est un fermé de mesure nulle. On note finalement 𝑌 = ∩𝑌𝑛, c’est l’ensemble des points dont l’orbite reste dans 𝑌1, et 𝑍 = [0, 1] − 𝑌 . Pour chaque 𝑖 ∈ 1, on note 𝜑𝑖 le restriction de de 𝜑 à 𝐼𝑖, qui est un difféomorphisme sur ]0, 1[. Pour tout itinéraire (𝑖0, 𝑖1,… , 𝑖𝑛) ∈𝑛, on note
𝐼(𝑖0,… , 𝑖𝑛) ∶= 𝐼𝑖0∩ 𝜑−1(𝐼𝑖1) ∩⋯ ∩ 𝜑−𝑛(𝐼𝑖𝑛), c’est l’ensemble des points qui partent de 𝐼𝑖
0.
Propriété 12.2. Pour tout itinéraire (𝑖0, 𝑖1,… , 𝑖𝑛) ∈ 𝑛+1, la restriction à 𝐼(𝑖0, ,… , 𝑖𝑛) de l’application 𝜑𝑛+1 est un
difféomorphisme sur]0, 1[. En particulier, l’ouvert 𝐼(𝑖0,… , 𝑖𝑛) est un intervalle.
Ceci implique en particulier que les itérées 𝜑𝑛vérifient les mêmes hypothèses que 𝜑, avec un ouvert de régularité 𝑌𝑛, un ensemble d’intervalles indexé par les itinéraires𝑛, la constante de dilatation 𝑎𝑛, et une constante 𝐶
𝑛. On montre l’énoncé par récurrence sur 𝑛. Comme
𝐼(𝑖0, ,… , 𝑖𝑛) = 𝐼(𝑖0) ∩ 𝜑−1(𝐼(𝑖1,… , 𝑖𝑛)) = 𝜑−1𝑖
0 (𝑖1,… , 𝑖𝑛),
cet ensemble est un intervalle, et la restriction de 𝜑 à cet intervalle est un difféomorphisme sur 𝐼(𝑖1,… , 𝑖𝑛). Alors, 𝜑𝑛+1 =
𝜑𝑛◦𝜑 est un difféomorphisme comme composée des deux difféomorphismes 𝜑 ∶ 𝐼(𝑖
0, ,… , 𝑖𝑛) ←→ 𝐼(𝑖1,… , 𝑖𝑛) et 𝜑𝑛 ∶
𝐼(𝑖1,… , 𝑖𝑛) ←→]0, 1[.
On note1la tribu constituée des parties de[0, 1] qui sont réunion d’intervalles 𝐼𝑖et d’une partie de 𝑍1. On note de
même𝑛la tribu dont les éléments sont les réunions d’intervalles de la forme 𝐼(𝑖0, 𝑖1,… 𝑖𝑛−1) et d’une partie de 𝑍𝑛. Pour tout 𝑛, l’application 𝜑 est mesurable de([0, 1],𝑛+1) dans ([0, 1],𝑛). En fait, la tribu𝑛+1 est la tribu engendrée par
Propriété 12.3. Pour tout itinéraire, on a 𝜆(𝐼(𝑖0, 𝑖1,… , 𝑖𝑛)) ⩽ 𝑎−𝑛. L’ensemble 𝑍 est donc dense dans[0, 1], et l’algèbre engendre la tribu borélienne.
