7.2.1
Intérêt de la simulation de Monte Carlo
La simulation de Monte Carlo appliquée à ce problème présente des avantages en comparaison d’une méthode déterministe.
Elle permet de mesurer l’impact de certains paramètres sur la sinistralité du portefeuille ainsi que le calcul d’intervalle de confiance pour les grandeurs estimées par l’obtention de la distribution des éléments simulés.
De plus, cette méthode prend en compte le caractère évolutif de l’état de dépen- dance des assurés (passage de dépendance partielle vers dépendance totale).
Nous pouvons ainsi obtenir, certes en fonction d’hypothèses, l’ensemble des réa- lisations possibles, mais aussi la probabilité de réalisation de chacun de ces évè- nements. Nous pouvons ainsi calculer des valeurs comme la Value at Risk, nous indiquant le montant étant dépassé qu’avec une faible probabilité.
7.2.2
Réalisation
La simulation a été réalisée grâce au langage Visual Basic for Applications. Un générateur aléatoire décrit dans la suite a été utilisé pour simuler une variable aléa- toire entre 0 et 1.
La simulation proposée permet de simuler la vie d’un assuré. Elle est effectuée pour chaque assuré composant le portefeuille. Une simulation du portefeuille consiste en la simulation de chaque assuré composant le portefeuille, autonome comme dé- pendant. Cette opération est répétée autant de fois que nécessaire pour que la loi des grands nombres puissent être appliquée.
Nous distinguons la simulation d’un assuré dépendant et d’un assuré autonome. — Simulation 1 : En premier lieu, la simulation d’un assuré autonome
1. La simulation est initialisée par la vérification de la survie de l’assuré autonome.
(a) Si l’assuré survit, alors nous vérifions s’il entre en dépendance. i. S’il tombe en dépendance, nous passons à la simulation 2
ii. Si l’assuré ne tombe pas en dépendance, alors la simulation boucle, nous retournons au point 1. de la Simulation 1, en incrémentant l’âge de l’assuré.
(b) Si l’assuré décède, la simulation est terminée.
— Simulation 2 : Simulation d’un assuré dépendant (simulation de la cause de dépendance)
1. Nous vérifions d’abord pour quel motif l’assuré tombe en dépendance. (a) Si l’assuré tombe en dépendance pour cause d’accident, peu importe
la durée de souscription de la police, nous l’affectons en dépendance et nous passons à la simulation 3
(b) Si l’assuré tombe pour cause de maladie
i. Si l’assuré est présent dans le portefeuille depuis plus de 1 an, alors nous passons à la simulation 3
ii. S’il est présent depuis moins de 1 an, alors le délai de carence pour ce type de dépendance n’est pas encore terminé, l’assuré n’est pas couvert, la simulation s’arrête.
(c) Si l’assuré tombe pour cause de démence
i. Si l’assuré est présent dans le portefeuille depuis plus de 3 ans, alors nous passons au point 2.
ii. S’il est présent depuis moins de 3 ans, alors le délai de carence pour ce type de dépendance n’est pas encore terminé, l’assuré n’est pas couvert, la simulation s’arrête.
— Simulation 3 : Simulation d’un assuré dépendant (simulation du type de dé- pendance)
1. La simulation est alors initialisée par l’affectation de l’assuré en dépen- dance partielle ou en dépendance totale selon la proportion observée de dépendance partielle dans le portefeuille.
(a) Si l’assuré entre en dépendance partielle, nous passons à la simulation 4.2.
(b) Sinon il est dépendant total, nous passons aussi à la simulation 4.1. — Simulation 4 : Simulation d’un assuré dépendant (simulation de la vie de
l’assuré dépendant)
(a) S’il décède, la simulation s’arrête.
(b) Sinon la simulation boucle, nous retournons au point 1 de cette simu- lation
2. En cas de dépendance partielle, nous évaluons dans un premier temps si l’assuré décède en dépendance partielle ou pas (selon le même principe que la dépendance totale, mais avec la mortalité des dépendants partiels). (a) S’il décède, la simulation s’arrête.
(b) Sinon la simulation continue et nous regardons si l’assuré passe en dépendance totale ou non.
i. Si l’assuré n’entre pas en dépendance totale, alors la simulation boucle, l’âge est incrémenté et nous retournons au point 2 de cette simulation
ii. Sinon il reste en dépendance partielle, la simulation boucle aussi, l’âge est incrémenté et nous retournons au point 1 de cette simu- lation
Illustration 7.1 : Schema de la simulation de Monte Carlo
A la fin de la simulation, si l’assuré est resté autonome, alors nous considérons qu’il a payé sa prime. De même, nous calculons la provision pour risque croissant afférant à sa police. Dans un but de prudence, nous considérons que l’assuré ne paye sa prime qu’à la fin de l’échéance quand bien même le paiement de la prime est à terme à échoir. En effet une grande majorité des assurés paye de manière mensuelle ou trimestrielle. Ainsi, ne pouvant simuler de manière précise où intervient le décès ou l’entrée en dépendance de l’individu dans l’année, sauf hypothèse de répartition intra annuelle sur les probabilités, nous considérons que l’assureur ne percevra la prime que si l’assuré n’est pas décédé ou entré en dépendance. Dans le cas contraire,
soit le contrat se termine, soit l’assureur devra verser une rente. Nous faisons ainsi l’hypothèse que le décès ou la dépendance survient en début de période, afin de ne pas sur évaluer le montant des cotisations perçues.
En revanche, si l’assuré est entré ou reste en dépendance, alors la prestation due lui est versée, et nous calculons la provision mathématique pour la rente qui lui sera versée dans le futur.
La simulation est réitérée pour chaque assuré du portefeuille, autonome comme dépendant, jusqu’au maximum entre un horizon de temps défini et la mort de l’in- dividu. Une simulation du portefeuille consiste en la simulation de chaque assuré du portefeuille. La simulation du portefeuille est répétée un certain nombre de fois afin d’assurer la convergence, c’est à dire que l’ajout d’une simulation ne modifie pas significativement les résultats. Nous pouvons nous baser sur le critère de la va- riance : si la variance de l’estimation ne diminue plus avec l’ajout d’une simulation du portefeuille supplémentaire, nous considérons que la simulation a convergé.