Application

L’algorithme a été testé avec le benchmark du SMES en utilisant 4 modèles avec différentes précisons : un modèle dans lequel chaque bobine est considérée comme un dipôle (ƒ_ë= 1) c’est le modèle grossier (MG), un modèle avec 5 éléments par bobine (MM0), un modèle avec 100 éléments par bobine (MM1), un modèle avec 900 éléments par bobine (MM2) et un modèle fin qui est le modèle EF 2D.

Les résultats de l’OSM n-niveaux sont détaillés dans les tableaux III.9 et III.10. Le tableau III.9 montre le nombre d’évaluations de chaque modèle et le temps de calcul des algorithmes d’OSM n-niveaux. Quant au tableau III.10, il montre la précision des solutions trouvées par chaque algorithme par rapport à la solution trouvée dans la littérature [TEA-11].

Tableau III.9 : Comparaison des temps de calcul d’OSM_2n, OSM_3n, OSM_4n et OSM_5n

Evaluations MF MM2 MM1 MM0 MG temps (s)

OSM 5-niveaux 2 2 2 10 1225 1849

OSM 4-niveaux 2 2 3 - 1230 1849

OSM 3-niveaux 2 4 - - 1452 2101

Chapitre 3 : Besoin de l’éco-conception en optimisation

104 Le tableau III.9 montre que l’OSM 4-niveaux est plus rapide en temps de calcul que l’OSM_3n. En effet, l’utilisation du modèle MM1 qui possède des caractéristiques (c.à.d. un temps de calcul et une précision) intermédiaires entre le modèle MM2 et MG a permis de réduire le nombre d’évaluations du modèle MM2 de 2 évaluations soit 255 secondes. Par contre, les trois évaluations du modèle MM1 coûtent 75 secondes, ce qui fait au total un gain global de 180 secondes. La bonne précision de la solution trouvée par OSM_4n est confirmée par le tableau III.10.

Tableau III.10 : Comparaison des temps de calcul d’OSM_2n, OSM_3n, OSM_4n et OSM_5n

†- (m) ℎ-/2 (m) J- (m) ,$ S⋎@ã²(T) Energy (MJ) [TEA-11] 3.08 0.2390 0.3940 0.08808 7.9138e-7 180.0277 OSM_2n 3.08 0.2405 0.3937 0.08910 7.9382e-7 180.1622 OSM_3n 3.08 0.2405 0.3937 0.08920 7.9530e-7 180.1572 OSM_4n 3.08 0.2405 0.3936 0.08960 7.9503e-7 180.2215 OSM_5n 3.08 0.2405 0.3936 0.08963 7.9501e-7 180.2535

Dans le tableau III.9, nous constatons qu’à partir du niveau 5, le temps de calcul ne décroit plus. En effet, le modèle MM0 a été évalué 10 fois pour économiser une évaluation du modèle MM1, ce qui fait un gain de 0.3 seconde. Ceci explique que les temps de calcul de l’OSM_5n et de l’OSM_4n soient identiques.

De ce qui précède, nous pouvons tirer que l’OSM_n-niveaux n’apporte plus de gain en temps de calcul à partir d’un certain niveau (4 pour le cas du SMES). Nous avons remarqué aussi que le grand gain en temps de calcul est apporté par l’OSM_3n par rapport à l’OSM classique et qui est plus simple à programmer.

OSM n-niveaux est un algorithme adapté d’OSM qui permet de réduire davantage le temps de calcul par rapport à la technique classique grâce à des modèles de différentes précisions du dispositif à optimiser. L’obtention de ces modèles est très facile car ils peuvent être déduits d’un seul modèle, en agissant simplement sur le nombre d’éléments utilisés dans le calcul (cas du SMES) ou la densité du maillage d’un MEF. Le nombre de modèles à utiliser ne doit pas dépasser 4 car le gain en temps de calcul n’est plus intéressant. L’OSM n-niveaux est plus intéressant à utiliser dans l’optimisation des dispositifs dont une seule évaluation du modèle fin peut prendre une heure. C’est le cas des composants d’une chaine de traction ferroviaire comme, par exemple, le transformateur de traction.

III.5. Conclusion

Les composants ferroviaires sont des composants particulièrement difficiles à modéliser parce qu’ils impliquent plusieurs disciplines en même temps (magnétique, thermique, électrique mécanique des fluides, etc.) qui interagissent entre elles. Ces interactions compliquent

Chapitre 3 : Besoin de l’éco-conception en optimisation

105 davantage le problème d’optimisation. Dans la littérature des formulations MDO peuvent être exploitées pour résoudre ce genre de problème. En effet, les tests faits sur le benchmark du transformateur monophasé ont montré que la formulation MDF+FP offre les avantages de la rapidité, de la simplicité et de la consistance du modèle en dehors du contexte de l’optimisation.

Les modèles éléments finis des composants d’une chaine de traction sont très lourds en temps de calcul vu le nombre de disciplines qu’ils impliquent et la taille des modèles. Dans ce chapitre, nous avons montrés, à travers le benchmark du transformateur, que l’optimisation directe avec des modèles éléments finis n’aboutit pas à des résultats intéressants à cause de la sensibilité de ces modèles au bruit numérique et aux difficultés de maillage. Ce chapitre confirme également que la technique du space-mapping est une alternative intéressante à l’optimisation directe.

OSM est une technique développée pour éviter les problèmes rencontrés dans l’optimisation directe et obtenir des résultats satisfaisants dans un temps réduit. Cependant, dans l’optimisation d’un composant ferroviaire le temps de calcul de cette variété du SM risque d’être important parce qu’un modèle complet d’un tel dispositif peut contenir plusieurs sous- modèles et qu’une seule évaluation de ce modèle est très lourde.

Dans ce chapitre, l’investigation de la formulation IDF dans OSM pour gérer les interactions entre les sous-modèles éléments finis a montré, à travers le benchmark du transformateur monophasé, un gain important dans le temps de calcul par rapport à la formulation MDF utilisée classiquement dans la littérature. Ce gain est réalisé parce qu’IDF permet de briser les interactions entre les différents sous-modèles et de les lancer sur différents calculateurs sans perte de précision sur l’optimum. Le gain en temps de calcul est réalisé car le temps d’évaluation du modèle complet est réduit au temps nécessaire pour évaluer le sous-modèle le plus lent.

Une adaptation a été aussi proposée pour réduire davantage le temps de calcul d’OSM. Elle consiste à introduire des modèles intermédiaires entre le modèle grossier et le modèle fin utilisés classiquement dans l’OSM. L’algorithme adapté appelé OSM_n-niveaux a été testé sur les benchmarks du transformateur monophasé et celui du système de stockage d’énergie magnétique (SMES). Les résultats montrent que l’OSM_n-niveau apporte un gain significatif dans le temps de calcul de l’OSM utilisé habituellement sans perte de précision sur la solution trouvée.

Chapitre 3 : Besoin de l’éco-conception en optimisation

Chapitre 4 : Optimisation de l’ensemble transformateur de traction et PMCF

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IV. Chapitre 4 : Optimisation