Analyse en surface et profils de pénétration en profondeur

A Geometria ocupa hoje um lugar importante no currículo de Matemática. Aliás, nas últimas décadas, a tendência é no sentido da sua revalorização. O Currículo

Nacional do Ensino básico: Competências Essenciais (Ministério da Educação, 2001) estabeleceu novas orientações curriculares formuladas em termos de competências a adquirir por área disciplinar e, mais concretamente, em cada um dos temas matemáticos a abordar – Número e Cálculo, Geometria, Estatística e Probabilidades, Álgebra e Funções.

Assim, a competência Matemática no domínio da Geometria, das grandezas e da medida, que todos os alunos deverão desenvolver ao longo de todos os Ciclos do Ensino Básico inclui os seguintes aspectos:

• “Aptidão para realizar construções geométricas e para reconhecer e analisar propriedades de figuras geométricas, nomeadamente recorrendo a materiais manipuláveis e a software geométrico;

• A aptidão para utilizar a visualização e o raciocínio espacial na análise de situações e na resolução de problemas em geometria e em outras áreas da matemática;

• A compreensão dos conceitos de comprimento e perímetro, área, volume e amplitude, assim como e a aptidão para utilizar conhecimentos sobre estes conceitos na resolução e formulação de problemas;

• A aptidão para efectuar medições e estimativas em situações diversas, bem como a compreensão do sistema internacional de unidades;

• A predisposição para procurar e explorar padrões geométricos e o gosto por investigar propriedades e relações geométricas;

• A aptidão para formular argumentos válidos recorrendo à visualização e ao raciocínio espacial, explicitando-os em linguagem corrente;

• A sensibilidade para apreciar a Geometria no mundo real e o reconhecimento e a utilização de ideias geométricas em diversas situações, nomeadamente na comunicação.”

(Ministério da Educação, 2001, p. 62).

Mas, para além dos aspectos gerais comuns a todos os ciclos da educação básica, há aspectos específicos para o 3º Ciclo que importa identificar:

• “A aptidão para visualizar e descrever propriedades e relações geométricas, através da análise e comparação de figuras, para fazer conjecturas e justificar os seus raciocínios;

• A aptidão para realizar construções geométricas, nomeadamente quadriláteros, outros polígonos e lugares geométricos;

• A compreensão do conceito de forma de uma figura geométrica e o reconhecimento das relações entre elementos de figuras semelhantes;

• A aptidão para resolver problemas geométricos através de construções, nomeadamente envolvendo lugares geométricos, igualdade e semelhança de triângulos, assim como para justificar os processos utilizados;

• O reconhecimento do significado de fórmulas e a sua utilização no cálculo de áreas e volumes de sólidos e de objectos do mundo real, em situações diversificadas;

• A predisposição para identificar transformações geométricas e a sensibilidade para relacionar a geometria com a arte e com a técnica;

• A tendência para procurar invariantes em figuras geométricas e para utilizar modelos geométricos na resolução de problemas reais.”

(Ministério da Educação, 2001, p. 63).

A aprendizagem da Geometria desenvolve nos alunos, um conjunto de capacidades fundamentais para toda a Matemática. Uma vez que as primeiras experiências dos alunos são geométricas e espaciais, o professor deve ter em conta as suas experiências informais. Segundo Abrantes et al. (1999) esta deve ser continuada

espelhos, da realização de jogos envolvendo a construção de padrões, da realização de experiências com itinerários, da realização de construções geométricas. Aliás, este “conhecimento geométrico deve constituir um ponto de partida para o desenvolvimento de novas competências e uma atitude positiva relativamente à Matemática” (Abrantes et

al., 1999, p. 71).

