Dissimilitudes entre les contenus géométriques du
manuel scolaire mathématiques de 8
eannée en Iran
et le test international du TIMSS 2011
Mémoire
Ali Mahmoodi-Motlagh
Maîtrise en didactique
Maître ès arts (M.A.)
Québec, Canada
Dissimilitudes entre les contenus géométriques du
manuel scolaire de mathématiques de 8
eannée en
Iran et le test international du TIMSS 2011
Mémoire
Ali Mahmoodi-Motlagh
Sous la direction de :
Helena Boublil-Ekimova
iii
Résumé
Les résultats de la cinquième réalisation de l’étude de TIMSS en 2011 montrent la présence d’un faible rendement des élèves iraniens en mathématiques par rapport à la moyenne internationale. Plusieurs facteurs peuvent être à la source de ce faible rendement : programmes d’études, caractéristiques de l’école, qualité des ressources éducatives fournies à l’école ou accessibles aux élèves hors de l’école, etc. (Mullis et coll., 2009; 2012; Coleman et coll., 1966).
Ce mémoire est une tentative d’identifier les points faibles probables du contenu géométrique du manuel scolaire de mathématiques de 8e année de l’Iran, en considérant les exigences de TIMSS 2011. Dans cette perspective, cette recherche se focalise sur trois axes d’analyse : la répartition des contenus géométriques dans le manuel des mathématiques, la manière de présenter les concepts et les niveaux de raisonnement exigés par les problèmes du test et par les activités du manuel.
L’analyse des résultats obtenus nous a permis de constater plusieurs divergences. Au niveau de la présence des connaissances géométriques, 9 % des connaissances nécessaires à la résolution des questions de TIMSS 2011 sont absentes du manuel. Quant à la présentation des connaissances, 27 % des connaissances sont présentées implicitement dans les manuels. L’utilisation de la grille d’analyse du niveau de raisonnement exigé par les tâches géométriques (Tanguay, 2000), montre que le manuel manque d’exercices mettant en jeu le développement des expériences mentales (35 %). Selon la théorie de Van Hiele (1959), l’insuffisance d’expériences nécessaires pour le développement de la pensée géométrique aux niveaux visuel, descriptif et analytique influencera la construction des concepts et la réussite dans la résolution des problèmes.
iv
Table des matières
Résumé ... iii
Table des matières ... iv
Liste de tableaux ... vi
Liste des figures ... vii
Remerciements ... ix Introduction ... 1 1. Problématique... 3 1.1. TIMSS ... 3 1.1.1. Description de TIMSS ... 3 1.1.2. TIMSS 2011 ... 4
1.1.3. Résultats des élèves iraniens en TIMSS 2011 ... 5
1.2. Facteurs affectant sur la réussite en mathématiques ... 6
1.2.1. Contexte de l’école ... 7
1.2.2. Contexte de la classe ... 10
1.3. Rôle du manuel scolaire ... 11
1.4. Résultats des analyses préalables ... 12
1.5. Questions de recherche... 16
2. Cadre théorique ... 17
2.1. Modes d’accès aux connaissances géométriques ... 17
2.2. Niveaux de raisonnement géométrique ... 18
2.2.1. Grille d’analyse ... 22
2.2.2. Pertinence de la grille de Tanguay ... 23
2.3. Implicite ou explicite ... 24
2.4. Niveaux de la pensée géométrique : le modèle de Van-Hiele ... 27
2.4.1. Principales caractéristiques du modèle ... 28
2.4.2. Étapes de l’apprentissage ... 29
3. Méthodologie ... 30
3.1. Type de recherche ... 30
v
3.3. Justification du choix méthodologique ... 34
4. Analyse des données ... 34
4.1. Description des connaissances ... 35
4.1.1. Identification des connaissances géométriques exigées par les items de TIMMS 2011 ... 35
4.1.2. Description des connaissances identifiées ... 36
4.1.3. Analyse des manuels : présence des connaissances et mode de présentation... 39
4.1.4. Comparaison des connaissances: TIMSS 2011 vs. manuel ... 44
4.1.5. Interprétation ... 45
4.2. Niveaux de raisonnement ... 46
4.2.1. Classification des questions ... 47
4.2.2. Exemples de classification par rapport au niveau du raisonnement ... 48
4.2.3. Classification des questions de TIMSS selon la grille de Tanguay ... 53
4.2.4. Classification de questions du manuel selon la grille de Tanguay ... 55
4.2.5. Comparaison des deux sources selon le niveau de raisonnement ... 59
4.3. Interprétation ... 60
Conclusion ... 64
Bibliographie ... 68
Annexes ... 73
Annexe 1. Écart entre le taux international de réussite et celui des élèves iraniens aux items du TIMSS ... 73
Annexe 2 : Questions de TIMSS 2011 ... 78
Annexe 3. Analyse des contenus mathématiques visés pour la 8e année en Iran ... 99
vi
Liste de tableaux
Tableau 1 : Comparaison des résultats: élèves iraniens vs. autres participants ... 5
Tableau 2 : Écart entre la performance des élèves iraniens et ceux des autres pays selon le domaine mathématique ... 13
Tableau 3 : Écart entre les taux de réussite (international vs Iran)... 13
Tableau 4 : Répartition des questions et des contenus du manuel par domaine mathématique ... 14
Tableau 5 : Regroupement des niveaux de raisonnement ... 20
Tableau 6 : Exemple d’identification des connaissances géométriques exigées par les items de TIMMS 2011 ... 36
Tableau 7 : Description des connaissances... 39
Tableau 8 : Correspondances entre les connaissances de TIMSS 2011 et les contenus du manuel ... 44
Tableau 9 : Taux de présence des connaissances de TIMSS 2011 dans les manuels ... 44
Tableau 10 : Taux de présence des connaissances dans le manuel selon le mode explicite ou implicite ... 45
Tableau 11 : Exemple de l'induction empirique ... 50
Tableau 12 : Exemple de l'expérience mentale ... 50
Tableau 13 : Exemple de la déduction locale ... 52
Tableau 14 : Exemple de l’enchaînement déductif ... 52
Tableau 15 : Classification des items géométriques de TIMSS 2011 selon le niveau de raisonnement ... 54
Tableau 16 : Classification des questions géométriques du TIMSS 2011 selon le niveau de raisonnement ... 54
Tableau 17 : Taux des niveaux de raisonnement dans TIMSS 2011... 55
Tableau 18 : Classification des questions géométriques du manuel iranien selon le niveau de raisonnement ... 58
Tableau 19 : Taux des niveaux de raisonnement dans le manuel scolaire ... 58
Tableau 20: Niveaux de raisonnement dans TIMSS 2011 et dans le manuel iranien ... 59
Tableau 21 : Écart entre la moyenne des élèves iraniens et la moyenne internationale ... 61
Tableau 22 : Écart moyen pour chaque niveau de raisonnement ... 61
Tableau 23 : Écarts entre les parts consacrées à chaque niveau de raisonnement dans TIMSS 2011 et le manuel ... 62
vii
Liste des figures
Figure 1 : Relation réciproque entre l’expérience et l’intuition ... 18
Figure 2 : Bipolarisation de la notion de preuve selon l’approche historico-épistémologique (Tanguay, 2002) ... 19
Figure 3 : Bipolarisation de la notion de preuve selon la source de validation (Tanguay, 2002) ... 19
Figure 4 : Exemple d’identification des connaissances géométriques exigées par les items de TIMMS 2011 ... 35
Figure 5 : Exemple de l’apprentissage implicite ... 40
Figure 6 : Exemple de l’apprentissage explicite ... 41
Figure 7 : Exemple de l’application directe... 48
Figure 8 : Exemple du jugement d’une seule venue ... 48
Figure 9 : Exemple de l'induction empirique ... 49
Figure 10 : Exemple de l'expérience mentale ... 50
Figure 11 : Exemple de l'argument empirico-déductif ... 51
Figure 12 : Exemple de la déduction locale ... 51
viii
Dedication To my loving parents, Sedigheh and Mohammad, who were my first tutors and who gifted me with freedom and love…
ix
Remerciements
La rédaction de ce mémoire a été un grand défi pour terminer ma maîtrise à l’Université Laval. Ce défi, je ne pourrais le relever sans la contribution, le soutien et le suivi continu de ma directrice de recherche, Madame Helena Boublil-Ekimova. Grâce à ses conseils inestimables, j’ai pu structurer ma pensée et amener mon projet jusqu’au terme. Madame Boublil, je vous suis très reconnaissant pour votre patience et votre disponibilité tout au long de cette étude.