On a vu que 𝐼(𝑖0,… 𝑖𝑛) est un intervalle en restriction duquel 𝜑 est un difféomorphisme sur ]0, 1[. On a donc soit
𝜑𝑛⩾ 𝑎𝑛soit 𝜑𝑛⩽−𝑎 sur cet intervalle. Dans les deux cas,
1 = 𝜆(𝜑𝑛(𝐼(𝑖0,… , 𝑖𝑛))) ⩾ 𝑎𝑛𝜆(𝐼(𝑖0,… 𝑖𝑛))
ce qui donne la première inégalité. La densité de 𝑍 découle du fait que 𝑍𝑛 est 𝑎−𝑛-dense. Comme 𝑍 est dense, tout intervalle fermé de[0, 1] est une intersection dénombrable d’intervalles à extrémités dans 𝑍, et donc d’éléments de. Montrons d’abord le théorème dans le cas particulier où les branches sont affines, c’est à dire ou 𝜑′est constante sur
𝐼𝑖, et donc égale à 𝜑′𝑖(𝑥) = ±1∕𝜆(𝐼𝑖) pour 𝑥 ∈ 𝐼𝑖. Montrons pour commencer que la mesure de Lebesgue 𝜆 est invariante. La préimage d’un borélien 𝐵 est la réunion des 𝐵𝑖 ∶= 𝜑−1𝑖 (𝐵). On a 𝜆(𝐵𝑖) = 𝜆(𝐵)𝜆(𝐼𝑖), donc
𝜆(𝜑−1(𝐵)) =∑ 𝑖
𝜆(𝐵𝑖) = 𝜆(𝐵). Ceci montre l’invariance de 𝜆. Montrons maintenant le mélange. On a vu que
𝜆(𝜑−1(𝐵) ∩ 𝐼𝑖) = 𝜆(𝐵)𝜆(𝐼𝑖). On peut appliquer ce résultat aux applications 𝜑𝑛:
𝜆(𝜑−𝑛(𝐵) ∩ 𝐴) = 𝜆(𝐵)𝜆(𝐴)
pour tout 𝐴∈𝑛. Ceci montre que la convergence 𝜆(𝜑−𝑛(𝐵) ∩ 𝐴) ←→ 𝜆(𝐵)𝜆(𝐴) a lieu pour tout 𝐴 ∈, et donc pour tout
𝐴∈. La mesure 𝜆 est donc mélangeante.
Si 𝑓 est une fonction strictement positive et Lipschitz sur[0, 1], alors log◦𝑓 est une fonction Lipschitz.
Lemme 12.4. Soit 𝜇= 𝑓 𝜆 une mesure de probabilité. Supposons que 𝑓 est une fonction Lipschitz et strictement positive.
La mesure 𝜑∗𝜇admet une densité ℎ strictement positive qui vérifie
Lip(log◦ℎ) ⩽ 𝐶𝑎−2+ 𝑎−1Lip(log◦𝑓 )
pour une constante 𝐶 indépendante de 𝑓 . Cette inégalité est aussi satisfaite par les densités ℎ𝑖des mesures(𝜑𝑖)∗(𝜇|𝐼𝑖).
Pour chaque 𝑖 ∈ 0, la restriction 𝜑𝑖de 𝜑 à 𝐼𝑖est un difféomorphisme sur]0, 1[. La densité ℎ𝑖de la mesure(𝜑𝑖)∗(𝜇|𝐼𝑖)
est donc ℎ𝑖= (𝑓◦𝜑−1
𝑖 )∕|𝜑
′◦𝜑−1|. On a alors
Lip(log◦ℎ𝑖) ⩽ Lip(log◦𝑓 )Lip(𝜑−1𝑖 ) + Lip(log◦|𝜑′𝑖|◦𝜑−1𝑖 ) ⩽ 𝑎−1Lip(log◦𝑓 ) + 𝐶𝑎−2 où on rappelle que 𝐶 est la borne de 𝜑′′. On a 𝜑∗𝜇=∑𝑖(𝜑𝑖)∗(𝜇|𝐼
𝑖) la densité de cette mesure est ℎ ∶=
∑
𝑖ℎ𝑖. Pour montrer que cette somme de fonctions positives converge il suffit de la majorer. Pour ceci, on constate que la fonction ℎ𝑖, qui est continue, atteint forcément sa valeur moyenne, qui est 𝜇(𝐼𝑖). La fonction log◦ℎ𝑖prend donc la valeurlog(𝜇(𝐼𝑖)), et donc elle est majorée parlog(𝜇(𝐼𝑖)) + Lip(log◦ℎ𝑖). On a donc
ℎ𝑖 ⩽ 𝜇(𝐼𝑖)𝑒Lip(log◦ℎ𝑖)⩽ 𝜇(𝐼𝑖)𝑒𝐶𝑎
−2+𝑎−1Lip(log◦𝑓 )
et donc∑ℎ𝑖⩽exp(𝐶𝑎−2+ 𝑎−1Lip(log◦𝑓 )). Chacune des fonctions ℎ𝑖satisfait
ℎ𝑖(𝑥) ⩽ ℎ𝑖(𝑦)𝑒|𝑦−𝑥|(𝐶𝑎−2+𝑎−1Lip(log◦𝑓 ))
pour tous 𝑥 et 𝑦. Il en est donc de même de la somme ℎ, c’est à dire qu’on a Lip(log◦ℎ) ⩽ 𝑎−1Lip(log◦𝑓 ) + 𝐶𝑎−2.
