Application numérique dans le cas d’un réseau de distribution d’électricité françaisd’électricité français

3.7.1 Cas simulé

Rappel du cadre d’étude et des hypothèses principales

Comme cela a été motivé dans le Chapitre2, le cadre d’application qui a servi de test aux ou-tils proposés dans cette thèse est celui du réseau de distribution d’électricité. La situation étudiée correspond à un quartier électrique, alimenté par un transformateur moyenne tension / basse tension 20 kV/400 V, de puissance apparente 100 kVA et de puissance nomi-nale 90 kW. Une consommation pré-existante et non-flexible, qui contient en fait l’ensemble des usages traditionnels d’électricité des ménages90, a induit un dimensionnement donné du réseau local de distribution d’électricité (ici le transformateur, même si le cas des câbles mérite aussi une certaine attention [111]). Nous quantifions par simulation l’apport de l’algorithme proposé dans ce chapitre (Algorithme 3.1) pour coordonner la consommation additionnelle flexible des véhicules électriques.

20kV / 400V

Source (images) :VEhttps://gogreen.umaryland.edu/

Maisonhttp://fidelityelectric.com/

Figure 3.3 – Cadre d’étude des simulations : un réseau de distribution d’électricité, derrière un transformateur moyenne tension / basse tension. À cette échelle, la consommation contient deux composantes : 1. lesusages électriques "traditionnels" des ménages, dont la séquence totale à l’échelle du quartier est notée ℓ₀= (ℓ_0,t)_{t ∈ T} et estnon-flexible ; 2. la consommation des véhicules électriques est notée ^P_{i ∈ I}ℓ_i,t

t ∈ T et est flexible. Elle va être coordonnée en appliquant l’Algorithme 3.1. Les métriques physiques considérées sont le vieillissement du transformateur (avec mémoire) et les pertes Joule (sans mémoire).

Les deux métriques considérées seront les pertes Joule et le vieillissement des transformateurs. Ce dernier est directement lié à l’évolution de la température de son point chaud (point le plus chaud du transformateur, situé dans le bobinage). La modélisation de ces deux métriques est présentée en Annexe C. Sauf quand cela sera précisé explicitement, les si-mulations sont réalisées pour l’année 2012 complète et avec un pas de temps de 30

90. La décomposition usage par usage n’étant pas ici nécessaire, nous n’utiliserons pas des données différenciées comme cela peut être le cas dans [285].

min91. Pendant la journée, la consommation non-flexible hors véhicules électriques des ménages s’"imposera" au transformateur. Pendant la nuit — de 17 h à 8 h le lendemain matin — la charge additionnelle des véhicules électriques sera coordonnée en utilisant l’Algorithme3.1. Avec la définition de la période nocturne, nous avons T = {1, · · · , T = 30} dans le modèle décrit précédemment, qui correspond donc à une nuit.

Pour faire le lien avec les propriétés théoriques de l’algorithme proposé, rappelons que : • les véhicules électriques chargent ici selon un profil rectangulaire, c’est-à-dire à puissance

constante Pi = P et sans interruption (voir Figure 3.1) ;

• la consommation totale du quartier comprend deux composantes, l’une non-flexible — hors véhicules électriques — ℓ₀, l’autre flexible (ensemble de I véhicules électriques I = {1, · · · , I} dont ˜nt sont en charge au temps t) ce qui donne la consommation électrique totale à l’instant t

ℓ_t= ℓ_0,t+ P × ˜nt , (3.60)

quantité prépondérante pour quantifier l’impact sur le réseau de distribution ;

• le modèle exprimant les pertes Joule en fonction de la consommation électrique totale du quartier est un modèle sans mémoire donné par (3.4). Il est quadratique en la consommation totale du quartier ;

• le modèle du vieillissement du transformateur est un modèle qui nécessite, généralement, de prendre en compte le passé de la consommation électrique, donc avec mémoire (3.3). Le modèle retenu ici est le modèle ANSI/IEEE Clause 7 linéarisé (décrit dans [253] et en AnnexeC.1) et les paramètres utilisés sont précisés en annexe. La description des équations permettant d’obtenir le vieillissement et le temps de vie du transformateur en fonction de l’évolution de la température de son point chaud sont aussi donnés en AnnexeC.1. Le scénario principal de simulation est maintenant décrit. Des choix particuliers seront ensuite signalés pour les figures correspondantes.