Merci infiniment à mon professeur, Clermont Gauthier, pour son soutien très apprécié ainsi que pour ses commentaires et ses judicieux conseils.
Ensuite, j'aimerais remercier Madame Catinca-Adriana Stan qui a accepté d’évaluer mon projet de recherche.
Je remercie également mon ami Sami Halhal de ses lectures et relectures de mon texte. Grâce à tes commentaires et tes corrections linguistiques, Sami, mon texte s’est amélioré progressivement.
Je présente aussi ma gratitude envers Adeleh Mahdavi pour son aide dans cette longue et éprouvante démarche que fut la rédaction de ce mémoire. Merci Adeleh.
Et merci à ces amis qui m’ont encouragé au cours de cette recherche : Amal, Bahijeh, Fabien, Mousa, Ali-Entezari, Ahmadreza, Davoud, Florent et Émile.
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Introduction
Depuis plus de 50 ans, l’Association Internationale pour l’Évaluation du rendement scolaire (IEA) mène des études analytiques sur les résultats scolaires des élèves en mathématiques et en sciences. L’objectif de ces études consiste à modéliser les effets des politiques éducatives et des activités d’enseignement sur le rendement scolaire. TIMSS est l’une de ces recherches les plus importantes et les plus connues portant sur l’enseignement des mathématiques et des sciences. Depuis 1995, les résultats de cette recherche offrent à la communauté internationale une grande base de données sur le rendement des élèves en quatrième et en huitième année, ainsi que sur les différents facteurs qui influencent l’apprentissage des mathématiques et des sciences.
L’Iran ne fait pas l’exception à la recherche de TIMSS. En fait, l’administration du test dans ce pays a donné lieu à deux constats. D’une part, les élèves iraniens ont obtenu des résultats faibles en mathématiques par rapport aux résultats en sciences, de l’autre, leurs résultats en mathématiques ont été faibles par rapport à la moyenne internationale (Mullis et coll., 2012).
Comme le mentionne le rapport de TIMSS de 2012, plusieurs facteurs peuvent influencer le rendement scolaire des élèves. Ces facteurs peuvent être liés aux programmes d’études, aux caractéristiques et à la qualité des ressources éducatives fournies à l’école (l’emplacement de l’école, la situation économique des élèves, les ressources technologiques, les manuels scolaires, la formation et les caractéristiques personnelles et professionnelles des enseignants, etc.) ou encore liés aux ressources éducatives accessibles aux élèves hors de l’école (les instruments technologiques, le niveau scolaire des parents, etc.)
Nous nous intéresserons particulièrement, dans cette recherche, à l’analyse de l’un des facteurs identifiés dans le rapport de TIMSS, à savoir le manuel scolaire, qui fait partie des facteurs liés à la qualité des ressources éducatives. Notre question de recherche est la suivante : y a-t-il des désaccords contextuels et conceptuels entre le contenu du manuel scolaire des mathématiques de 8e année en Iran et le contenu du test de TIMSS 2011?
La présente recherche tente d’identifier l’origine de ce faible rendement dans les écoles iraniennes, plus précisément, elle tente d’examiner si les ressources didactiques en
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mathématiques (ici le manuel scolaire) utilisées par les élèves iraniens à l’école ont une influence significative sur leurs résultats au TIMSS 2011.
Dans cette perspective, nous présenterons, dans un premier temps, le test TIMSS, ses objectifs et les résultats des élèves iraniens en TIMSS 2011. Ensuite, nous examinerons d’une manière générale les facteurs affectant sur l’enseignement-apprentissage des mathématiques, et plus précisément le rôle du manuel scolaire. Cette recherche préalable nous amènera à construire notre problématique et à préciser nos questions de recherche. Dans un second temps, nous aborderons, dans notre cadre théorique, les recherches sur les modes d’accès à la connaissance géométrique, les niveaux de raisonnement et les modes d’enseignement de la géométrie : implicite et explicite. Ces éléments constitueront les catégories principales qui vont nous servir pour comparer les items du test TIMSS et les questions du manuel scolaire iranien. Nous présenterons, dans un troisième temps, notre méthodologie de recherche, ainsi que les outils de collecte de données que nous avons utilisés. Finalement, nous discuterons de nos résultats obtenus à la suite de la comparaison des modes d’accès à la connaissance géométrique déployés dans les deux corpus analysés.
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1. Problématique
Dans cette partie, nous décrirons d’abord le test TIMSS d’une manière générale et nous nous appliquerons à examiner la spécificité du TIMSS 2011 en présentant les résultats des élèves iraniens à ce test. Ensuite, nous aborderons les facteurs (extérieurs et intérieurs à l’école) influençant le rendement des élèves en mathématiques, et ce, pour déterminer le facteur que nous aborderons dans notre recherche. Notre hypothèse est que le rendement faible des élèves iraniens en TIMSS 2011 peut être lié à un facteur intérieur à l’école, celui du manuel scolaire par exemple. Quel est donc le rôle de cet outil dans le rendement des élèves iraniens en TIMSS 2011?
1.1. TIMSS
La recherche TIMSS (« Trends in International Mathematics and Science Study » ou « les tendances internationales en mathématiques et en sciences») est un ensemble d’études dont l’objectif est d’évaluer le rendement des élèves en mathématiques et en sciences et de mesurer l’influence des facteurs liés aux programmes d’études, aux contenus des manuels scolaires et à l’environnement des élèves (la famille, l’école) sur l’apprentissage des mathématiques et des sciences.
1.1.1. Description de TIMSS
Le test TIMSS est un programme conçu pour fournir une évaluation valide et fiable. Ce programme utilise des techniques rigoureuses d’échantillonnage qui permettent d’estimer la performance d’une population étudiante dans son ensemble, en évaluant un échantillon restreint d’élèves à partir d’un échantillon d’écoles. Il emploie en effet l’échantillonnage aléatoire en deux phases : 1) le choix aléatoire des écoles dans lesquelles sera administré le test; 2) le choix aléatoire d’une ou deux classes dans ces écoles. Le choix des classes entières d’élèves plutôt que des individus, d’un niveau scolaire ou d’un certain âge, met l’accent sur les expériences curriculaires et pédagogiques des élèves. Cet échantillonnage représente donc un avantage d’ordre opérationnel puisqu’il cause moins de perturbations dans le déroulement pédagogique par rapport à l’échantillonnage focalisé sur des élèves. C’est une technique d’échantillonnage qui exige précision et planification.