O homem, desde sempre, sentiu necessidade de compreender a Natureza, o mundo que o rodeia. Se olharmos à nossa volta com atenção, facilmente nos apercebemos que na Natureza, na Arte e na Arquitectura podemos encontrar um grande número de formas diferentes. Tudo o que é visível tem uma forma, ocupa um espaço, tem um tamanho, cor e textura. A compreensão espacial é necessária para interpretar, compreender e apreciar o mundo, que é intrinsecamente geométrico. De acordo com Ponte e Serrazina (1996) “A Geometria constitui um domínio da Matemática importante. Todos os cidadãos precisam de desenvolver as suas capacidades espaciais e de organização do espaço para viverem numa sociedade que é cada vez mais visual” (p. 164).

Existem várias tentativas de agrupar as capacidades espaciais segundo características específicas. Uma das categorizações é a de Frostig e Horne (Gordo, 1993, pp. 29-31, citado em Del Grande, 1987) que identificaram cinco capacidades espaciais diferentes. A coordenação visual motora é a capacidade para coordenar a visão com os movimentos do corpo. Alguns exemplos desta capacidade são: resolver e fazer labirintos; pintar desenhos; reproduzir desenhos dados e pintar espaços marcados com pontinhos. A percepção figura-fundo é a capacidade de identificar uma componente específica numa determinada situação e que envolve a mudança de percepção de figuras contra fundos complexos. Alguns exemplos desta capacidade são: completar figuras de forma a que se assemelharem a outras dadas e procurar figuras imersas noutras (recorrendo, por exemplo, ao tangram e a pavimentações). A constância perceptual é a capacidade de reconhecer figuras geométricas apresentadas numa variedade de tamanhos, texturas, tonalidades e posições no espaço e de discriminar figuras geométricas semelhantes. Alguns exemplos desta capacidade são: procurar todos os quadrados num geoplano 5 x 5; construir uma figura geométrica utilizando diversos materiais e procurar, na sala de aula ou noutro contexto, uma determinada figura geométrica. A percepção da posição no espaço é a capacidade para distinguir figuras iguais mas colocadas com orientações diferentes. Alguns exemplos desta capacidade

simetria, utilizando o Mira ou um espelho e encontrar figuras iguais a uma dada, mas com orientações diferentes. A percepção de relações espaciais é a capacidade de ver ou imaginar dois ou mais objectos em relação consigo próprios ou com cada um deles. Alguns exemplos desta capacidade são: fazer uma construção com cubos a partir do desenho da mesma e fazer corresponder a um sólido a respectiva planificação e vice- versa.

Hoffer (1997, referido em Gordo, 1993) aos cinco tipos de capacidades espaciais acima descritas, acrescentou outras duas: a discriminação visual e a memória visual. A discriminação visual é a capacidade para identificar semelhanças ou diferenças entre objectos. Alguns exemplos desta capacidade são: identificar características de triângulos; descobrir as diferenças entre dois desenhos e descobrir critérios que conduzem a determinadas classificações ou ordenações. A memória visual é a capacidade de recordar objectos que já não estão visíveis. Alguns exemplos desta capacidade são: observar figuras e copiá-las, mas sem as voltar a observar e observar figuras em papel ponteado e desenhá-las no geoplano, sem as voltar a observar.

Estas capacidades são desenvolvidas através da realização de experiências concretas, por exemplo utilizando materiais manipuláveis.

Outra categorização distinta para as capacidades espaciais é a que considera dois tipos de capacidades: a visualização e a orientação espaciais.

“A visualização espacial envolve a capacidade de imaginar como se apresentará um objecto representado numa gravura se for rodado, torcido, invertido, dobrado ou desdobrado” (McGee referido em Tartre, 1990, citado em Gordo, 1993, p.32). Enquanto a orientação espacial “envolve a capacidade para detectar combinações de objectos segundo um padrão e a capacidade para manter precisas as percepções, face à mudança de orientação” (Bishop, 1983, referido em Gordo, 1993, p. 32).

