4. Analyse des données
4.1. Description des connaissances
4.1.3. Analyse des manuels : présence des connaissances et mode de présentation
Après la description des connaissances géométriques exigées par TIMSS 2011, nous avons vérifié, dans un premier temps, leur présence dans les exercices proposés par le manuel scolaire iranien. Pour ce faire, nous avons analysé tous les contenus géométriques du manuel de 8e année. Puisque l’apprentissage de la géométrie est un processus continu qui commence au niveau primaire, nous prendrons en considération, dans notre description, les contenus géométriques enseignés avant la 8e année. Le choix de la connaissance à analyser dans les manuels correspondra, dans ce sens, à la dernière année où cette connaissance a été présentée. C'est-à-dire que pour vérifier la présence d’une connaissance, nous avons
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Figure 5 : Exemple de l’apprentissage implicite
commencé par le manuel de la 8e année, si on trouve que la connaissance en question est absente dans ce manuel, nous examinons le manuel de la 7e année et ainsi de suite.
Dans un deuxième temps, nous avons analysé la façon dont chaque connaissance est présentée dans le manuel : s’agit-il d’une connaissance présentée d’une manière explicite ou d’une manière implicite? Les deux exemples suivants montrent respectivement la méthode implicite et la méthode explicite de l’enseignement des mathématiques.
Premier exemple : apprentissage implicite
Exercice : La droite (d) est la médiatrice du segment [AB]. Les deux triangles MHB et
MHA sont-ils congrus? Si oui, expliquer pourquoi. (Manuel de mathématiques de 6e année de l’Iran, p. 181)
Solution possible : Comme (d) est la médiatrice de [AB], alors AH=HB et [MH] [AB]
(AHM= BHM= 90˚). [MH] est un côté commun des triangles ∆AHM et ∆BHM. Donc selon l’un des critères de congruence des triangles (côté, angle, côté), ∆AHM ∆BHM. Cela met en relief l’égalité de MA et MB ou le fait que ∆MAB est un triangle isocèle.
À partir de cet exercice, l’élève peut apprendre implicitement que dans le triangle isocèle la médiatrice de [AB] coïncide avec la hauteur.
Deuxième exemple : apprentissage explicite
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Figure 6 : Exemple de l’apprentissage explicite
Traduction libre : Observez cette figure. Nous avons tracé une droite parallèle à
l’hypoténuse BC et passant par le point d’intersection des diagonales du carré de côté AB. Nous avons tracé ensuite une droite perpendiculaire à cette dernière, passant par le même point. Ce carré s’est divisé en quatre parties égales. En mettant ensemble ces quatre parties et le carré de côté AC, on couvre le carré de côté BC. Vous pouvez aussi tracer un triangle rectangle sur un papier et former un carré sur chacun des côtés de triangle. Ensuite, vérifiez si les deux carrés formés par les côtés de l’angle droit couvrent le carré le plus grand formé par l’hypoténuse du triangle rectangle.
Si on nomme les côtés du triangle rectangle ABC a, b et c (voir la figure), alors l’aire de chaque carré est égale:
a2 = aire du carré dont le côté est l’hypoténuse BC
b2= aire du carré de côté AC
c2= aire du carré de côté AB
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Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés (côtés de l’angle droit).
Dans cet exemple, le théorème de Pythagore est présenté explicitement.
Les données du tableau ci-dessous (tableau 8) présentent les résultats de notre analyse des activités géométriques dans les manuels scolaires iraniens de 8e, 7e, 6e, 5e, 4e et 3e années. La première colonne présente les concepts et les attributs7 employés dans les questions de TIMSS 2011. La deuxième colonne indique le numéro de la question de TIMSS dans laquelle cette connaissance est exigée (voir l’annexe 2). La troisième colonne indique la présence (ou l’absence) de ce concept dans le manuel scolaire (le niveau de l’enseignement et la page). En fin, quatrième colonne indique la façon dont chaque connaissance est présentée dans le manuel (explicite ou implicite).
Concepts (attributs) Numéro
d’item Niveau scolaire et page du manuel scolaire Mode d’enseignement : explicite ou implicite
1. Un segment est une portion de droite délimitée par deux points, appelés extrémités du segment.
8 6e année- p.76 Explicite
2. Le milieu d'un segment est un point qui est situé à égale distance des extrémités de ce segment.
8 -- --
3. Dans un cercle l’angle au centre = 360º (un tour complet)
16 8e année- p.75 Implicite
4. ∑ intérieurs du triangle =180 1 7e année- p.93 Explicite
7 Rappelons que les connaissances exigées par les questions géométriques de TIMSS 2011 peuvent appartenir
à d’autres domaines mathématiques (arithmétique, algèbre, etc.). Nous n’avons pas abordé dans cette étude les domaines, les savoirs et les connaissances non géométriques.
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5. La mesure d’angle plat = 180° 19 7e année- p.95 Explicite
6. Aire du Δ rectangle =1/2 base × côté 17 7e année- p.173 Explicite
7. La relation de Pythagore (et réciproque) 11 8e année- p.79 Explicite
8. Triangle isocèle: Δ ayant 2 côtés 2 7e année- p.72 Implicite
9. Δ isocèle possède 2 angles 2 7e année- p.78 Explicite
10. La hauteur du Δ isocèle est une médiane (divise la base en 2 parties égales)
2 6e année- p.181 Implicite
11. La construction du triangle isocèle selon la mesure de sa base et sa hauteur : segment, milieu, segment passant par le milieu
6 6e année- p.104 Implicite
12. Aire du rectangle = longueur × largeur 17 7e année- p.173 Explicite
13. Aire du carré= côté × côté 9-20 7e année- p.173 Explicite
14. Périmètre du carré= 4× mesure d’un côté 20 4e année- p.138 Explicite
15. Aire du trapèze= (B+b)/2×h 17 7e année- p.76 Explicite
16. angles intérieurs du polygone = (n-2) ×180
1 8e année- p.75 Implicite
17. Volume d’un prisme rectangulaire = Longueur × Largeur× Hauteur
4 7e année- p.191 Explicite
18. Deux angles opposés par le sommet sont congrus
19 6e année- p.91 Explicite
19. Les angles correspondants sont congrus. (dans le cas de droites // et une sécante)
44 20. La rotation centrale maintient la forme et
les dimensions de la figure et la distance entre la figure et le point d’origine.
7-13 8e année- p.85 Implicite
21. La réflexion selon un axe de symétrie : -Deux segments symétriques ont la même longueur (conservation des longueurs),
-Deux angles symétriques ont la même ouverture (conservation des angles), -Deux figures symétriques ont la même aire (conservation des aires).
13-14 7e année- p.181 Explicite
22. Le système de coordonnées polaires 15 -- --
Tableau 8 : Correspondances entre les connaissances de TIMSS 2011 et les contenus du manuel