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Pour la plupart des pays, les exigences de précision de TIMSS sont remplies avec un échantillon scolaire de 150 écoles et un échantillon d’étudiants de 4000 élèves pour chaque niveau cible. Selon la taille de la classe moyenne dans un pays, une seule classe des écoles échantillonnées peut être suffisante pour remplir les conditions de l’échantillonnage selon TIMSS. Par exemple, si la taille de la classe moyenne dans un pays est de 27 élèves, administrer le test dans une seule classe de chacune des 150 écoles suffit pour fournir un échantillon valide de 4050 étudiants1.
Par ailleurs, chaque pays participant au TIMSS a besoin d’un plan pour définir la population cible et appliquer les méthodes d’échantillonnage de TIMSS. Ce plan vise à obtenir un échantillon national représentatif. Selon Joncas et Foy (2011), le développement et la mise en œuvre d’un plan d’échantillonnage national est un travail collaboratif impliquant le coordonnateur national de recherches du pays (CNRC) et les experts d’échantillonnage de TIMSS.
1.1.2. TIMSS 2011
Dans le cadre de notre recherche, nous nous intéressons à l’étude de TIMSS de 2011 étant donné qu’elle représente les derniers résultats affichés quand nous avons commencé notre étude de maîtrise. Commençons par décrire ce test et examinons par la suite les résultats des élèves iraniens à ce test.
Le TIMSS de 2011 est la cinquième évaluation d’une série d’études. La procédure de collecte des données dans les pays de l’hémisphère nord a été administrée de mars à juillet 2011. Dans le cas de l’Iran, l’administration de ce test correspondait à une période qui se situe entre le 10 avril et le 4 mai 20112. Le TIMSS 2011 est conçu en blocs d’items regroupés dans des « cahiers du test ». Un bloc d’items est un ensemble d’éléments destinés à être administrés en un seul coup. Au sein de chaque bloc, la distribution des items par rapport aux contenus et aux domaines cognitifs est la même. Six blocs parmi quatorze ont été publiés en février 2013 et sont largement diffusés dans le cadre de la base de données
1 Nous supposons dans ce cas la participation complète des écoles et des élèves.
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internationale de TIMSS3. En fait, le TIMSS 2011 regroupe 28 blocs, la première moitié renvoie à des éléments mathématiques; la deuxième à des items de sciences. Des blocs d’items sont diffusés afin de fournir au public des informations sur la nature et le contenu de l’évaluation.
1.1.3. Résultats des élèves iraniens en TIMSS 2011
L’analyse des résultats aux épreuves de TIMSS, notamment ceux administrés dans les années 1999, 2003, 2007 et 2011, nous permet de constater que les moyennes des élèves iraniens en 8e année sont inférieures à la moyenne internationale4. Le tableau ci-dessous montre la différence entre ces deux moyennes:
Années Moyenne des élèves
iraniens Moyenne internationale Différence de moyennes 1999 422 502 — 80 2003 411 466 — 55 2007 403 500 — 97 2011 415 500 — 85
Tableau 1 : Comparaison des résultats: élèves iraniens vs. autres participants
Nous pouvons aussi voir que lors de ces quatre tests (de 1999 à 2011), la différence entre la moyenne internationale et la moyenne des élèves iraniens oscille entre -55 et -97, témoignant du faible rendement des élèves iraniens en mathématiques par rapport à la moyenne internationale. Cela nous amène à nous demander pourquoi les élèves iraniens obtiennent de faibles résultats à l’épreuve de TIMSS par rapport aux autres pays. Quelles sont les raisons ? Les approches de l’enseignement des mathématiques sont-elles moins efficaces et moins précises? Les enseignants reçoivent-ils une formation insuffisante? Ou bien les contenus mathématiques dans le curriculum iranien sont-ils moins clairs? Autant de questions que nous devons nous poser.
En fait, le faible rendement des élèves iraniens au TIMSS mérite d’être examiné selon deux angles. D’une part, il devrait être examiné par rapport au contexte socioéconomique des
3Les items qui seront analysés dans cette recherche ne représentent que la partie publiée de l’examen complet
du TIMSS 2011.
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élèves iraniens, de l’autre, par rapport aux approches de l’enseignement-apprentissage des mathématiques et des ressources pédagogiques utilisées en Iran. Dans ce qui suit, nous présenterons de manière générale les variables qui peuvent être liées à l’apprentissage des mathématiques. Ensuite, nous examinerons celles décrites par TIMSS et que nous avons jugées les plus appropriées pour analyser l’enseignement des mathématiques dans le contexte de l’école iranienne.
1.2. Facteurs affectant sur la réussite en mathématiques
Plusieurs recherches ont été menées sur les variables qui peuvent avoir un impact sur la réussite scolaire des élèves en mathématiques. Ces variables sont intérieures ou extérieures à l’école. Pour TIMSS 2011, « there are numerous contextual factors that affect students’ learning. For example, type of school, school resources, instructional approaches, teacher characteristics, student attitudes, and home support for learning contribute heavily to student learning and achievement» (Mullis et coll., 2009, p. 93). Dans le contexte de notre recherche, lesquels de ces facteurs seraient les plus appropriés pour étudier le rendement scolaire des élèves en mathématiques?
Si l’on considère l’apprentissage d’une manière générale, Coleman et coll. (1966) affirment que les différences dans les résultats scolaires relèvent plus des variables liées au milieu familial et au contexte social général des élèves, que des variables liées à l’école.
Quant à l’apprentissage des mathématiques, l’analyse de recherches menées dans ce domaine montre la présence d’un effet significatif de plusieurs facteurs : l’image de soi (Kiamanesh & Kheirieh, 2001; Marsh, 1992; Hamachek, 1995; Franken, 1994; Wilhite, 1990), le contexte familial (Kiamanesh & Kheirieh, 2001; Wilhite, 1990), les attitudes des élèves envers les mathématiques (Marsh, 1992; Hamachek, 1995; McMillan, 1977; Aiken, 1976; Kulm, 1980; Keeves, 1992; Papanastasiou, 2002; Schereiber, 2000), le rôle de l’enseignant et les ressources pédagogiques (Koon et Leung, 2005) sur le rendement scolaire en mathématiques. Il ressort donc qu’il y a une absence de consensus sur les facteurs susceptibles d’influencer le rendement scolaire des élèves. Chaque facteur, à nos yeux, pourrait influencer le rendement des élèves à des degrés différents et dans des conditions différentes.
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Par ailleurs, TIMSS 2011 souligne que les élèves de quatrième ou de huitième année de scolarité acquièrent la plupart de leurs connaissances mathématiques et scientifiques à l’école et à la maison. L’école, la classe et la maison se soutiennent mutuellement pour créer des climats efficaces à l’apprentissage. À cet égard, le cadre contextuel de TIMSS 2011 classe quatre grands facteurs : « National and Community Contexts, Student Characteristics and Attitudes, School Contexts, Classroom Contexts » (p. 94). Les deux premiers facteurs sont extérieurs à l’école, alors que les deux derniers sont intérieurs à l’école.