Consommation hors véhicules électriques

Le profil de consommation hors véhicules électriques ℓ₀ est modélisé à partir des données de profilage92 des consommateurs du type "RES1P1" du gestionnaire français du réseau de distribution ERDF, ℓERDF

0 . Ces données sont disponibles à [86]. Elles donnent une idée de la consommation demi-horaire d’un client "moyen", ici dans le cas résidentiel. Cette consommation moyenne est aussi établie pour des conditions extérieures moyennes données. Nous ferons ici l’hy-pothèse que ces conditions moyennes sont valables dans nos simulations. Au vu de la sensibilité de la consommation résidentielle à ces conditions extérieures, notamment en ce qui concerne la température extérieure (de l’ordre de 2 400 MW/˚C en hiver d’après [248]), il pourrait être intéressant d’intégrer ces sensibilités à la modélisation pour préciser les résultats. Un deuxième point essentiel concernant ces données est qu’elles doivent être normalisées pour correspondre à l’échelle étudiée. Dans notre cas, l’hypothèse retenue est une normalisation multiplicative

ℓ₀= γ× ℓ^ERDF0 . (3.61)

91. Imposé par les données ERDF de consommation hors véhicules électriques, décrites plus loin.

92. Il s’agit de données qui servent à reconstituer les flux sur les réseaux français à partir des consommations totales relevées chez les clients particuliers. Elles ont été définies à partir des historiques de consommation jusqu’en 2012. Voirhttp://www.erdf.fr/sites/default/files/documentation/ERDF-NOI-CPT_52E.pdf.

La pondération γ est fixée de telle sorte que le temps de vie du transformateur considéré est de quarante ans — sa valeur standard en Europe93 [145] — avant l’insertion de la charge des véhicules électriques. Ainsi, ces simulations se placent résolument dans un contexte où les équipements électriques du quartier n’ont pas été dimensionnés en prenant en compte cette consommation électrique additionnelle94. Une extension de ce travail serait de réfléchir aux décisions couplées de dimensionnement puis de gestion en temps réel des consommations flexibles. Concernant les données de température ambiante utilisées, très importantes en ce qui concerne la modélisation de l’évolution de la température du transformateur (voir AnnexeC.1), elles sont disponibles à [206].

Paramètres des véhicules électriques

La puissance (constante) de charge des véhicules électriques est P_i = P = 3 kW, ce qui est standard dans le cas résidentiel [146]. En ce qui concerne les données de mobilité des véhicules électriques, deux scénarios ont été considérés :

• le Scénario (s) est un scénario symétrique dans lequel tous les véhicules électriques ont besoin de C_i = C = 16 créneaux de 30 minutes pour recharger (pleinement) leur batterie de 24 kWh et ai = a = 1 (17 h), di = d = 30 (8 h le lendemain). Celui-ci peut être vu comme un pire cas où chaque jour les véhicules électriques souhaitent charger leur batterie à plein. Son analyse fait sens dans le cas d’un dimensionnement au pire cas ;

• le Scénario (t) reprend des données de mobilité françaises de l’Enquête Nationale Trans-ports et Déplacements 2008 (ENTD 2008) [205]. Les paramètres de mobilité sont déduits à partir des statistiques qui y figurent. a_i, d_i, et C_i sont alors les entiers les plus proches de réalisations de lois gaussiennes

˜

a_i ∼ N (4, 1.5), ˜d_i ∼ N (29, 0.75) et eC_i∼ N (5.99, 1.14) . (3.62)

Dans ce cas, un tirage de ces trois variables est fait chaque jour et pour chaque véhicule. Les tirages de ces trois variables sont indépendants, ainsi que d’un jour sur l’autre et entre véhi-cules95

. Le scénario statistique fournit des résultats au plus proche des habitudes de mobilité actuelle. Le scénario symétrique donne le chiffrage qui pourrait être retenu dans le cas d’un di-mensionnement au pire cas. Il présente aussi l’avantage de ne pas nécessiter un grand nombre de tirages aléatoires pour "lisser" les résultats. Comme les deux scénarios de mobilité seront beaucoup utilisés, le choix sera toujours précisé dans les légendes.

