Application et r´ esultats

De mani`ere `a prouver la stabilit´e du F-16 en boucle ferm´ee sur l’ensemble de l’enveloppe de vol, ∆ est non seulement constitu´e des param`etres incertains, mais ´egalement des param`etres de s´equencement que sont le nombre de Mach et l’altitude de vol :

∆ = diag (∆seq, ∆masse, ∆aero) , (8.7)

avec :        ∆seq = diag (∆MIM, ∆hIh) ∆masse= diag ∆mIm, ∆∆xI∆x, ∆IyIIy

∆aero = diag ∆ZαIZα, ∆ZqIZq, ∆ZδeIZδe, ∆MαIMα, ∆MqIMq, ∆MδeIMδe

o`u ∆M et ∆h sont les variables de s´equencement normalis´ees, ∆mIm,...,∆Mδe sont les pa-

ram`etres incertains normalis´es et IM,...,IMδe sont des matrices identit´e dont les dimensions

correspondent aux nombres d’occurrences des diff´erents param`etres. Le syst`eme en boucle ferm´ee prend alors la forme de la Figure 8.4 o`u W est un filtre de pond´eration de l’erreur de suivi. LFT Avion LFT Contrôleur LFT Référence Δseq Δseq Δaero Δmasse Δseq W w=Nzc δec Nz q Nz,ref + e z -

8.1.2.1 Obtention des mod`eles LFT

Table des points d’équilibre pour les domaines discrétisés Domaine de vol et domaine

incertain discrétisés

Modélisation polynomiale des points d’équilibre

Représentation d’état incertaine exprimée comme fonction polynomiale des variables de séquencement et paramètres incertains

Modèle LFT Choix du domaine de

l’enveloppe de vol étudié D=[M1,M2]x[h1,h2]

Choix des pas de discrétisation du domaine de vol et du domaine incertain

Calcul des points d’équilibre pour les domaine discrétisés

Choix de l’ordre des polynômes et modélisation des points d’équilibre via une méthode des moindres carrés

Définition des variables de séquencement et variables incertaines comme paramètres incertains via la fonction Matlab ureal Passage en argument de la

fonction Matlab lftdata Injection des points d’équilibre

dans la représentation d’état Remplacement des fonctions exponentielles et trigonométriques par leur développement limité

Figure 8.5 Proc´edure d’obtention du mod`ele LFT pour la µ-analyse

La premi`ere ´etape consiste `a mettre le syst`eme sous la forme d’une LFT sup´erieure telle que montr´ee `a la Figure 8.1 avec un bloc ∆ normalis´e (8.7). La proc´edure utilis´ee est illustr´ee `

a la Figure 8.5 et est d´ecrite plus en d´etails ci-dessous.

1. Choix du sous-domaine de l’enveloppe de vol D = [M1, M2] × [h1, h2] pour lequel on

souhaite obtenir une mod´elisation sous forme LFT.

2. Discr´etisation du domaine de vol D et du domaine incertain constitu´e des param`etres de masse et de centrage (5.10).

3. Calcul des points d’´equilibre associ´es aux deux domaines discr´etis´es.

4. `A partir des points d’´equilibre ainsi obtenus, mise en place d’une mod´elisation des points d’´equilibre sous la forme de fonctions polynomiales des variables de s´equencement et des

param`etres incertains. Ceci est r´ealis´e via une technique de minimisation des moindres carr´es `a travers la fonction MATLAB lsqnonlin.

5. D´efinition des variables de s´equencement et param`etres incertains dans MATLAB via la fonction ureal. Celle-ci permet de d´efinir les diff´erentes variables `a analyser durant la µ-analyse et qui constituent le bloc incertain ∆. On sp´ecifie ainsi le nom de la variable incertaine, sa valeur nominale et ses variations.

6. Les points d’´equilibre mod´elis´es sous forme polynomiale sont alors exprim´es en fonction des variables incertaines d´ecrites au point pr´ec´edent et sont inject´es dans la repr´esen- tation d’´etat du syst`eme en boucle ferm´ee. De mani`ere `a obtenir une repr´esentation d’´etat incertaine dont la d´ependance vis-`a-vis des param`etres incertains est polyno- miale, les fonctions trigonom´etriques, ainsi que les fonctions exponentielles intervenant dans le mod`ele de l’atmosph`ere, ont ´et´e remplac´ees par leur d´eveloppement limit´e. Les erreurs introduites par ces approximations ont ´et´e minimis´ees en choisissant ad´equate- ment l’ordre des d´eveloppements limit´es et ont ´et´e prises en compte dans la µ-analyse de par l’amplitude des incertitudes portant sur les coefficients a´erodynamiques.