Nous nous intéressons aux facteurs intérieurs à l’école, particulièrement à ceux liés aux ressources pédagogiques. Puisque, comme le soulignent Koon et Leung (2005), la plus grande partie du savoir mathématique des élèves s’acquiert en classe, la qualité de l’enseignement peut être considérée en tant que facteur déterminant de la réussite scolaire en mathématiques. La recherche menée par Beiramipour et Liaghatdar (2010), dans le but d’améliorer le rendement de leur système scolaire à la lumière des résultats de l’examen de TIMSS, montre effectivement que la qualité de l’enseignement a une grande influence sur la réussite des élèves à cet examen. Les études de TIMSS montrent que les enseignants consacrent la moitié du temps en classe à travailler avec les manuels scolaires (Schmidt, McKnight & Raizen, 1996). Les manuels scolaires, en tant qu’outils pédagogiques, et les approches didactiques qui orientent leurs conceptions constitueraient donc des variables incontournables pour évaluer le rendement des élèves. .
Dans les sections suivantes, nous examinerons les composantes des deux derniers domaines (School Contexts, Classroom Contexts) tels que décrits par TIMSS en relation avec le contexte de l’école iranienne.
1.2.1. Contexte de l’école
Pour TIMSS, le contexte de l’école englobe six facteurs : les caractéristiques de l’école, l’organisation de l’enseignement à l’école, l’organisation de l’apprentissage, le corps enseignant, les ressources de l’école et l’implication des parents.
8 Les caractéristiques de l’école
La taille de l’école, son emplacement et les caractéristiques de ses élèves sont des facteurs qui agissent sur le fonctionnement de l’école. D’après les études menées dans ce domaine, les petites écoles constituent des communautés d’apprentissage plus intimes, car elles fournissent des environnements plus adéquats où se développe un sens d’appartenance chez les élèves (Hill et Christensen, 2007; Klonsky, 2002; Wasely, Beaux, Gladden, Holand, King, Mosak, et Powell, 2000). Les écoles doivent, par contre, être suffisamment grandes pour garantir la rentabilité, et fournir une infrastructure de soutien telles que les bibliothèques, les laboratoires et les gymnases (Martin, Mullis, Gregory, Hoyle, et Shen, 2000).
L’organisation de l’enseignement à l’école
Ce facteur se rapporte aux éléments qui peuvent contraindre ou bonifier le déroulement de l’enseignement en classe. TIMSS en cite quelques-uns comme le leadership du directeur, les regroupements des élèves et le temps consacré à l’enseignement des matières scolaires.
L’organisation de l’apprentissage
Le climat scolaire comprend de nombreux facteurs, y compris les valeurs, les cultures, les pratiques de sécurité et les structures organisationnelles. Comme le soulignent Greenberg, Skidmore et Rhodes (2004), le respect entre les étudiants et les enseignants, la sécurité et l’organisation, le dialogue entre l’administration, les enseignants, les parents et les élèves créent un climat propice à l’apprentissage et conduisent à la réussite scolaire.
Le corps enseignant
Une grande partie de la réussite des établissements scolaires est liée au perfectionnement professionnel du personnel, notamment des enseignants. En effet, la professionnalisation des enseignants est d’une importance centrale dans toutes les réformes éducatives : un enseignant qui participe à des activités de formation continue, prend nécessairement connaissance des principaux développements dans l’éducation et dans son domaine de compétence. Cotton (2003) affirme à cet égard que le directeur efficace est celui qui est
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capable de faire preuve de créativité afin d’obtenir les ressources nécessaires pour créer des occasions de perfectionnement professionnel à la disposition des enseignants de son établissement.
Les ressources de l’école
La qualité des ressources scolaires est un facteur important pour un enseignement de qualité, soulignent Greenwald, Hedges et Laine (1996) et Lee et Barro (2001). Par ressources scolaires nous entendons ici les ressources de base comme l’équipement des salles de classe. En effet, l’enseignement et l’apprentissage peuvent être facilités par l’attribution des locaux adéquats, du matériel et l’équipement nécessaires pour atteindre les objectifs d’apprentissage spécifiques. Les résultats de TIMSS indiquent que les élèves des écoles bien équipées ont généralement un rendement plus élevé par rapport à ceux des écoles en pénurie. Bref, il est généralement admis que les ressources influent sur la mise en œuvre du programme.
L’implication des parents
La participation des parents dans le cheminement scolaire de leurs enfants est largement reconnue pour favoriser la réussite scolaire. Le succès d’une école peut être fortement influencé par une attitude de coopération entre les administrateurs scolaires, les enseignants et les parents (National Education Association, 2008).
Pour examiner le contexte de l’école iranienne, prenons l’exemple du facteur de l’organisation de l’enseignement à l’école et sa relation avec l’enseignement des mathématiques. Saleh, Lazonder et De Jong (2005), cités par le rapport TIMSS 2011, constatent que le temps d’enseignement, en particulier celui consacré aux mathématiques et aux sciences, peut avoir une grande influence sur le rendement scolaire des élèves. À l’école iranienne, de la 1re à la 5e année, les élèves passent entre 24 à 28 heures par semaine à l’école. La part du temps réservé aux mathématiques à l’intérieur de cette masse horaire est de 18 % à 21 %, c’est-à-dire entre quatre à six heures par semaine. Au secondaire junior, de la 6e à la 8e année, niveaux qui nous intéressent particulièrement, les élèves passent 30 à 33 heures par semaine à l’école. Ils consacrent 12 % à 17 % du temps
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d’étude aux mathématiques. Selon Mullis et coll. (2012), les élèves iraniens de 8e année passent 12 % de leur temps scolaire à étudier les mathématiques, soit 120 heures par année. D’après les mêmes auteurs, les pays participants dont les élèves ont eu un rendement plus élevé au test (le Japon entre autres) consacrent plus que 120 heures par année à l’enseignement-apprentissage des mathématiques à l’école. Il ressort que (ce qui est tout à fait logique et peut être appliqué à toutes les disciplines scolaires) plus on consacre du temps à l’enseignement des mathématiques, plus les élèves réussissent au test.
1.2.2. Contexte de la classe
Selon Mullis et coll. (2012), sept facteurs sont liés au contexte de la classe: la formation initiale et continue des enseignants, les caractéristiques personnelles de l’enseignant comme l’âge et ses expériences, les caractéristiques de la classe, les instruments technologiques, les matières du curriculum enseignées, les activités et les stratégies mises en œuvre par les enseignants, les techniques et les types d’évaluation utilisés en classe.
En Iran, le nombre des élèves scolarisés a augmenté de manière rapide depuis 1980 (Naghibi-Beidokhti, 2008). C’est pourquoi diverses stratégies ont été élaborées et de nombreux centres de formation ont été créés. Selon le même auteur, pour répondre à cette évolution, le ministère de l’Éducation en Iran a engagé des enseignants qui n’ont pas reçu une formation suffisante. Ceci est notamment vrai pour quelques enseignants du primaire qui ne possèdent qu’un diplôme d’études secondaires. Cela signifie que la formation des enseignants peut être un facteur important dans le rendement des élèves iraniens.
Depuis l’évaluation de 1995, le rapport de TIMSS a proposé la nécessité d’effectuer plusieurs modifications dans le système éducatif iranien. Effectivement, le programme et les objectifs de l’enseignement des mathématiques et des sciences ont été réévalués suivant ces propositions. Par exemple, une analyse de la performance des élèves de quatrième et de huitième année en mathématiques a montré des faiblesses dans certains domaines. Au niveau primaire, les élèves ont eu des difficultés à travailler avec des fractions et avec la pensée visuelle, tandis qu’à l’étape secondaire inférieure, les élèves ont eu des difficultés avec la pensée algébrique et les statistiques (par exemple, l’interprétation des diagrammes et des graphiques). Ces constats ont été communiqués aux planificateurs des programmes et
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aux éditeurs des manuels scolaires. En plus, des manuels scolaires des pays performants aux TIMSS ont été consultés pour suggérer des révisions des manuels scolaires iraniens (Mullis et coll., p.416).