On peut alors démontrer l’existence de la mesure 𝑚 du théorème12.1. On se donne une constante 𝐿 assez grand pour que 𝐶𝑎−2+𝑎−1𝐿⩽ 𝐿. Alors pour toute fonction 𝑓 vérifiant Lip(log◦𝑓 ) ⩽ 𝐿 et∫ 𝑓 𝑑𝜆 = 1 (par exemple la fonction 𝑓 = 1), on pose 𝜇= 𝑓 𝜆 et on considère comme d’habitude la suite 𝑆∗𝑛𝜇∕𝑛. Il découle du Lemme précédent que cette mesure admet une densité 𝑔𝑛qui vérifie Lip(log◦𝑔𝑛) ⩽ 𝐿. Comme les fonctions 𝑔𝑛prennent la valeur1, on déduit facilement qu’elles sont equi-Lipschitz. On trouve donc par Ascoli une sous-suite qui converge uniformément vers une limite Lipschitz 𝑔. La mesure 𝑚= 𝑔𝜆 est alors une valeur d’adhérence de la suite 𝑆∗𝑛𝜇∕𝑛, la densité 𝑔 satisfait Lip(log◦𝑔) ⩽ 𝐿, donc 𝑔 se prolonge en une fonction Lipschitz strictement positive de[0, 1].
L’existence d’une mesure de probabilité invariante 𝑚 = ℎ𝜆 avec Lip(log ℎ) ⩽ 𝐿 est démontrée. En appliquant le résultat aux applications 𝜑𝑛, on obtient :
Propriété 12.5. Pour tout itinéraire 𝑗= (𝑖0,… , 𝑖𝑛) ∈𝑛, la mesure 𝑚𝑗 = (𝜑𝑛𝑗)∗(𝑚|𝐼), où 𝐼 = 𝐼(𝑖0,… , 𝑖𝑛). Chacune des
mesures 𝑚𝑗admet une densité ℎ𝑗 qui vérifieLip(log◦ℎ𝑗) ⩽ 𝐿 et donc
𝑚(𝐼𝑗)𝑒−𝐿⩽ ℎ𝑗 ⩽ 𝑚(𝐼𝑗)𝑒𝐿.
Intéressons nous aux propriétés d’ergodicité et de mélange de la mesure invariante 𝑚. Proposition 12.6. Si 𝐵 est un Borélien invariant et si 𝐴∈, alors
𝑚(𝐵 ∩ 𝐴) ⩾ 𝑚(𝐵)𝑚(𝐴)𝑒−2𝐿. La même conclusion est aussi vérifiée si 𝐵 est asymptotiquement mesurable.
Il suffit de démontrer l’affirmation lorsque 𝐴 = 𝐼(𝑖0,… , 𝑖𝑛−1). Si 𝐵 est invariant, ou asymptotiquement mesurable,
alors pour tout 𝑛 il existe un ensemble mesurable 𝐵𝑛tel que 𝐵= 𝜑−𝑛(𝐵𝑛). En notant 𝜑𝑛𝐴la restriction de 𝜑𝑛à 𝐴, qui est un difféomorphisme sur]0, 1[, on a alors
𝑚(𝐵 ∩ 𝐴) = 𝑚𝐴(𝐵𝑛) = ∫𝐵𝑛
ℎ𝐴𝑑𝜆⩾ 𝜆(𝜑𝑛(𝐵))𝑚(𝐴)𝑒−𝐿⩾ 𝑚(𝐵𝑛)𝑚(𝐴)𝑒−2𝐿= 𝑚(𝐵)𝑚(𝐴)𝑒−2𝐿.
On a utilisé l’invariance de 𝑚, qui implique que 𝑚(𝐵) = 𝑚(𝐵𝑛).
Nous allons déduire de cet énoncé que, si 𝐵 est invariant ou asymptotiquement mesurable, alors 𝑚(𝐵) ∈ {0, 1}. C’est à dire que 𝑚 est ergodique, et même exacte, donc mélangeante.
Si l’on avait le résultat de l’énoncé pour tout Borélien 𝐴, la conclusion serait immédiate. Il suffit en effet de prendre pour 𝐴 le complémentaire de 𝐵. On déduis alors que 𝑚(𝐴)𝑚(𝐵) = 0 et donc que ou bien 𝐵 ou bien son complémentaire est de mesure nulle.