7. Finalement, le mod`ele d’´etat incertain est pass´e en argument de la fonction MATLAB lftdata qui normalise les incertitudes et renvoie en sortie le mod`ele M (s) et la structure de ∆ de l’interconnexion M -∆. On obtient ainsi un mod`ele LFT du syst`eme valable sur le sous-domaine D de l’enveloppe de vol.

Notons que de mani`ere `a obtenir des LFT d’ordres r´eduites, des algorithmes de simplification alg´ebrique (Hecker et al. (2005); Hecker et Varga (2006)) ont ´et´e utilis´es `a travers l’activation de l’option full en argument de la fonction ureal.

La proc´edure d´ecrite pr´ec´edemment peut permettre d’obtenir un mod`ele M (s) valable sur l’ensemble de l’enveloppe de vol. Une telle approche conduit n´eanmoins `a devoir consid´erer des polynˆomes mod´elisant les points d’´equilibre de l’avion dont le degr´e est ´elev´e. Cela a pour cons´equence d’accroˆıtre la dimension du bloc ∆ et donc la complexit´e du probl`eme. De mani`ere `a ´eviter l’explosion des temps de calcul lors de la µ-analyse, on pr´ef´erera donc subdiviser l’enveloppe de vol en une multitude de petites r´egions sur lesquelles des polynˆomes d’ordre r´eduit (ordre 1 ou 2) permettront de mod´eliser convenablement les points d’´equilibre. Pour l’´evaluation de la stabilit´e et des performances modales robustes, la repr´esentation d’´etat (5.18) a ´et´e utilis´ee. Les complexit´es des mod`eles LFT ainsi obtenus sont donn´ees dans le Tableau 8.2. On y donne en fonction du degr´e des polynˆomes utilis´es pour mod´eliser les points d’´equilibre le nombre d’occurrences des diff´erents param`etres constituant ∆. Globalement, les domaines de vol `a basses vitesses (zone 1 sur la Fig. 8.6) ont n´ecessit´e le recours `a des polynˆomes de degr´e 2 pour mod´eliser δe,e et des polynˆomes de degr´e 1 pour mod´eliser αe.

`

A l’inverse, les domaines de vol `a hautes vitesses et basses altitudes (zone 2) ont n´ecessit´e respectivement des polynˆomes de degr´e 1 et de degr´e 2. Les domaines de vol restant (zone 3) ont n´ecessit´e quant `a eux des polynˆomes de degr´e 1.

Tableau 8.2 Complexit´es des mod`eles LFT pour l’analyse de stabilit´e robuste αeq δe,eq ∆M ∆h ∆m ∆∆x ∆Iy ∆Zα ∆Zq ∆Zδe ∆Mα ∆Mq ∆Mδe

1 1 105 162 72 82 32 3 3 3 9 7 4 1 2 157 206 111 126 33 3 3 3 9 7 5 2 1 258 300 188 224 33 3 3 3 9 3 9 0.4 0.6 0.8 1 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 Mach number Altitude (m)

3

1

3 2

3

Figure 8.6 D´ecoupage de l’enveloppe de vol en 3 parties `a des fins de mod´elisation des points d’´equilibre

8.1.2.2 Stabilit´e robuste

L’´etude de stabilit´e robuste a ´et´e men´ee en subdivisant l’enveloppe de vol en 39 sous- domaines. Pour chacun de ces sous-domaines, une µ-analyse a ´et´e r´ealis´ee et les courbes cor- respondantes sont trac´ees `a la Figure 8.7. La valeur maximale de µ est strictement inf´erieure `

a 0.51 et est limitant pour les vols `a basses vitesses. Le syst`eme est donc stable sur l’ensemble de l’enveloppe de vol pour toutes les configurations incertaines v´erifiant ||∆||_∞≤ 1.96. Cela assure que l’avion est stable pour des variations :

– de la masse de ±1960 kg ; – du centrage de ±8.52% ;

– du moment d’inertie Iy de ±19.6% ;

10−2 10−1 100 101 102 103 0 0.1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Frequency (rad/s) µ

upper bound (abs)

Figure 8.7 µ-analyse : r´esultat pour la stabilit´e robuste sur l’ensemble de l’enveloppe de vol

Il est `a noter que les r´esultats obtenus sont conservateurs, r´esultant de l’inclusion des va- riables de s´equencement dans le bloc d’incertitudes ∆. En effet, pour chaque sous-domaine de l’enveloppe de vol test´e, rien n’indique que la plus petite perturbation d´estabilisant le syst`eme se situe ou non dans ce sous-domaine, `a l’ext´erieur duquel la mod´elisation des points d’´equilibre n’est plus valide. De plus, les marges de stabilit´e limitantes ont ´et´e obtenues pour les basses vitesses de l’enveloppe de vol. De ce fait, rien n’assure que la plus petite perturba- tion ∆ d´etect´ee par la µ-analyse venant d´estabiliser le syst`eme n’est pas telle que la condition de vol se situe `a l’ext´erieur de l’enveloppe de vol.