La conception du manuel scolaire iranien de mathématiques respecte-t-elle les exigences internationales et jusqu’à quel point les modifications suggérées par les chercheurs de TIMSS ont été mises en œuvre dans le manuel scolaire iranien?
1.3. Rôle du manuel scolaire
Le manuel scolaire est l’un des facteurs intérieurs à l’école qui peut avoir une grande influence sur le rendement des élèves, surtout en mathématiques. D’une part, parce qu’il constitue la première référence scientifique pour les élèves, de l’autre, parce qu’il contient en lui une transposition didactique du savoir savant. En fait, les études de TIMSS montrent que les enseignants consacrent la moitié du temps en classe à travailler avec les manuels scolaires (Schmidt, McKnight & Raizen, 1996). Ceci témoigne de l’importance d’analyser en profondeur ce support pédagogique.
Les manuels scolaires en effet jouent un rôle important dans l’enseignement-apprentissage des mathématiques, car ils identifient et organisent les contenus pour faciliter leurs exploitations par les élèves. Ils spécifient également la structuration des leçons et proposent des exercices et des activités appropriées. Dans certains cas, ils fournissent une interprétation des mathématiques pour les enseignants, pour les élèves et pour leurs parents. En outre, ces supports occupent une grande place dans les réformes éducatives, car ils constituent l’outil premier qui sert à la mise en œuvre d’un nouveau programme d’études dans de nombreux pays (Valverde et coll. 2002). Selon Heyneman (2006), même avec l’essor flagrant des technologies éducatives, le manuel scolaire reste le moyen le plus efficace pour apprendre. Selon le même auteur, il faut analyser son rôle, sa fonction et son contenu. Van den Heuvel-Panhuizen (2000), affirme qu’aux Pays-Bas le manuel est considéré comme une clé pour l’amélioration de l’enseignement des mathématiques dans le sens où il outille les enseignants et les guides dans leurs démarches. Ceci ne signifie aucunement que les enseignants doivent rester attachés aveuglément à la structure proposée par le manuel. Remillard (2000), en analysant l’utilisation du même manuel scolaire par
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deux enseignants, souligne que leurs lectures du contenu étaient sélectives, différentes et interprétatives. Chacun d’eux, ajoute-t-il, puise dans le manuel scolaire les éléments qui se rapportent sa propre perception.
À l’échelle internationale, une grande part des enseignants de mathématiques se basent sur les manuels pour élaborer et mettre en œuvre des activités d’enseignement-apprentissage en classe (75 % et 77 % pour la quatrième et la huitième année, respectivement), selon Mullis et coll. (2012). Les cahiers d’exercices, les feuilles de travail et les autres matériels occupent une place secondaire (Mullis et coll. 2012). Dans le contexte éducatif de l’Iran, les mêmes auteurs affirment que 95 % des enseignants se basent fondamentalement sur le manuel scolaire.
En fait, dans le contexte de l’école iranienne, le manuel scolaire représente l’outil principal utilisé par les enseignants (TIMSS, 2011). Il s’agit à la fois d’un support de réflexion et d’un guide pertinent pour la préparation et la gestion de la classe en Iran. C’est un support uniformisé par le ministère de l’Éducation de l’Iran. Tous les élèves et tous les enseignants suivent donc une seule référence écrite. Cela renforce l’importance d’analyser les points forts et les défaillances probables de cette ressource pédagogique.
La recherche d’Ekimova (2005) montre également que les enseignants ont tendance à suivre le manuel scolaire à la lettre. Cette prégnance des manuels nous invite à une réflexion plus approfondie sur la pertinence didactique des manuels scolaires de mathématiques en ce qui concerne la répartition des contenus de différents domaines, ainsi que sur la pertinence des activités proposées, en rapport aux contenus présents dans les questions mathématiques de TIMSS.
1.4. Résultats des analyses préalables
En référence aux résultats publiés par l’IEA et révisés par Foy, Arora et Stanco (2013), nous avons calculé l’écart entre le taux de réussite internationale et celui des élèves iraniens aux items du TIMSS 2011. Puis nous avons classé les items en question selon le domaine mathématique auquel ils appartiennent (voir le tableau de l’annexe 1). Ce tableau renseigne en effet sur quatre éléments: le taux de réussite à l’échelle internationale aux questions
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mathématiques du TIMSS 2011, le taux de réussite des élèves iraniens aux mêmes questions, l’écart entre ces deux taux par rapport aux items du TIMSS et le domaine mathématique auquel appartient la question. Notre objectif consiste à repérer par cette classification le domaine mathématique où l’écart est le plus significatif, c’est-à-dire où les élèves iraniens ont plus de difficultés. Par exemple :
Numé ro d e la q u estion ID de qu estion s B loc de qu estion s T au x d e la m oye n n e in te rn ation ale ( %) T au x d e la m oye n n e d es é lève s irani en s É car t Domaines mathématiques (N: Nombres, PS: Probabilités et statistique, A: Algèbre, G : Géométrie) 1 M032166 M01_01 57 % 39 % -18 % N 2 M032721 M01_02 40 % 32 % -8 % PS 3 M032757 M01_03 60 % 60 % 0 A 4 M032760 A M01_04A 31 % 24 % -7 % A
Tableau 2 : Écart entre la performance des élèves iraniens et ceux des autres pays selon le domaine mathématique
Ensuite, nous avons calculé la moyenne des écarts pour chaque domaine (voir le tableau ci-dessous). Les données de la deuxième colonne correspondent à l’écart (la différence) entre le taux de réussite international et celui des élèves iraniens.
Domaine mathématique Écart
Nombres -13.9 %
Algèbre -10.6 %
Géométrie -8 %
Probabilités et Statistiques -11.4 %
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Nous remarquons, suivant les données de ce tableau, que l’écart moyen entre le taux de réussite international et celui des élèves iraniens est assez stable pour tous les domaines mathématiques et à peu près 10 % plus bas que le taux de réussite international.
À l’étape suivante, nous avons aussi analysé les questions de TIMSS, afin de décrire les domaines mathématiques présents dans les questions. Cette démarche nous a permis d’avoir la répartition des questions du test selon les domaines mathématiques. Puisque les contenus à apprendre ne sont pas décrits par les programmes, mais déterminés par le manuel scolaire, nous avons analysé la répartition des contenus mathématiques dans cet outil pédagogique à partir des tables des contenus et du nombre des pages attribuées à chaque domaine mathématique. Dans le tableau suivant, nous présentons la répartition des questions de TIMSS selon les domaines mathématiques, ainsi que le nombre de pages consacrées à chaque domaine dans le manuel scolaire. Les données de ce tableau nous permettent de les comparer et de tirer une première conclusion sur la correspondance entre les contenus mathématiques des questions de TIMSS et ceux des manuels scolaires.
Domaines mathématiques Nombre de
questions du test
Nombre de pages consacrées au domaine dans le manuel scolaire
Fraction et sens du nombre 20 40
Algèbre 30 46
Géométrie 22 45
Présentation des données, analyse et probabilités
18 5
Tableau 4 : Répartition des questions et des contenus du manuel par domaine mathématique
La lecture de ces données montre que le nombre de pages consacrées dans le manuel scolaire aux domaines du nombre, de l’algèbre et de la géométrie est presque deux fois plus élevé par rapport au nombre des questions se rapportant au même domaine dans le test TIMSS 2011, alors que le nombre de questions portant sur les Probabilités est très réduit dans le manuel scolaire (5 pages seulement).
