SoitRun anneau etτ une topologie surR.On dit que(R, τ)est un anneau topologiquesi, et seulement si,
1 L’addition(x,y)∈R×R7→x+yest continue (R×Rreçoit la topologie produit) ;
2 L’applicationx7→ −xest continue ;
3 L’application(x,y)∈R×R7→xyest continue.
Les deux premiers axiomes indiquent que(R,+,0)est ungroupe (abélien) topologique.
Anneaux topologiques
SoitRun anneau etτ une topologie surR. On dit que(R, τ)est un anneau topologiquesi, et seulement si,
1 L’addition(x,y)∈R×R7→x+yest continue (R×Rreçoit la topologie produit) ;
2 L’applicationx7→ −xest continue ;
3 L’application(x,y)∈R×R7→xyest continue.
Les deux premiers axiomes indiquent que(R,+,0)est ungroupe (abélien) topologique.
Anneaux topologiques
SoitRun anneau etτ une topologie surR. On dit que(R, τ)est un anneau topologiquesi, et seulement si,
1 L’addition(x,y)∈R×R7→x+yest continue (R×Rreçoit la topologie produit) ;
2 L’applicationx7→ −xest continue ;
3 L’application(x,y)∈R×R7→xyest continue.
Les deux premiers axiomes indiquent que(R,+,0)est ungroupe (abélien) topologique.
Anneaux topologiques
SoitRun anneau etτ une topologie surR. On dit que(R, τ)est un anneau topologiquesi, et seulement si,
1 L’addition(x,y)∈R×R7→x+yest continue (R×Rreçoit la topologie produit) ;
2 L’applicationx7→ −xest continue ;
3 L’application(x,y)∈R×R7→xyest continue.
Les deux premiers axiomes indiquent que(R,+,0)est ungroupe (abélien) topologique.
Anneaux topologiques
SoitRun anneau etτ une topologie surR. On dit que(R, τ)est un anneau topologiquesi, et seulement si,
1 L’addition(x,y)∈R×R7→x+yest continue (R×Rreçoit la topologie produit) ;
2 L’applicationx7→ −xest continue ;
3 L’application(x,y)∈R×R7→xyest continue.
Les deux premiers axiomes indiquent que(R,+,0)est ungroupe (abélien) topologique.
Anneaux topologiques
SoitRun anneau etτ une topologie surR. On dit que(R, τ)est un anneau topologiquesi, et seulement si,
1 L’addition(x,y)∈R×R7→x+yest continue (R×Rreçoit la topologie produit) ;
2 L’applicationx7→ −xest continue ;
3 L’application(x,y)∈R×R7→xyest continue.
Les deux premiers axiomes indiquent que(R,+,0)est ungroupe (abélien) topologique.
Exemples
1 SoitRun anneau quelconque. Alors(R, τ)est un anneau topologique pourτ la topologie triviale ou la topologie discrète.
Dans le premier cas,(R, τ)n’est pas séparée, alors qu’il l’est dans le second cas.
2 Soit(Ri, τi)i∈Iune famille quelconque d’anneaux topologiques.
Alors le produit directY
i∈I
Ride ces anneaux, avec la topologie produit, est un anneau topologique. (Produit dans la catégorie des anneaux topologiques.)
3 Soient(R, τ)un anneau topologique etXun ensemble. L’anneau des applicationsRX est un anneau topologique pour la topologie
Exemples
1 SoitRun anneau quelconque.Alors(R, τ)est un anneau topologique pourτ la topologie triviale ou la topologie discrète.
Dans le premier cas,(R, τ)n’est pas séparée, alors qu’il l’est dans le second cas.
2 Soit(Ri, τi)i∈Iune famille quelconque d’anneaux topologiques.
Alors le produit directY
i∈I
Ride ces anneaux, avec la topologie produit, est un anneau topologique. (Produit dans la catégorie des anneaux topologiques.)
3 Soient(R, τ)un anneau topologique etXun ensemble. L’anneau des applicationsRX est un anneau topologique pour la topologie
Exemples
1 SoitRun anneau quelconque. Alors(R, τ)est un anneau topologique pourτ la topologie triviale ou la topologie discrète.
Dans le premier cas,(R, τ)n’est pas séparée, alors qu’il l’est dans le second cas.