Enfin, en ce qui concerne les fonctions d’utilité des véhicules électriques, la partie personnelle est pour l’instant laissée de côté dans (3.12) : gVE

i = 0. Ceci isole l’impact sur le réseau de distribution, partie inédite dans la fonction d’utilité des consommateurs particuliers. Par défaut, la période de facturation est personnelle :

∀ i ∈ I, Wi(s_i) =W^Ci

i (s_i) ={si,· · · , sI + C_i− 1} , (3.63)

93. Des standards similaires existent aux États-Unis [144].

94. D’autres méthodes sont aussi proposées dans la littérature pour normaliser les données de consommation à l’échelle d’un foyer ou d’un quartier : en fonction de la consommation énergétique annuelle des ménages [111], de la consommation maximale des ménages (prises à 4 kVA par foyer texan dans [284]), etc.

95. Dans les simulations réalisées, il ne sera pas nécessaire d’"identifier" les véhicules car l’ensemble des résultats présentés seront agrégés. Si l’on souhaitait particulariser les résultats pour un véhicule donné, il serait alors nécessaire d’introduire des corrélations sur les tirages des données de mobilité d’un jour sur l’autre.

et la fonction de conversion monétaire est fixée à l’identité ∀ i ∈ I, hi = Id. Ceci permet une comparaison directe entre les utilités des véhicules électriques. De plus, il n’y avait ici a priori aucune raison de fixer une conversion monétaire différenciée entre les usagers.

Scénarios de référence

La performance de l’Algorithme 3.1 sera comparée à celle de scénarios classiques dans la littérature :

• le scénario appelé ici Brancher-et-Charger dans lequel les véhicules électriques commencent à charger dès qu’ils se branchent à la maison, selon les données statistiques [205]. Ce scénario est souvent retenu [212, 293]96 comme un pire cas, en l’absence de toute coordination de la charge97;

• la méthode décentralisée de Gan et al [109], appelée ici Gan et al. selon le nom de son auteur principal. Dans cette méthode itérative, les véhicules électriques minimisent (en parallèle) un coût qui contient deux termes : le premier est un coût de charge qui prend la forme d’un problème de "valley-filling" avec le Modèle3de charge ; le second a pour rôle de stabiliser la dynamique parallèle de mise à jour des stratégies de consommation. Il mesure la déviation de stratégie de chaque véhicule électrique entre deux itérations (voir (3.16)). En l’absence du second, ou après convergence quand son importance devient négligeable, la solution obtenue a une structure de "valley-filling" généralisé98

(voir (E.14) en annexe). Le poids mis sur le second terme doit être calibré précisément, comme cela a été expliqué dans la Partie3.5. Dans nos simulations, il sera fixé de manière optimale à 0.5, comme cela est d’ailleurs suggéré dans [109] ;

• la méthode proposée par Shinwari et al [279], appelée ici Shinwari et al. Dérivant de l’idée du "valley-filling", elle propose d’allouer une proportion de l’énergie nécessaire entre les créneaux temporels selon les pondérations

δ_t P

t ∈ T δt

avec δ_t=−ℓ0,t+ max

t ∈ T ℓ_0,t , (3.64)

puis le reste de manière uniforme.