Cependant, comme le complémentaire de 𝐵 n’est pas forcément dans, on utilise :
Lemme 12.7. Soit 𝐵 un borélien tel que 𝑚(𝐵) < 1 et 𝜖 > 0. Alors il existe 𝑛 ⩾ 0 et un itinéraire 𝑖0,… , 𝑖𝑛tel que
𝑚(𝐵 ∩ 𝐼(𝑖0,… , 𝑖𝑛)) ⩽ 𝜖𝑚(𝐼(𝑖0,… , 𝑖𝑛)).
Presque tout point 𝑥 de [0, 1] − 𝐵 est un point de Lebesgue, c’est à dire que 𝜆(𝐵∩]𝑥 − 𝑟, 𝑥 + 𝑟[) = 𝑜(𝑟) lorsque 𝑟 ←→ 0. On considère un point 𝑥0de 𝑌 − 𝐵 qui a cette propriété. Pour tout 𝑛, on considère l’intervalle 𝐼(𝑖0,… , 𝑖𝑛−1) qui contient
𝑥0. Il est de la forme]𝑥0− 𝑑𝑛, 𝑥𝑂+ 𝛿𝑛[, où 𝑑𝑛et 𝛿𝑛tendent vers0. On note 𝑟𝑛= max(𝑑𝑛, 𝛿𝑛). Comme 𝑥0est un point de Lebesgue, on a, pour 𝑛 grand,
𝜆(𝐵 ∩ 𝐼(𝑖0,… , 𝑖𝑛−1)) ⩽ 𝜆(𝐵∩]𝑥0− 𝑟𝑛, 𝑥1+ 𝑟𝑛[) ⩽ 𝜖𝑟𝑛⩽ 𝜖𝜆(𝐼(𝑖0,… , 𝑖𝑛−1)).
On revient à 𝑚 en rappelant que sa densité ℎ vérifie 𝑒−𝐿⩽ ℎ ⩽ 𝑒𝐿. On peut maintenant montrer :
Propriété 12.8. Soit 𝐵 un Borélien qui est asymptotiquement mesurable, alors 𝑚(𝐵) ∈ {0, 1}.
Pour tout 𝜖 > 0, on choisit 𝐴 = 𝐼(𝑖0,… , 𝑖𝑛) tel que 𝑚(𝐵 ∩ 𝐴) ⩽ 𝜖𝑚(𝐴). On a alors 𝜖𝑚(𝐴) ⩾ 𝑚(𝐵 ∩ 𝐴) ⩾ 𝑚(𝐵)𝑚(𝐴)𝑒−2𝐿 et donc 𝑚(𝐵) ⩽ 𝜖𝑒2𝐿.Comme ceci est vrai pour tout 𝜖 >0, 𝑚(𝐵) = 0.
Pour ce qui concerne le mélange, on rappelle finalement :
Proposition 12.9. Si 𝑚 est une mesure de probabilité invariante telle que 𝑚(𝐵) ∈ {0, 1} pour tout 𝐵 asymptotiquement
mesurable, alors 𝑚 est mélangeante.
On considère l’espace de Hilbert 𝐻 = 𝐿2(𝑋, 𝑚), et les sous-espaces fermés 𝐻
𝑛= 𝐿2(𝑋, 𝜑−𝑛(𝜏), 𝑚). Ces sous-espaces forment une suite décroissante, et l’hypothèse est que cette intersection est l’ensemble des fonctions constantes, identifié à ℝ.
Posons 𝐹𝑛= 𝐻𝑛∩ 𝐻𝑛⟂+1, c’est donc l’orthogonal de 𝐻𝑛+1dans 𝐻𝑛. Posons 𝐺𝑛= ℝ ⦹ 𝐹1⦹ 𝐹2⦹ ⋯ ⦹ 𝐹𝑛et 𝐺= ∪𝑛𝐺𝑛. Le sous-espace 𝐺 est dense dans 𝐻 .
L’application 𝑓 ←→ 𝑓◦𝜑𝑛envoie 𝐻 sur 𝐻
𝑛, de sorte que∫ 𝑔(𝑓 ◦𝜑𝑛)𝑑𝑚 = ∫ 𝑓 ∫ 𝑔 à partir d’un certain rang pour