Résolution du problème inverse par inférence Bayésienne
IV.1.3. Application au modèle des boucles de courant
Problème inverse surdéterminé
Reprenons l’étude du champ à l’intérieur de la sphère présentée au chapitre précédent (Figure III 6 et Figure III.7). Nous avons vu que l’induction à l’intérieur de cette sphère peut être approchée avec l’écriture harmonique à l’ordre 5, soit 35 coefficients.
On décide de placer 25 capteurs tri-axes sur la surface de la sphère, soit 75 informations. Le problème est donc surdéterminé.
Dans cet exemple, ces informations proviennent du calcul exact des composantes du champ sur les points définis. Le seul bruit provient de la précision informatique et peut être négligé dans notre application. Ainsi en considérant que le modèle harmonique est bien représentatif, le problème inverse devrait trouver une solution unique et stable.
La Figure IV.1 illustre une première répartition de ces 25 points de mesures sur toute la
surface de la sphère. La matrice « A » associée à ce problème est de dimension {75x35} et de
Chapitre IV : Introduction aux problèmes inverses
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Figure IV.1 : Répartition des points de mesures virtuelles sur toute la surface de la sphère pour un problème inverse surdéterminé et bien posé
La matrice « A » est de rang plein (Rang(A) = 35) et la matrice « Σ » des valeurs
singulières de ce problème inverse bien posé est de dimension {75x35}, équation (IV.11).
Σ = ( 𝑆1 0 0 0 ⋱ 0 0 0 𝑆35
0
) (IV.11)La solution « XSVD » est ensuite donnée par l’équation (IV.12).
𝑋𝑆𝑉𝐷 = ∑ 𝑌𝑖
𝑆𝑖𝑉𝑖
𝑟=35
𝑖=1
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑌 = 𝑈𝑇. 𝐵 (IV.12)
La Figure IV.2.présente les coefficients harmoniques identifiés des ordres 1 à 4 (valeurs
pondérées par le terme « rn-1 » lorsque r = 0,3 m). Ce sont les mêmes que ceux présentés dans
le chapitre précédent.
Ces derniers avaient été obtenus par la projection de l’induction magnétique sur les fonctions harmoniques. On constate alors que la présente méthode (équation (IV.6)) qui consiste à résoudre un système linéaire est bien plus rapide que le calcul de l’intégrale surfacique (équation (III.36)).
On note également que les points de mesure ne sont pas régulièrement répartis sur la surface de la sphère d’étude, contrairement au calcul intégral qui nécessite cette caractéristique. -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Chapitre IV : Introduction aux problèmes inverses
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Figure IV.2 : Répartition des coefficients harmoniques identifiés par le problème inverse bien posé
On aperçoit alors la possibilité d’identifier les paramètres du modèle directement par la mesure du champ. Cependant, cela requiert beaucoup de capteurs sur toute la surface englobant la zone d’étude. Or dans le contexte du véhicule électrique, cette répartition s’avère naturellement gênante pour les passagers.
Imaginons alors que ces 25 points de mesures soient tous répartis sur une petite zone de la sphère afin de ne pas gêner les personnes. La Figure IV.3 présente une proposition de placement des capteurs dans ces conditions. La matrice « A » associée à ce problème est de même dimension que précédemment mais de conditionnement bien plus mauvais :
Cond(A) = 1,2 x1012. C’est un cas extrême, volontairement choisi pour l’illustration du
propos.
Figure IV.3 : Répartition des points de mesures virtuelles sur une petite surface de la sphère pour un problème inverse surdéterminé et mal posé
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -1 -0.5 0 0.5 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Chapitre IV : Introduction aux problèmes inverses
106 Même si le problème inverse par le calcul de la SVD retourne une solution, celle-ci n’est absolument pas correcte et l’identification a échoué.