2 Soit(Ri, τi)i∈Iune famille quelconque d’anneaux topologiques.
Alors le produit directY
i∈I
Ride ces anneaux, avec la topologie produit, est un anneau topologique. (Produit dans la catégorie des anneaux topologiques.)
3 Soient(R, τ)un anneau topologique etXun ensemble. L’anneau des applicationsRX est un anneau topologique pour la topologie
Exemples
1 SoitRun anneau quelconque. Alors(R, τ)est un anneau topologique pourτ la topologie triviale ou la topologie discrète.
Dans le premier cas,(R, τ)n’est pas séparée, alors qu’il l’est dans le second cas.
2 Soit(Ri, τi)i∈Iune famille quelconque d’anneaux topologiques.
Alors le produit directY
i∈I
Ride ces anneaux, avec la topologie produit, est un anneau topologique.(Produit dans la catégorie des anneaux topologiques.)
3 Soient(R, τ)un anneau topologique etXun ensemble. L’anneau des applicationsRX est un anneau topologique pour la topologie
Exemples
1 SoitRun anneau quelconque. Alors(R, τ)est un anneau topologique pourτ la topologie triviale ou la topologie discrète.
Dans le premier cas,(R, τ)n’est pas séparée, alors qu’il l’est dans le second cas.
2 Soit(Ri, τi)i∈Iune famille quelconque d’anneaux topologiques.
Alors le produit directY
i∈I
Ride ces anneaux, avec la topologie produit, est un anneau topologique. (Produit dans la catégorie des anneaux topologiques.)
3 Soient(R, τ)un anneau topologique etXun ensemble. L’anneau des applicationsRX est un anneau topologique pour la topologie
Exemples
1 SoitRun anneau quelconque. Alors(R, τ)est un anneau topologique pourτ la topologie triviale ou la topologie discrète.
Dans le premier cas,(R, τ)n’est pas séparée, alors qu’il l’est dans le second cas.
2 Soit(Ri, τi)i∈Iune famille quelconque d’anneaux topologiques.
Alors le produit directY
i∈I
Ride ces anneaux, avec la topologie produit, est un anneau topologique.(Produit dans la catégorie des anneaux topologiques.)
3 Soient(R, τ)un anneau topologique etXun ensemble.L’anneau des applicationsRX est un anneau topologique pour la topologie
Exemples
1 SoitRun anneau quelconque. Alors(R, τ)est un anneau topologique pourτ la topologie triviale ou la topologie discrète.
Dans le premier cas,(R, τ)n’est pas séparée, alors qu’il l’est dans le second cas.
2 Soit(Ri, τi)i∈Iune famille quelconque d’anneaux topologiques.
Alors le produit directY
i∈I
Ride ces anneaux, avec la topologie produit, est un anneau topologique. (Produit dans la catégorie des anneaux topologiques.)
3 Soient(R, τ)un anneau topologique etXun ensemble. L’anneau des applicationsRX est un anneau topologique pour la topologie
Exemples
1 SoitRun anneau quelconque. Alors(R, τ)est un anneau topologique pourτ la topologie triviale ou la topologie discrète.
Dans le premier cas,(R, τ)n’est pas séparée, alors qu’il l’est dans le second cas.
2 Soit(Ri, τi)i∈Iune famille quelconque d’anneaux topologiques.
Alors le produit directY
i∈I
Ride ces anneaux, avec la topologie produit, est un anneau topologique. (Produit dans la catégorie des anneaux topologiques.)
3 Soient(R, τ)un anneau topologique etXun ensemble.L’anneau des applicationsRX est un anneau topologique pour la topologie
Exemples
1 SoitRun anneau quelconque. Alors(R, τ)est un anneau topologique pourτ la topologie triviale ou la topologie discrète.
Dans le premier cas,(R, τ)n’est pas séparée, alors qu’il l’est dans le second cas.
2 Soit(Ri, τi)i∈Iune famille quelconque d’anneaux topologiques.
Alors le produit directY
i∈I
Ride ces anneaux, avec la topologie produit, est un anneau topologique. (Produit dans la catégorie des anneaux topologiques.)
3 Soient(R, τ)un anneau topologique etXun ensemble. L’anneau des applicationsRX est un anneau topologique pour la topologie