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Com a discussão ocorrida a partir do item anterior é possível ao docente abordar, matematicamente e computacionalmente, temas mais complexos como: Fatoração por Fermat, Método de Fermat, Teste de Lucas-Lehmer, Método de Euler e um sistema pseudo-RSA (ou seja, um RSA simplificado), sendo este último apenas de cunho ilustrativo e motivador, pois é interessante o professor usá-lo como meio de motivação para os alunos com uma situação problema como: “Dados alguns critérios, quem consegue números primos para proteger uma mensagem secreta?”.

Com a questão ou algo similar, apresentar o mecanismo de segurança (RSA), histórico, embasamento matemático para sua validação e questionar como descobrir se um número é primo ou composto e/ou ainda solicitar para criarem suas mensagens “secretas” e suas respectivas chaves públicas38 para que o professor examine o tempo gasto e a mensagem secreta dos alunos a partir de primos computados por eles, sendo assim o professor precisará ter seu próprio algoritmo para fatoração e que tenha um bom desempenho.

Para que as atividades não se estendam por longos períodos de tempo, pode ser imposto aos alunos um tempo para que descubram dois primos que comporão a chave pública e este primo será melhor ou pior dependendo do algoritmo que os alunos irão utilizar e aí cabe apresentar os algoritmos dos testes de primalidade, pois poderá ser mostrado que cada teste tem sua eficiência e sua base matemática e a sociedade científica busca mecanismos cada vez melhores de encontrar primos que podem ser utilizados na segurança RSA entre outros métodos.

Assim, será apresentado o mecanismo para fatoração de um dado natural e ímpar, caso não seja, basta dividir por 2 até que a razão seja um número ímpar, este algoritmo denominado Fatoração por Fermat é muito eficiente quando tem seus fatores próximos e evidentemente mais eficiente que o algoritmo de fatoração apresentado na primeira parte para definir se um número é par ou ímpar. Isso compõe o estudo desta sequência, a evolução da Matemática e seus refinamentos em busca de métodos melhores para resolução de um dado problema.

Com a estrutura do algoritmo apresentada anteriormente, uma das possibilidades de implementar o algoritmo é proposto na Figura 43, cuja saída é a Figura 44.

Figura 44: Python - resultado da fatoração por Fermat de 4294967297.

Os comentários presentes no código se devem ao fato de que se o número de entrada não for muito grande, ou seja, não acarretar em erro devido ao tamanho de sua conversão em

float, pode ser usado o comando nativo para encontrar a parte inteira da raiz quadrada de um

número que resulta em melhor eficiência do algoritmo.

Como pode ser visto no algoritmo implementado (Figura 44), ele requer a chamada do algoritmo que encontra a parte inteira da raiz quadrada de um número (Figura 37), caso o número seja grande, nesse sentido, o professor pode explorar a ideia de função composta, em matemática a partir do conceito similar da informática, proporcionando ao aluno uma visão real de aplicabilidade.

Com a construção desses algoritmos, pode-se pensar inclusive em testes de eficiência, em que o usuário entra com uma lista de números e mede o tempo necessário para determinar se é primo ou composto com base nos três mecanismos apresentados: algoritmo de fatoração, Crivo de Eratóstenes e Fatoração por Fermat, além de outros possíveis.

A partir desse ponto, os algoritmos serão implementados somente no Python, pois serão utilizados números de crescimento muito rápido, serão os números de Mersenne e Fermat, para tanto serão discutidos ou apresentados os contextos matemáticos e suas respectivas implementações do: Método de Fermat, Teste de Lucas-Lehmer, Método de Euler e Teste de Pépin, onde os dois primeiros se relacionam com os números de Mersenne e os demais com os números de Fermat.

No que concerne ao Método de Fermat, pode ser útil na dinâmica da aula por encontrar fatores dos números de Mersenne ou primos de Mersenne, os quais crescem rapidamente, e assim pode ser um meio em que o aluno encontra os primos para codificar sua mensagem.

O algoritmo pode inicialmente definir qual é o valor limite que o incremento poderá chegar evitando cálculos repetitivos e desnecessários pelo computador, porém se for grande as operações podem ser demoradas, dada a quantidade de operações a serem feitas para alcançar o fim do algoritmo.

A estrutura a ser implementada, com base no algoritmo apresentado na Figura 43, é apresentada na Figura 45.

Figura 45: Python - Método de Fermat

Figura 46: Python - Resultado da primalidade de M(29) pelo Método de Fermat.