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Il ressort de cette analyse que la répartition des questions du test de TIMSS 2011 selon le domaine n’est pas en proportion avec le nombre de pages consacrées à chaque domaine dans le manuel iranien. Le test donne une importance presque égale à tous les domaines mathématiques, tandis que le manuel scolaire iranien donne moins d’importance à la présentation des données, à l’analyse et aux probabilités.
Ceci nous amène à nous demander jusqu’à quel point les contenus du test TIMSS 2011 correspondent aux contenus du manuel scolaire iranien. Autrement dit, peut-on évaluer la réussite scolaire des élèves iraniens en mathématiques en administrant un test standard et international?
Une observation préliminaire portant sur les questions du test (et sur leur nombre) et les contenus du manuel à analyser, nous a amenés à être plus réalistes quant au choix du contenu à étudier. Compte tenu des limites de notre recherche, nous avons décidé de sélectionner pour notre analyse un domaine mathématique particulier parmi les quatre domaines référés dans les questions du test.
Par ailleurs, l’analyse des résultats préliminaires portant sur le taux de réussite aux questions de TIMSS et sur la répartition des domaines mathématiques sur le manuel scolaire (voir les sections 5.1 et 5.2.1), ne permet pas de privilégier un domaine par rapport à un autre. Nous n’avons pas choisi d’analyser les données associées au domaine « Statistique et probabilité », car il sera très facile d’associer le rendement faible des élèves à cette non-correspondance entre le nombre des questions du test et le nombre de pages consacrées à ce domaine.
Dans notre projet de recherche, nous avons choisi d’analyser la géométrie dont le nombre de questions la fait correspondre au quart de toutes les questions du test de TIMSS 2011. Le manuel scolaire accorde ainsi une grande importance aux contenus géométriques (45 pages sur 91). Nous pouvons donc avoir suffisamment de données pour l’analyse. Parmi les deux niveaux scolaires ayant participé au TIMSS 2011, soit la quatrième et la huitième année, nous avons choisi celui dans lequel les concepts mathématiques sont plus développés, soit la huitième, ce qui nous aidera à distinguer les questions géométriques des autres domaines mathématiques.
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Cette décision a influencé le choix des théories qui nous permettront d’analyser les contenus des questions du test et du manuel.
1.5. Questions de recherche
Admettant qu’il serait difficile, voire impossible d’analyser tous les facteurs qui peuvent être à la source du faible rendement des élèves iraniens en mathématiques, nous examinerons dans notre recherche de maîtrise un seul facteur en rapport au contexte iranien. Plus précisément, nous étudierons les contenus mathématiques du manuel scolaire. Nous supposons la présence d’une correspondance insuffisante entre les contenus du manuel scolaire de mathématiques de 8e année et les questions posées par les épreuves de TIMSS 2011. C’est cette correspondance que nous tenterons d’examiner. Notre question générale est la suivante : Est-ce que les contenus géométriques du manuel scolaire de 8e
année de l’Iran correspondent aux exigences de TIMSS 2011?
Pour répondre à cette question générale, nous posons les questions spécifiques suivantes :
- Est-ce que les concepts géométriques présents dans les questions de TIMSS se trouvent dans le manuel scolaire?
- Comment les connaissances géométriques exigées par TIMSS 2011 sont-elles présentées dans le manuel iranien de 8e année? Le manuel iranien présente-t-il ces connaissances de manière explicite ou implicite?
- Les items de TIMSS 2011 et les questions du manuel iranien de 8e année exigent-ils les mêmes niveaux de raisonnement géométrique? Ces niveaux sont-ils répartis équitablement entre ces deux sources?
Nous tenterons à la fin de cette comparaison d’identifier des liens de causalité possible entre les contenus du manuel scolaire de 8e année et le faible rendement des élèves iraniens au TIMSS 2011.
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2. Cadre théorique
Le cadre théorique sur lequel prend appui le traitement de nos questions de recherche se base essentiellement sur notion de preuve en géométrie et sur la manière de présenter les connaissances dans un manuel scolaire : explicite et implicite. Pour la notion de preuve, la classification des niveaux de raisonnement en géométrie, en particulier la grille d’analyse de Tanguay (2002), nous fournira les outils nécessaires pour classifier les niveaux de raisonnement exigés par les questions géométriques. Pour le mode d’enseignement, nous clarifions les critères qui permettent de classifier les questions selon le mode de présentation qu’elles mettent en œuvre : explicite ou implicite. Le cadre théorique de Van-Hiele (1959) nous permettra d’expliquer les difficultés des élèves et certaines erreurs qu’ils commettent dans la résolution de problèmes géométriques en référant aux activités d’apprentissage nécessaires pour le développement progressif de la pensée géométrique de l’élève.
2.1. Modes d’accès aux connaissances géométriques
Le processus général de l’apprentissage des mathématiques est un processus progressif qui va des activités pratiques à des activités plus théoriques (Balachef, 1987). En apprentissage de la géométrie, Houdement (2000) et Kuzniak (2000) soutiennent, pour leur part, la présence de trois opérations fondamentales : l’intuition, l’expérience et la déduction. En identifiant le mode d’acquisition d’une nouvelle connaissance, qui est étroitement lié à la solution naturelle d’une situation problème, nous pourrons plus facilement comprendre la logique sous-jacente de la manière de classer des preuves.
L’intuition fournit à l’élève une théorie première et immédiate basée sur un ensemble d’évidences (Houdement et Kuzniak, 2006). Cette opération élimine les incertitudes rencontrées par l’élève et lui permet de structurer une situation en un tout cohérent sur lequel il basera son raisonnement. Cette structuration des faits par l’intuition, affirment les mêmes auteurs, ne devrait pas être confondue avec la perception, même si les premières intuitions géométriques sont généralement perceptives.
L’expérience, quant à elle, n’est pas un processus immédiat (Houdement et Kuzniak, 2006). Selon ces auteurs, elle nécessite une deuxième opération mentale qui permet de justifier ou
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de valider une proposition issue de l’intuition. Par exemple, « si l’affirmation "par deux points distincts passe une seule droite" est une propriété presque toujours intuitive, il n’en est pas de même de la somme des angles intérieurs d’un triangle est un angle plat » (Houdement et Kuzniak, 2000, p. 95). L’élève doit, en fait, la vérifier (soit, à l’aide d’un rapporteur, trouver la somme des trois angles d’un triangle, soit démontrer, en référant aux énoncés étudiés préalablement, les propriétés des angles créées par deux droites sécantes et par deux parallèles coupées par une sécante). Cette expérience s’organise généralement à partir de son intuition. L’expérience, dans cette perspective, enrichit l’intuition, qui à son tour structure l’expérience comme dans le schéma suivant donné par Sambotte (2011):
Figure 1 : Relation réciproque entre l’expérience et l’intuition
La déduction, enfin, s’appuie sur le raisonnement (Houdement et Kuzniak, 2006). Ces mêmes auteurs soutiennent que la déduction consiste à tirer des nouvelles connaissances à partir d’autres, sans recourir à une nouvelle expérience ou à une autre source extérieure. La déduction permet donc de réorganiser les apports de l’expérience. C’est une démonstration fondée sur une axiomatique de base dont la source est le raisonnement déductif, ou sur des constructions dont la source est le raisonnement constructif, ou même sur une évidence déduite des observations (Houdement et Kuzniak, 2006).