Outra categorização para as capacidades espaciais é a que considera dois tipos de capacidades: a capacidade de interpretar informação figurativa e a capacidade de processamento visual. A capacidade de interpretar informação figurativa “envolve a compreensão de representações visuais e de vocabulário espacial usados no trabalho geométrico, em gráficos, cartas e diagramas de todos os tipos” (Bishop, 1980, p. 184, citado em Gordo, 1993, p. 32). A capacidade de processamento visual “envolve a visualização e a translação de relações abstractas e informação não figurativa para termos visuais. Inclui também a manipulação e transformação de representações e

Segundo Veloso (1998), algumas das dificuldades manifestadas na visualização provêem do facto do aluno não possuir, com grande clareza, a imagem dos objectos geométricos na sua memória ou não conseguir atribuir um nome a um determinado ente geométrico. Daí que o autor considere necessário que, no ensino da Geometria, se “utilizem métodos activos de construção e manipulação de modelos e em que existam actividades explicitas para desenvolver a visualização” (Veloso, 1998, p. 133).

Segundo Veloso (1998), no ensino da Geometria, e em geral da Matemática, devemos ter em atenção os seguintes aspectos:

• “É essencial que a construção de modelos e os materiais manipuláveis estejam presentes no ensino da Geometria ao longo de toda a escolaridade e não apenas nos primeiros anos; apenas dessa forma é possível ir construindo uma “memória” de imagens que serão suporte de experiências de visualização progressivamente mais complexas.

• A solução para os “erros” da percepção visual não é diminuir-lhes o estatuto na educação matemática e “confiar” apenas nas palavras e nos números, com a esperança, de resto infundada, que desta forma o rigor esteja garantido. Numa sociedade em que os aspectos visuais se tornam predominantes, o que é importante é “aprender a ver”, e isso apenas se adquire pela experiência seguida de reflexão. Este deve ser um dos objectivos e práticas do ensino da Geometria” (Veloso, 1998, p. 131).

Contudo, existem outras capacidades que os alunos podem desenvolver na Geometria.

Para desenvolver a capacidade de construção e manipulação de objectos geométricos, o professor deve propor aos alunos tarefas, tais como: a construção de objectos geométricos, a construção de frisos ou pavimentações através da manipulação de figuras geométricas ou a construção de um lugar geométrico que satisfaça uma determinada condição. Segundo Abrantes et al., (1999) esta capacidade envolve a “construção material de objectos, como no caso do cubo ou outros sólidos geométricos, de desenhos geométricos com régua e compasso ou de construções no computador” (p.85). Por exemplo, o aluno ao construir um paralelogramo no geoplano, tem de recordar as diversas propriedades deste.

Das capacidades de organização lógica do pensamento matemático podemos salientar as seguintes: a intuição espacial; o estabelecimento de relações espaciais entre os objectos; as estimações relativas à forma e à medida; a descoberta de propriedades das figuras e a aplicação destas propriedades em situações variadas. De acordo com

que se inicia com experiências concretas, passando a uma diferenciação dos objectos geométricos, passando ainda por uma organização local de propriedades que finalmente se globaliza num sistema axiomático” (p.270).

A capacidade de aplicar os conhecimentos geométricos noutras situações, refere- se ao facto que o aluno deve ser capaz de mobilizar os conhecimentos adquiridos na sala de aula para outras situações da vida real. Por exemplo, o conceito de simetria pode proporcionar oportunidades para os alunos verem a Geometria no mundo da Arte ou na Natureza.

A capacidade de compreensão dos invariantes numa figura engloba a compreensão de quatro tipos de transformações, que deixam as figuras invariantes no que se refere à forma e tamanho. Elas são: a reflexão (ou simetria axial), a translação, a rotação e a reflexão deslizante. Por exemplo, observar em frisos e pavimentações as transformações geométricas que estão na base da sua construção.

O desenvolvimento, pelos alunos, da capacidade de medição implica, segundo Abrantes et al. (1999), que estes percebam que o comprimento, a área e o volume de objectos não mudam por deslocamento, implica que compreendam as relações entre as unidades do mesmo sistema e que saibam escolher unidades e instrumentos de medida apropriados.