En effet, toutes les lignes du système linéaire (IV.1) sont quasi identiques et tout ce passe comme s’il n’y avait que très peu d’informations. La Figure IV.4 présente les coefficients harmoniques identifiés par ce problème mal posé : la différence avec ceux identifiés plus tôt est criante.
On aperçoit alors l’importance de la répartition des capteurs, comme cela a déjà été adressé dans [ROUVE 06] : celui-ci doit être assez uniforme (le plus régulier possible).
Figure IV.4 : Répartition des coefficients harmoniques identifiés par le problème inverse mal posé
Dans ce contexte purement numérique, le placement de beaucoup de capteurs bien répartis sur la sphère d’étude permet l’identification des coefficients.
Dans un contexte plus réaliste, il est inutile d’augmenter à l’infini le nombre de capteurs car chaque information étant accompagnée d’incertitudes, le problème inverse n’est jamais vraiment surdéterminé. On notera également les contraintes de coût et de réalisation qui interdisent la mise en œuvre de cette solution.
Problème inverse sous déterminé
Dans cet exemple purement numérique, le problème inverse est sous-déterminé parce que le nombre de points de mesure est inférieur au nombre de paramètres à identifier.
La Figure IV.5 présente le placement de 6 capteurs tri-axes répartis sur toute la surface de la sphère. Cette configuration n’apporte donc que 18 informations et le problème est
Chapitre IV : Introduction aux problèmes inverses
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Figure IV.5 : Répartition des points de mesures virtuelles sur toute la surface de la sphère pour un problème inverse sous-déterminé
Les capteurs étant bien répartis sur toute la surface de la sphère, le conditionnement de la matrice « A » est faible : Cond(A) = 10. Elle est de rang plein (Rang(A) = 18) et conduit à la
matrice « Σ » des valeurs singulières de dimension {18x35}, d’expression (IV.13). La
quasi-solution « XSVD » obtenue est ensuite donnée par l’équation (IV.14).
Σ = ( 𝑆1 0 0 0 ⋱ 0 0 0 𝑆18
0
) (IV.13) 𝑋𝑆𝑉𝐷 = ∑ 𝑌𝑖 𝑆𝑖𝑉𝑖 𝑟=18 𝑖=1 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑌 = 𝑈𝑇. 𝐵 (IV.14)Malgré le bon conditionnement de la matrice, le manque d’informations ne permet qu’une identification partielle des coefficients harmoniques. En effet, la solution obtenue est de norme minimale et la valeur des coefficients au-delà de l’ordre 3 (15 coefficients) est largement minimisée.
La Figure IV.6 compare les coefficients harmoniques identifiés ici avec ceux de référence obtenus plus tôt dans ce chapitre (Figure IV.2) et dans le chapitre précédent (Figure III.8). Cela montre que l’hypothèse de norme minimale de la solution ne semble donc pas valide pour notre cas où la modélisation est purement mathématique.
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -1 -0.5 0 0.5 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Chapitre IV : Introduction aux problèmes inverses
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Figure IV.6 : Comparaison de la répartition des coefficients harmoniques de référence avec ceux identifiés par le problème inverse sous déterminé
De plus, le cadre d’application de nos travaux est l’étude du champ à l’intérieur de l’habitacle d’un véhicule. Si nous nous concentrons sur la sphère correspondant au passager avant, il paraît difficile de placer ne serait-ce que 12 capteurs tri-axes (36 informations) sur toute la surface de la sphère d’étude. On imagine aisément la gêne occasionnée par cette configuration. La solution de retreindre la répartition du bon nombre de capteurs dans une petite zone, non gênante pour le passager, n’en n’est pas une car cela conduit à un mauvais conditionnement du système et le problème inverse échoue dans sa tâche.
Notre objectif consiste alors à identifier les coefficients harmoniques avec très peu de capteurs. L’information apportée par la mesure étant rare, il semble opportun d’avoir une
approche statistique du problème inverse, permettant également l’apport d’informations a
Chapitre IV : L’approche statistique du problème inverse
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