Remarque 3.27 (Sur la comparaison aux scénarios de référence). Les scénarios Gan et al. et Shinwari et al. n’ont pas l’hypothèse de profil de charge rectangulaire du Modèle 1. Il n’est pas direct de savoir ce que donnerait l’application de ces méthodes en introduisant cette hypothèse. Dans le cadre de contrôle locaux, et contrairement au cas d’une optimisation centralisée, le fait de restreindre l’ensemble des actions possibles — ici de considérer le Modèle 1 au lieu du Modèle 3

—, n’induit pas forcément une diminution des performances. Ceci est illustré par le paradoxe de Braess [45]. Vouloir faire une comparaison dans la classe des profils rectangulaires peut se faire en effectuant une "conversion" des décisions de charge obtenues après application99 des

96. Dans [212] il est utilisé pour d’autres usages électriques, leur consommation commençant au premier instant d’une période ouverte à la consommation (l’équivalent de la période {ai, · · · , di} ici).

97. Il peut être vu aussi comme un scénario où le début de certaines consommations est déclenché aléatoirement (comme les signaux heures creuses décalés par "quartier" en France et sur lesquels sont indexés les chauffe-eaux). 98. Elle tient compte en effet d’une puissance maximale de consommation qui n’est pas présente dans le problème standard de "valley-filling".

99. Les propriétés de ces méthodes reposent en effet sur le type de profils de charge considéré. Considérer des profils rectangulaires en entrée de ces méthodes leur ferait perdre une grande partie de leurs propriétés.

méthodes de Gan et al. et Shinwari et al. Le choix du profil rectangulaire le plus proche en termes de distance euclidienne est une alternative possible. Ici, nous gardons les méthodes originelles de ces contributions ; elles représenteront en particulier la classe des stratégies de type valley-filling et permettront de comparer les performances obtenues avec les deux types de modèles de charge (Modèles 1 et 3).

"Robustesse" des décisions aux erreurs de prévision

Dans une optique applicative, un point essentiel est de mesurer la sensibilité des décisions aux erreurs faites sur les paramètres des modèles avec lesquels ces choix sont effectués. Nous dirons qu’une méthode est robuste si les pertes engendrées par des erreurs faites sur les paramètres des modèles sont faibles. Ici, ceci sera illustré par l’erreur faite sur la prévision de la consommation100 hors véhicules électriques ℓ₀. L’incertitude de prévision des consommations est en effet inhérente dans les problématiques de gestion des systèmes électriques [128] et ce, d’autant plus que l’on se place à une échelle fine ; on ne peut plus dès lors bénéficier d’un effet de foisonnement [270, Figure 1]. Pour modéliser cette erreur de prévision, nous supposons ici que le profil de consommation estimé est bℓ₀, une version bruitée du profil réalisé ℓ₀

∀ t ∈ T , bℓ_0,t= ℓ_0,t+ bz où bz∼ N (0, σ²jour) . (3.65)

Pour mesurer les capacités de prévision, nous définissons ici le Rapport Signal sur Bruit [273,328]101 de Prévision (RSBP) RSBP = 10 log₁₀   ¹ σ2 jour × ¹ T_jour TXjour t=1 ℓ²_0,t   . (3.66)

Celui-ci est mesuré en décibels (dB). Ayant choisi un pas de temps d’une demi-heure, T_jour = 48. Avec la définition (3.66), les erreurs faites diffèrent donc d’un jour sur l’autre102. Plus il est important, plus les prévisions réalisées sont de bonne qualité (le signal a une amplitude beaucoup plus importante que le bruit). Ceci est illustré sur la Figure 3.4.

Pour tester la robustesse des procédures de coordination de la charge, la méthode est la suivante :

(i) effectuer un tirage aléatoire de la prévision effectuée bℓ₀ à partir des données de consomma-tions réalisées ℓ₀ selon (3.65)-(3.66) ;

(ii) appliquer les procédures analysées avec pour donnée d’entrée la prévision de la consomma-tion hors véhicules électriques bℓ₀. Ceci donne un profil de décisions de charge s ;

(iii) appliquer ce profil de charge à la consommation réalisée ℓ₀ pour mesurer les performances sur le profil effectif.

Remarque 3.28 (Sur le modèle de bruit (3.65)-(3.66)). Le modèle d’erreur de prévision (3.65)-(3.66) est simpliste puisque le bruit introduit est un bruit blanc gaussien. La corrélation

100. Il y a fort à parier que les conclusions qui seront faites ici pourraient s’étendre aussi aux erreurs faites sur d’autres paramètres, comme la prévision des consommations intermittentes par exemple [88].