A comunicação na aula de Matemática desempenha um papel importante no ensino-aprendizagem. Segundo Matos e Serrazina (1996), a capacidade de comunicação deve ser entendida como a capacidade de trocar ideias, muitas vezes difusas, que por um processo de negociação (entre os alunos ou entre o professor e os alunos) podem ser aperfeiçoadas e que ajuda por sua vez no desenvolvimento de argumentos válidos. Daí a necessidade em adoptar, no ensino da Geometria, metodologias pedagógicas diversificadas (o trabalho cooperativo, a resolução de problemas, ...), utilizando recursos de natureza diversa (materiais manipuláveis, tecnologias, ...), criando, deste modo, um ambiente favorável ao desenvolvimento da comunicação matemática.

A comunicação constitui um processo social onde os participantes interagem trocando informações e influenciando-se mutuamente. Nas aulas de Matemática, a comunicação desenvolve-se, sobretudo, pela linguagem oral, embora também se recorra à linguagem gestual, à linguagem escrita e à linguagem icónica (gráficos, diagramas, desenhos e ilustrações). Cabe ao professor a regulação da comunicação oral na sala de aula, encorajando os alunos a assumir uma participação activa, uma vez que a

oral. Por isso, na realização de determinada actividade deve haver espaço para a exposição (quando o professor fornece informação sobre determinado conteúdo), para o questionamento (quando o professor faz perguntas aos alunos sobre determinado assunto) e para a discussão (quando os diversos intervenientes interagem expondo ideias e fazendo perguntas uns aos outros). Convém referir que todos estes tipos de comunicação ocorrem numa aula de Matemática. A exposição por parte do professor “é uma prática bastante comum no ensino, servindo para introduzir informação, para explicar um procedimento ou para sistematizar um certo trabalho” (Ponte e Serrazina, 2000). O questionamento permite ao professor fazer determinadas perguntas, com o “objectivo de detectar dificuldades ao nível da compreensão dos conceitos e dos processos matemáticos, ajudá-los a pensar, motivá-los para participar e saber se eles estão a acompanhar o trabalho da aula” (Ponte e Serrazina, 2000). O professor deve estimular os alunos a mostrarem, dizerem, explicarem e criticarem o trabalho realizado, não deve dizer o que está certo ou errado, deve porém colocar questões que promovam a clarificação de ideias. Daí que as questões colocadas na sala de aula pelo professor servem não só para testar o conhecimento dos alunos quer seja antes ou após novas aprendizagens, mas também ajuda os alunos a reflectir sobre o trabalho realizado. Existem três tipos fundamentais de perguntas: de focalização, de confirmação e de inquirição.

Segundo Ponte e Serrazina (2000) as perguntas de focalização, ajudam o aluno a seguir um certo percurso de raciocínio, as perguntas de confirmação servem para verificar os conhecimentos dos alunos e por fim, as perguntas de inquirição visam o esclarecimento do professor. O professor utiliza as perguntas de inquirição quando quer obter informação de que não dispõe, por exemplo, o modo como os alunos estão a pensar, o modo como resolveram um certo problema, ou qual a sua opinião sobre um dado resultado ou estratégia (p.120).

E por fim, a discussão que envolve vários intervenientes (os alunos ou os alunos e o professor). Uma discussão “tem sempre um objectivo, que pode ser a estratégia a seguir para a realização de uma tarefa, a avaliação de uma dada solução, o balanço do trabalho realizado ao longo de todo um período, etc”. (Ponte e Serrazina, 2000).