É possível notar que novamente será chamada a função que retorna a parte inteira da raiz quadrada de um número, agora em novo contexto, como o ciclo de aprendizagem do aluno é crescente pode-se supor que o aluno compreenderá esse recurso e o conceito de uma melhor forma e com maior segurança.

E uma “evolução” do processo pode ser entendido como o Teste de Lucas-Lehmer que determina se um número de Mersenne é primo ou não, mas não apresenta nenhum de seus fatores caso seja composto.

Esse teste abre espaço para o professor evoluir conceitualmente a partir da sequência definida recursivamente podendo inclusive implementar essa proposta e discutir a ideia de recursividade, um conceito amplamente utilizado em diversas áreas da Matemática. O algoritmo resulta na Figura 47, a seguir.

Figura 47: Python - teste de Lucas-Lehmer

Figura 48: Python - resultados do teste de Lucas-Lehmer para os números M(29) e M(31).

Neste ponto, é possível combinar algoritmos desenvolvidos anteriormente, como o caso do Crivo de Eratóstenes que retorna uma lista com os primos até um dado de forma a testar todos os (com ) contidos nesta lista, lembrando que para o algoritmo requer um tempo considerável para determinar a primalidade ou não de . Assim, o código anterior tem como final a Figura 49.

Figura 49: Python - teste de Lucas-Lehmer com Crivo de Eratóstenes

Agora serão tratados algoritmos que abarcarão os números de Fermat que crescem mais rapidamente que os números de Mersenne, apesar de até o momento não se ter encontrado nenhum número de Fermat primo maior que . Os maiores fatores primos de , com , são primos que crescem muito e portanto nas condições da situação-problema da aula podem ser interessantes para a situação didática e o professor pode utilizar esses fatores como meios de criar chaves públicas.

Com isso, ao estudar e implementar o Método de Euler poderão ser encontrados fatores de , enquanto que com o Teste de Pépin só poderá definir se é primo ou composto. O professor pode fazer com que os alunos reflitam sobre as utilidades de cada algoritmo e decidir sobre qual a aplicabilidade buscarão para implementar suas chaves.

Em se tratando do Método de Euler, dada sua similaridade com o Método de Fermat, pode-se iniciar com a definição do limitante de a priori39 e posteriormente implementar, resultando no algoritmo implementado na Figura 50, a qual tem duas saídas apresentadas na Figura 51.

Figura 50: Python - Método de Euler

Figura 51: Python - resultados da primalidade de F(4) e F(6) pelo Método de Euler.

E o último item da sequência é a discussão em torno do Teste de Pépin, que como dito, é alicerçado sobre o fato de que se então é primo e { }. Como se sabe os números de Fermat crescem muito rapidamente e portanto crescerá ainda mais, o que torna esse teste difícil de aplicar para números de Fermat com grande. Esse fator abre espaço para o professor discutir inclusive as limitações da tecnologia atual e fomentar uma discussão sobre o papel da matemática como mecanismo para resolver problemas com condições especiais, ou seja, o quão importante é o estudo das ciências matemáticas.

Para implementar o Teste de Pépin é relativamente simples, dado que terá um pequeno número de etapas, e resulta em algo similar a Figura 52.

Figura 52: Python - Teste de Pépin

Figura 53: Python - resultado da primalidade de F(4) pelo Teste de Pépin.

Com isso, é possível verificar que apesar de o teste ser útil é demorado para fornecer seu resultado, dada a dimensão dos números de entrada, mas ainda é útil o uso dos números de Fermat para, inclusive, testar os demais algoritmos implementados pelos alunos, evidentemente para números de Fermat que não sejam tão grandes40.

Assim, fica concluída as discussões sobre as temáticas: divisibilidade, números primos e fatoração, ou seja, uma introdução a teoria dos números ainda no ensino médio, mas que suscitam diversos temas do currículo “comum” do ensino médio: variável, conjuntos domínio e imagem, função e relação, lógica e demonstrações, sendo estes temas intrínsecos a Matemática como um todo e habilidades aplicáveis a outras áreas do saber.

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Ao refletir sobre o uso da tecnologia pela sociedade, é notório seu aumento em todos os setores. Principalmente para automatização de processos, por facilitar o conhecimento de informação em tempos muito inferiores antes da automatização. Para um ente gerencial, seja do setor público ou privado é essencial para tornar as tomadas de decisão coerentes com a realidade e de forma a minimizar possíveis problemas, tornando seus projetos mais coerentes com o planejamento.

Assim, é cada vez mais visível a utilização de tecnologias pelas diversas áreas do conhecimento, seja por engenheiros, físicos, químicos, matemáticos entre outras profissões devido a sua capacidade de trazer cálculos ou ambientes de simulação, difíceis de se obter sem o uso de ferramenta computacional.