2.2. Niveaux de raisonnement géométrique
Dans son article, Tanguay (2002) s’intéresse à l’élaboration d’un instrument pour classifier les différentes preuves géométriques. Selon Hanna (1983), la preuve est souvent considérée comme un outil servant à établir la vérité. Tanguay examine ladite notion à travers l’analyse de problèmes géométriques présents dans la collection de manuels mathématiques du secondaire (Breton, 1994, 1995, 1996, 1997, 1998, 1999).
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L’élaboration d’une typologie de preuves est inspirée des travaux de Balacheff (1987), Barbin (1988), Brousseau (1998), Hanna (1995) et Rouche (1989). À partir de divers points de vue, épistémologiques et didactiques, sur la notion de preuve, Tanguay (2002) présente quelques schémas de bipolarisation relativement à cette notion.
Dans le premier schéma, qui est issu d’une approche historico-épistémologique, les deux extrémités de cette bipolarisation s’opposent par le fait que dans le premier pôle, l’objet de preuve est de convaincre quelqu’un de la vérité d’une idée - tel que procédaient les Grecs - tandis que le deuxième objet de preuve est d’expliquer pourquoi l’idée est vraie.
Figure 2 : Bipolarisation de la notion de preuve selon l’approche historico-épistémologique (Tanguay, 2002)
Du point de vue didactique, la bipolarisation est basée sur le plan de source de validation, et la notion de preuve prend d’abord la forme d’une application directe d’une consigne ou d’une formule, ce qui est plus sensible et moins intellectuel, tandis qu’à la fin, cette notion se présente plus comme une chaîne de quelques résultats successifs qui se produisent par déduction.
Figure 3 : Bipolarisation de la notion de preuve selon la source de validation (Tanguay, 2002)
Selon cette idée, il y a d’abord trois catégories principales déterminées selon que la source de validation est le sensible, une argumentation raisonnée articulée sur le sensible ou le raisonnement logico-déductif. Dans chacune de ces trois catégories se situent respectivement deux autres catégories comme dans le tableau ci-dessous:
20 Le sensible
1. Le jugement d’une seule venue
2. L’induction empirique
Une argumentation raisonnée articulée sur le sensible
3. L’expérience mentale
4. L’argument empirico-déductif
Le raisonnement logico-déductif
5. La déduction locale
6. L’enchaînement déductif
Tableau 5 : Regroupement des niveaux de raisonnement
Tanguay (2002) ajoute à ces six catégories une autre, intitulée « application directe». Nous allons expliquer brièvement chacune des catégories citées au-dessus :
a. Application directe
Les problèmes géométriques dans ce cas, prennent une application directe d’une consigne, d’une formule ou d’une définition. Aucune création, déduction ou induction ne s’applique pas dans cette catégorie des problèmes dont leur solution prend une application directe.
b. Jugement d’une seule venue
Les questions géométriques mises dans cette catégorie demandent l’exercice d’un jugement basé sur l’intuition de l’élève et non sur sa déduction ou son induction. Ce jugement semble évident de point de vue d’élève. En fait, ce jugement peut commencer et aider l’apprentissage d’un principe ou d’une vérité. Il y a deux remarques importantes sur cette sorte de preuve :
- On peut discerner visuellement et anticiper le résultat visé.
- Il n’y a aucun doute dans la pensée lors de réalisation de ce résultat en considérant tous les cas possibles.
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c. L’induction empirique
Cette manière de prouver une vérité s’applique à des résultats ou à des principes que l’élève ne peut pas voir ou trouver facilement. Donc il commence à mesurer, comparer ou bien essayer de trouver une loi ou un principe par des expérimentes empiriques.
d. L’expérience mentale
Il s’agit d’une sorte de raisonnement intellectuel qui n’est pas une déduction ou une induction, mais plutôt une démarche rationnelle et en même temps intuitive. Selon Tanguay (2002) : « On cherche à ramener le résultat en cause à des « évidences plus fondamentales», sans que ces évidences soient énoncées explicitement, sans même nécessairement qu’elles soient intérieurement formulées. » (p. 379)
e. L’argument empirico-déductif
Il s’agit de la forme la plus avancée du raisonnement qui n’est pas encore devenue une déduction, mais en même temps elle n’est plus aussi dépendante de l’intuition comme point de départ. Plus précisément, les éléments ou bien les résultats validés par perception ou intuition, s’enchainent par ce que Rouche (1989, cité par Tanguay, 2002, p. 380) appelle une pensée discursive, pour prouver un énoncé.
f. La déduction locale
Il s’agit de la plus simple sorte de déduction formelle dans laquelle, à partir de quelques hypothèses déjà acceptées et de leur combinaison, s’acquiert un nouveau résultat.
g. L’enchaînement déductif
La preuve prend sa forme la plus organisée et logique par l’enchaînement déductif, qui nécessite que les étapes hiérarchisées de raisonnement s’acquièrent chacune par les règles et les résultats logiquement validés aux étapes précédentes.
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2.2.1. Grille d’analyse
À partir de cette classification des preuves, Tanguay a établi une grille dans laquelle les classes de problèmes géométriques indiquées par les lettres A, B, C, G, H, M et N correspondent respectivement à une sorte de preuve (voir la section précédente). À titre d’exemple, la catégorie A, correspond à une variété de problèmes géométriques, dont les solutions se limitent à l’application directe d’une formule ou d’une consigne.
Remarque 1 : Problèmes de frontières et problèmes avec difficultés surajoutées
Parmi les problèmes géométriques, il y a des problèmes qui se classent dans deux catégories en même temps. Dans le cas de tels problèmes, Tanguay (2002), leur a donné l’indice des deux catégories liées. Par exemple, le problème indiqué par MA désigne un problème qui est principalement dans la catégorie M, mais en même temps possède partiellement les caractères de la catégorie A.
Pour optimiser la grille d’analyse, Tanguay (2000) ajoute cinq sous-catégories auxiliaires à sa grille; X’algèbre, X’conception, X’perception, X’définition, et X’dessin-figure. Ces derniers couvrent les problèmes contenant des éléments qui causent les difficultés surajoutées. À titre d’exemple, la sous-catégorie B’dessin-figure couvre les problèmes dont leurs preuves (ou solutions), à part du raisonnement, nécessitent une interprétation inhabituelle de la figure ou du dessin soumis à l’élève. Les problèmes de la visualisation prennent place à ce niveau.
Dans notre projet de recherche, nous avons éliminé quelques sous-catégories selon les raisons suivantes:
X’algèbre : Nous n’avons pas besoin de cette sous-catégorie, car nous voulons seulement nous concentrer sur la géométrie.
X’définition : Nous supposons que l’élève n’a pas de problème au niveau de ce qu’il a déjà appris et mémorisé.
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Remarque 2 : Le nombre de déductions dans la catégorie N (Enchaînement déductif)
À la base du nombre minimal de déductions par lequel le problème se résout, on ajoute un chiffre comme l’indice de N. Par exemple N3 montre qu’il faut au moins appliquer trois fois des déductions dans la chaîne déductive exigée par problème.
2.2.2. Pertinence de la grille de Tanguay
Pour montrer la pertinence de la grille de Tanguay par rapport à notre recherche, nous nous référons aux résultats issus de l’analyse de Tanguay de la collection des manuels mathématiques du secondaire (Breton, 1994, 1995, 1996, 1997, 1998, 1999).