101. Voirhttp://www.scholarpedia.org/article/Signal-to-noise_ratiopour quelques détails. 102. Pour un jour donné, plus la moyenne quadratique 1/Tjour^P

T_jour t=1 ℓ2

0,t est importante, plus les erreurs sont importantes.

17h 19h 21h 23h 1h 3h 5h 7h 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 Temps − 29/02/2012 Consommation hors véhicules électriques (kW) Prévision parfaite (RSBP →∞) RSBP = 4 dB RSBP = 15 dB

Figure 3.4 – Illustration du modèle d’erreur de prévision de la consommation hors véhicules électriques. Plus le rapport signal sur bruit de prévision (RSBP) est grand, moins les erreurs (de prévision) sont importantes (et plus les procédures de gestion de la charge vont être performantes).

entre les erreurs faites sur des créneaux successifs n’est pas prise en compte. Néanmoins, il permettra de mettre clairement en avant la robustesse de l’algorithme proposé comparativement aux autres méthodes décrites ci-dessus. Ce message devrait être transposé avec des modèles plus complexes. Ce modèle est d’ailleurs souvent repris (voir [293, Partie II.C] par exemple) dans le cadre de la prévision de la consommation non flexible, mais aussi pour d’autres types d’erreur. C’est le cas pour les erreurs sur la production éolienne par exemple [333,40]103.

Paramètres de fonctionnement de l’algorithme

Pour conclure la présentation du cadre de simulation, fixons la "machinerie" de l’Algo-rithme 3.1. Le point initial de l’algorithme sera toujours

∀ i ∈ I, s⁽⁰⁾i = a_i . (3.67)

Le premier choix d’un véhicule électrique est de commencer à charger dès qu’il se branche. Le critère d’arrêt est défini par δ = 0 qui mesure la tolérance de la variation des décisions entre deux itérations. Si rien de contraire n’est précisé, le nombre maximum d’itérations est M = 200. Lorsque l’algorithme arrive à m = M et le critère de variation des décisions n’est pas satisfait (ks(m)− s^(m−1)k > δ), le profil courant de stratégies de charge à ce moment, s^{(M )}, est retenu et considéré comme le point terminal de la procédure. C’est celui qui sert notamment à mesurer les performances de notre algorithme.

Remarque 3.29 (Sur le critère de convergence de l’Algorithme 3.1). δ = 0 veut dire que plus aucun véhicule électrique ne peut faire le moindre gain au moment où l’algorithme

103. Dans la deuxième contribution, le modèle contient en fait les erreurs "cumulées" de la prévision de la consommation et de la production éolienne.

a convergé. Ceci est très exigeant mais fait sens dans le cadre d’ensembles de stratégies finis (Si = {ai,· · · , di − Ci + 1}). Dans le cas d’ensembles continus104, le critère prend souvent la forme

∀ i ∈ I, s^(m)i − s^(m−1)_i ≤ ǫs ou ∀ i ∈ I, ui(s^(m))− ui(s^(m−1))

≤ ǫu . (3.68)

Dans [109], le critère est par exemple une variation des prix d’électricité (fonction de la consom-mation totale sur chaque créneau) inférieure à ǫ_p= 10⁻³ entre deux itérations.

Enfin, concernant l’ordre de mise à jour des décisions dans la Boucle interne, nous classons les véhicules électriques par ordre croissant de début de charge à l’itération m − 1. Cet ordre est donc variable d’une itération à l’autre de la Boucle externe105.

3.7.2 Illustration du fonctionnement de l’algorithme

Ce premier paragraphe donne une illustration détaillée des différentes étapes de la démarche de simulation entreprise ici. Cette séquence d’étapes sera ensuite reprise pour obtenir les résultats agrégés donnés dans les paragraphes suivants.