O NCTM (1994), nas Normas Profissionais, atribui especial ênfase ao discurso da aula e, em particular, ao do professor, porque deste depende o envolvimento dos alunos no discurso. Daí que, ao professor, compete “iniciar e dirigir este tipo de

1994, p. 36). Através do questionamento o professor pode envolver os alunos no discurso. Aliás, no NCTM (1994), pode ler-se: “Questões bem colocadas podem simultaneamente elucidar sobre o pensamento dos alunos e ampliá-lo. É crucial a habilidade do professor na formação de questões que dirijam o discurso oral e escrito na direcção do raciocínio matemático” (p. 38). Daí que o professor deve incrementar a comunicação entre os alunos, porque permite perceber aquilo que os mesmos aprendem, obter informação sobre a qualidade desse saber, sobre o modo como pensam, sobre as capacidades e atitudes que estão a ser desenvolvidas. O NCTM (1994) destaca algumas sugestões para melhorar a qualidade do discurso nas aulas. A primeira sugestão para favorecer o discurso consiste na selecção de tarefas estimulantes, que conduzam à discussão e à formulação de questões, que desafiem o pensamento dos alunos, encorajando-os a tomar posições e a defendê-las com convicção. Segundo Menezes,

“(…) as tarefas rotineiras, vulgarmente designadas por exercícios, não são, normalmente, geradoras de grande discussão entre os alunos, uma vez que o modo de resolução assenta num algoritmo já conhecido destes. As tarefas demasiado difíceis para os alunos - sem nenhum tipo de familiaridade - são, no outro oposto, inibidoras do desencadear da comunicação, que na maior parte dos casos bloqueiam totalmente. Por isso, é preciso encontrar tarefas que sejam equilibradas para cada tipo de alunos, ou seja, que sejam abordáveis por estes mas, ao mesmo tempo, desafiantes” (1999, p. 76).

Também o modo de organização dos alunos nas aulas, na realização de tarefas influência a comunicação na sala de aula. Algumas investigações realizadas realçam que, o facto de os alunos realizarem tarefas de uma forma cooperativa traz benefícios em termos de comunicação entre eles. Segundo Menezes (1999), “a participação dos alunos, através de intervenções verbais – explicando as suas ideias, manifestando desacordo em relação aos colegas, argumentando, conjecturando – é facilitada em grupos mais pequenos” (p. 78). O trabalho cooperativo em pequeno grupo dá aos alunos a possibilidade de discutirem entre si, tentando esclarecer ideias menos claras, assim como a oportunidade de expressarem os seus pontos de vista, de ouvirem, de clarificarem dúvidas contribuindo para a qualidade do discurso da aula. É também importante que o professor escute os alunos, lhes peça para explicarem o seu pensamento, levando os alunos a verbalizar os seus raciocínios, explicando, discutindo, confrontando os resultados obtidos com as dos colegas, só assim conseguirá estimular a comunicação entre os alunos. Neste sentido o professor desempenha um papel relevante

na condução do discurso da aula, “colocando questões, proporcionando situações que favoreçam a ligação da Matemática à realidade, estimulando a discussão e a partilha de ideias” (Menezes, 1999, p.80). As orientações mais recentes para o ensino e aprendizagem da Matemática propõem outro tipo de papel do professor no discurso da aula. Numa aula dita tradicional, a intervenção dos alunos, nas aulas, são esporádicas e curtas, não havendo espaço para os alunos explicarem as suas ideias, nem confrontá-las com as dos colegas. O professor é quem fala, explica, corrige, enquanto os alunos ouvem, seguem o raciocínio do professor e respondem às perguntas colocadas. Hoje, o professor é o principal responsável pela organização do discurso da aula, sendo um facilitador ou inibidor de processos comunicativos na sala de aula. Para fomentar a comunicação na sala de aula o professor deve endereçar aos alunos convites à intervenção na discussão, perguntando “porquê?”, pedindo a um aluno que explique a sua ideia ou que justifique a sua resposta. A estimulação, pelo professor, da comunicação matemática na aula entre os alunos permite descentralizar a autoridade, em matéria de saber, do professor para o par professor/alunos. O poder decisório na validação das respostas deixa de pertencer exclusivamente ao professor. Por isso, o professor deve pedir aos alunos justificações sempre que considere necessário, procurando desta forma que os mesmos assumam também o poder de decisão do que está certo ou errado. Deste modo, os alunos passam a ser responsabilizados pela sua própria aprendizagem.