8.1.2.3 Performances modales robustes

L’´etude de la robustesse des performances modales a ´et´e mise en œuvre pour α = 0.5 et ξ = 0.3. `A cette fin, l’enveloppe de vol a une nouvelle fois ´et´e subdivis´ee en 39 sous-domaines. Pour chacun d’entre eux, une µ-analyse a ´et´e r´ealis´ee et les courbes correspondantes sont trac´ees `a la Figure 8.8. La valeur maximale de µ est strictement inf´erieure `a 0.87 et est `a nouveau limitante pour les vols `a basses vitesses. Ce r´esultat garantit que mˆeme pour les configurations incertaines les plus d´efavorables, l’amortissement des pˆoles demeure sup´erieur `

a 0.3 et les constantes de temps inf´erieures `a 2.0 s sur l’ensemble de l’enveloppe de vol.

Une seconde µ-analyse a ´et´e mise en œuvre pour α = 1 et ξ = 0.4. L’analyse est positive pour la partie inf´erieure de l’enveloppe de vol d´ecrite `a la Figure 8.9(a). Les r´esultats associ´es `a cette zone sont trac´es `a la Figure 8.9(b). Ce r´esultat garantit donc que sur la moiti´e inf´erieure

droite de l’enveloppe de vol, mˆeme pour les configurations incertaines les plus d´efavorables, l’amortissement des pˆoles demeure sup´erieur `a 0.4 et les constantes de temps inf´erieures `a 1.0 s. L’analyse des r´esultats a montr´e que l’amortissement de 0.4 est garanti sur l’ensemble de l’enveloppe de vol `a l’exception des vols aux dessus de 9000 m et pour des vitesses sup´erieures `a 0.8 M. Le facteur limitant dans les performances de la partie sup´erieure gauche de l’enveloppe de vol est donc la constante de temps des pˆoles dominants.

10−2 10−1 100 101 102 103 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Frequency (rad/s) µ

upper bound (abs)

Figure 8.8 µ-analyse : r´esultat pour la stabilit´e robuste des performances modales pour α = 0.5 et ξ = 0.3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 Mach number Altitude (m) α≥1 ξ≥0.4

(a) Domaine de l’enveloppe de vol pour laquelle l’analyse est positive

10−2 10−1 100 101 102 103 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Frequency (rad/s) µ

upper bound (abs)

(b) R´esultat des µ-analyses

Figure 8.9 µ-analyse : r´esultat pour la stabilit´e robuste des performances modales pour α = 1 et ξ = 0.4

8.1.2.4 Poursuite robuste

On cherche `a ´evaluer les performances en poursuite du syst`eme en boucle ferm´ee, en d´epit des incertitudes portant sur les param`etres de masse et les coefficients a´erodynamiques. Le crit`ere de la phase de synth`ese (7.3) est ici repris en normalisant le filtre passe-bas W = W1/15, de telle sorte que son gain pour les basses et moyennes fr´equences soit proche de 1.

On cherche alors `a trouver la plus petite constante 1/ρ telle que sur l’ensemble de l’enveloppe de vol et pour toutes les incertitudes admissibles :

||W (Gref − Tn)||∞≤1/ρ.

L’enveloppe de vol est une nouvelle fois d´ecompos´ee en 39 sous-domaines sur chacun des- quels une µ-analyse a ´et´e r´ealis´ee pour 1/ρ = 0.45. Les r´esultats obtenus sont donn´es `a la Figure 8.10. Ces derniers indiquent qu’en d´epit des incertitudes portant sur les param`etres de masse et coefficients a´erodynamiques, le contrˆoleur assure une performance en poursuite dont le gain est inf´erieur `a 0.45.

10−2 10−1 100 101 102 103 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Frequency (rad/s) µ

upper bound (abs)

Figure 8.10 µ-analyse : r´esultat de la performance en poursuite pour 1/ρ = 0.45