Dynamique de l’algorithme

Pour introduire les résultats de simulation, commençons par observer le fonctionnement de l’algorithme proposé pour un jour donné, le 1er janvier 2012. Le choix de ce jour est arbitraire. Celui-ci va seulement illustrer le fonctionnement de l’Algorithme3.1: pourquoi ne pas commen-cer avec le premier jour de l’année ? Tout d’abord, la propriété de potentiel (Proposition 3.7) est expliquée. La Figure 3.5 donne les variations des coûts de charge (l’opposé des fonctions d’utilité, −ui) des véhicules électriques et celle de l’opposé du potentiel (−Φ(b)) au cours de la Procédure 3.2. Seules les pertes Joule sont considérées ici (α = 0 dans (3.6)). La condition (b) de la Proposition3.7est alors vérifiée — la métrique physique est sans mémoire — et la conver-gence assurée par la Proposition 3.12. En accord avec ce résultat, la courbe de l’opposé du potentiel décroît au cours des itérations, ce qui illustre son rôle en tant que fonction de Lyapunov dans la procédure implémentée. En revanche, il est aussi possible d’observer que les utilités des véhicules électriques ne sont quant à elles pas décroissantes tout au long de la dynamique.

L’histoire de la dynamique opérée le 1er janvier 2012 peut se lire sur cette figure :

(i) le premier à pouvoir mettre à jour sa décision, le véhicule électrique 1, va faire baisser significativement son coût (itération 1) ;

(ii) à sont tour, le véhicule électrique 2 va obtenir un gain significatif en mettant à jour son choix de charge (itération 2) ;

(iii) ensuite, des itérations 3 à 9, les deux premiers véhicules ont leur décision de charge fixée et "subissent" les choix des autres ; leurs coûts remontent légèrement. Ceci correspond en fait au remplissage progressif du creux nocturne par la charge des véhicules électriques. De son côté, le véhicule 10 profite des reports de charge vers la période nocturne, étant pour l’instant en train de charger en t = 1 ;

104. Ici, cela serait [ai, di− Ci].

0 5 10 15 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Itérations (Boucle externe * Boucle interne) de l’Algorithme 3.1

Coûts de charge des VE / Valeur du potentiel

(normalisé) VE1 VE2 VE10 Opposé du potentiel ordinal I = 10, a i = a = 1, (d i ) = (30,30,...,30,24), α = 0

Figure3.5 – Dynamique de la procédure proposée (Procédure 3.2) le 1er janvier 2012. a_i= a = 1, d = (30,· · · , 30, 24) et Ci = C = 16 (charge complète). 1. Pour I = 10 véhicules électriques, seulement 10 itérations (Boucle externe*Boucle interne) sont nécessaires pour converger, soit une mise à jour par véhicule : la convergence est très rapide ; 2. Le potentiel est une fonction de Lyapunov pour cette procédure.

(iv) à l’itération 10, le véhicule 10 effectue un gain important en effectuant sa mise à jour ; (v) après une mise à jour par véhicule, la procédure a convergé vers le point d’équilibre n∗

n^∗₉ = 1, n^∗₁₂= 1, n^∗₁₃= 4, n^∗₁₄= 3, n^∗₁₅= 1, et∀t ∈ T r{9, 12, 13, 14, 15} , n^∗t = 0 . (3.69) En dehors du véhicule 10 qui ne peut reporter son début de charge après t = 9 du fait d’un départ précoce (d₁₀ = 24), les débuts de charge sont positionnés entre 22h30 et 00h. Les décisions de charge peuvent alors être effectivement lancées.

Au passage, cet exemple permet aussi de mesurer que la convergence intervient très rapi-dement. Ce comportement est typique des méthodes reposant sur la dynamique de meilleure réponse, lorsqu’elles convergent [168].

Quand l’Algorithme3.1est terminé, la configuration de charge obtenue peut être analysée.

Configuration de charge obtenue

Observons donc la configuration de charge des véhicules électriques obtenue le 1er janvier 2012 en appliquant l’Algorithme 3.1 (avec le même jeu de paramètres que pour la Figure 3.5). La Figure 3.6montre que la stratégie Brancher-et-Charger induit une surcharge significative du

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