Neste cenário, é de se conjecturar que a escola como entidade que deve formar um cidadão apto a se inserir em seu meio, bem como ascender a educação superior deve ter conhecimentos que lhe permitam, não só consumir tecnologia, mas fazer de forma crítica, ou seja, usar com o intuito de melhorar sua qualidade de vida e da sociedade em que vive.

A partir disso, é possível apontar que a dissertação atende a seu objetivo, ou seja, apresenta uma sequência didática que pode desenvolver os conceitos de variável e função como meios de relacionar grandezas, utilizando-se programação de algoritmos para discutir temas da teoria dos números, com o uso das linguagens Python e Scratch. Bem como, possibilita o desenvolvimento da capacidade de generalizar e abstrair, sob a perspectiva do PMA, dado que o professor poderá partir de casos particulares, sempre em busca de uma regra que valha para um conjunto maior.

Com o saber proveniente do desenvolvimento da lógica e seus conectivos e sentenças o aluno, inclusive passe a compreender melhor a Matemática como um sistema ordenado e regido por definições e teoremas que seguem os mesmos princípios. Ou seja, o aluno poderá usufruir desse conhecimento para facilitar a compreensão de entes matemáticos, sejam: axiomas, teoremas, proposições, corolários, lemas ou definições

É necessário pensar em uma escola voltada para o aprendizado de competências, pois a atual realidade exige cada vez mais um ser pensante capaz de adaptar-se a cenários distintos de trabalho. De aprender de forma autônoma e com grande capacidade de resolver problemas. Sendo assim, o tema aqui abordado pode suscitar essas habilidades e desenvolver uma forma de ensino na qual o professor deixa de ser o centro do processo para auxiliar e conduzi-lo.

O professor passa a imergir os alunos em uma Matemática com sentido que pode ser percebida e discutida dentre os temas da sociedade que faz uso de equipamentos digitais, para segurança financeira e pessoal. Ou seja, promovendo a integração da Matemática a outras áreas do conhecimento e abrindo a possibilidade para a interdisciplinaridade.

A sequência propicia desde uma introdução ao tema de teoria dos números podendo ser utilizada para aprofundar o tema em si e outros relacionados como: o conceito de variável, função, domínio, imagem dentre outros elementos da álgebra.

A parte de lógica necessária para a tradução dos conceitos em algoritmos implementados, expostos no trabalho, fará com que o processo de desenvolvimento lógico necessário para diversas situações cotidianas e para as aulas de Matemática possam ser encaradas com outro ponto de vista, facilitando a compreensão de teoremas, definições, axiomas e mesmo enunciados de questões pertencentes ao conjunto de temas explorados na educação básica.

A relevância deste trabalho não é apenas voltada para o aluno, mas também para o professor, ao passar a ter mais uma alternativa para encarar as dificuldades inerentes ao ensino de Matemática. Em que as implementações desenvolvidas pelo presente autor e apresentadas durante todo o trabalho podem ser um guia para o professor ter suas primeiras experiências com o ensino de matemática com o auxílio de tecnologia computacional.

Com isso, o docente pode abrir espaço para outras formas e usos da ferramenta que pode ser elemento motivador para o ensino de uma ciência tão necessária e ao mesmo tempo, temida pelos discentes.

É sabido que o uso do computador não resolverá todos os problemas, uma vez que Giraldo e Carvalho (2008) apontam a existência de estudos que mostram que a inserção da tecnologia não contribui para o desenvolvimento da aprendizagem matemática, porém eles relacionam esse fato com a abordagem que foi feita com tecnologia. Que não pode ser vista

somente como uma calculadora, mas como um elemento que leve o aluno a refletir sobre suas ações e saberes com os quais está lidando.

Desta forma, encerra-se este trabalho que se estima ser uma fonte agradável para professores que desejam inovar em suas práticas e refletir sobre as mesmas. E, ainda, ser fonte de pesquisa para outros que também buscam fazer o ensino de matemática um prazer para a comunidade discente. Apesar do encerramento deste trabalho, perguntas provenientes das ações apresentadas surgem, abrindo espaço para pesquisas que analisam uma série de alternativas, como:

 é possível desenvolver situações que envolvam outros temas matemáticos que atendam ao mesmo fim?

 quais implicações para a aprendizagem dos demais temas do currículo tem a sistemática apresentada?

Questões como estas, entre outras, trarão elucidações cada vez melhores para a realidade da educação auxiliada por ferramentas computacionais, principalmente se for pensado na aprendizagem individualizada, em que cada aluno aprende no seu próprio ritmo.

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