La classification des problèmes à partir de cette grille et l’analyse qui en découle ont permis à Tanguay de conclure que les aspects de l’apprentissage de la preuve sont mal « gérés » dans la collection de manuels analysés. La progression dans ce processus n’est pas suffisamment graduelle du sensible à la preuve formelle et il y a une prépondérance des applications directes et des déductions locales sur les séquences déductives qui ne favorisent pas le développement du raisonnement déductif.
Son analyse montre une très nette prédominance des problèmes des catégories A et B (2186 problèmes sur un total de 2344, 93 % de tous les problèmes) à tous les niveaux :
- 82 % des problèmes en secondaire I;
- 88 % en secondaire II;
- 91 % en secondaire III;
- 68 % en secondaire IV;
- 36 % en secondaire V (50% de catégorie M, Ma, Mb).
Les problèmes proposés dans la collection, selon Tanguay, ainsi que le contexte dans lequel ils sont formulés, ne sont pas suffisamment favorables à l’essor d’une véritable « attitude de preuve » parce que :
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- soit que le résultat soit trop facile d’accès à l’intuition ou à la perception (ce que reflète entre autres le grand nombre de problèmes de catégorie B);
- soit que la formulation « tue » l’éventuel questionnement, morcelant ce qui aurait dû être un problème des catégories C, G ou H en une suite d’exercices de catégories A et B.
Tanguay (2002) responsabilise les auteurs des manuels scolaires qui semblent privilégier les problèmes et les exercices dans lesquels l’élève ne mobilise qu’une pensée directe, ou le mode d’apprentissage par la répétition (ce que les enseignants et les enseignantes appellent dans leur jargon « la drill »). Il affirme aussi que les problèmes de construction sont absents de la collection, alors que les exercices de tracé sont nombreux.
Même si dans certains problèmes de la catégorie M, écrit cet auteur, l’inférence demandée est de l’ordre de la déduction pure, elle ne fait intervenir qu’un ou deux résultats vus peu auparavant. Or, l’adéquation de ces résultats au cas de figure en cause est mentalement presque toujours d’une seule venue. Et la « déduction » dans ce cas ne signifie pas la « sophistication de la pensée », car la validation de l’élève s’appuie sur sa mémoire (un résultat déjà vu, problème de la catégorie B).
Tanguay conclut que peu de problèmes sont abordés de façon à solliciter une véritable interpellation, à déstabiliser l’élève, à susciter des appréhensions ou compréhensions divergentes, à provoquer un débat et que le rapport de l’élève aux mathématiques en est un d’application (problèmes des catégories A, B et même M), plutôt que de réflexion.
La grille d’analyse de Tanguay permet de classifier les questions mathématiques, selon les niveaux de raisonnement exigé. Et ce faisant nous comparons les niveaux de raisonnement exigés par nos deux sources : le manuel et TIMSS 2011.
2.3. Implicite ou explicite
Dans notre recherche, nous vérifions aussi la présence et la façon de présenter dans le manuel les connaissances demandées par TIMSS 2011. Nous entendons des façons de présenter les connaissances, les façons implicites et explicites qui peuvent aboutir
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naturellement à un apprentissage implicite ou explicite des mathématiques. C’est pour quoi, pour analyser les questions des manuels scolaires, nous ajoutons le critère du mode de présentation. Existe-t-il une différence entre la présentation implicite et explicite de la géométrie? Et en quoi ce facteur est-il important dans la comparaison de deux supports didactiques ?
Reber (1967) classe les mécanismes de l'apprentissage en deux catégories: implicite et explicite. L’apprentissage explicite est un apprentissage qui implique la conscience et l'effort de celui qui apprend, alors que l’apprentissage implicite est largement indépendant de la conscience. La distinction entre ces deux mécanismes trouve son origine dans le domaine de psychologie et s’appuie effectivement sur la présence des opérations conscientes dans le processus d’apprentissage. Selon Ellis (1994), l’apprentissage implicite est généralement défini comme l'acquisition des connaissances sur la structure sous-jacente d'un environnement par un processus qui se déroule naturellement, simplement et sans opération consciente, tandis que l'apprentissage explicite est caractérisé par un fonctionnement plus conscient où l'individu fait et teste des hypothèses en recherchant une structure.
La connaissance implicite est généralement acquise au cours de nombreux épisodes différents. Par exemple, apprendre à faire du vélo serait un exemple d'un apprentissage implicite, car il n’y a généralement pas un moment particulier dans le temps qui nous permet de dire quand j'ai appris à faire du vélo; la connaissance est acquise lentement au fil du temps (Ellis, 1994). Dans notre projet de recherche, l’enseignement explicite renvoie à un enseignement visant un apprentissage intentionnel, clair et structuré. Par contre, l’enseignement implicite correspond à une sorte de présentation de connaissances qui se déroule au cours de l’enseignement explicite d’un autre sujet. Le sujet mathématique qui peut être appris implicitement n’est pas un sujet principal de l’enseignement, mais fait partie de la démarche d’apprentissage ou de la solution obtenue lors de la résolution du problème proposé.
Selon Rosenshine (1986a et 1986b), cité par Gauthier, M. Mellouki, D. Simard, S. Bissonnette et M. Richard (2005), l’enseignement explicite se divise en trois étapes : le modeling ou modelage, la pratique guidée ou dirigée et la pratique autonome ou
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indépendante. Le modelage favorise la compréhension de l’objectif d’apprentissage chez l’élève. La pratique dirigée lui permet d’ajuster et de consolider sa compréhension dans l’action. Enfin, la pratique autonome fournit des occasions d’apprentissage nécessaires à la maitrise et à l’automatisation des connaissances de base. Rosenshine (1982, 1986 et 2002), cité dans Gauthier et coll. (2013), met en relief le rôle de l’enseignement explicite dans l’apprentissage de plusieurs disciplines, y compris les mathématiques. Selon ces auteurs et leurs résultats de recherches, l’enseignement explicite est fortement recommandé comme une approche d’enseignement efficace. Cela ne veut aucunement dire que l’enseignement explicite est la seule méthode à privilégier pour favoriser l’apprentissage des mathématiques. L’approche par découverte ou la résolution d’une situation-problème, par exemple, qui proposent le milieu a-didactique5 d’apprentissage sont aussi des approches qui peuvent favoriser la construction de nouvelles connaissances.
Dans le cadre de notre recherche, nous retenons que la présentation des contenus géométriques dans le manuel scolaire, selon le mode explicite, indique que l’apprentissage doit avoir lieu, alors que pour la présentation selon le mode implicite nous ne pouvons pas être sûrs des contenus de l’apprentissage. Nous savons que le contrat pédagogique entre les élèves et l’enseignant s’installe quand les élèves prennent connaissance des objectifs du cours avant que ce dernier ne commence. Ce contrat s’installe de même entre l’élève et le manuel scolaire quand ce dernier présente explicitement les objectifs et les concepts du contenu présenté.
Dans la section suivante, nous présentons la théorie qui nous donne aussi des indications sur la façon de présenter les concepts géométriques qui sont nécessaires pour le développement de la pensée géométrique et la réussite des élèves en géométrie.
5 Le milieu a-didactique est « l'image dans la relation didactique du milieu "extérieur" à l'enseignement
lui-même » (Brousseau, 1986, p.86). C’est l'ensemble des savoirs, acquis à l'école ou en dehors de l’école, qui sont supposés être connus par l'élève et dont la mobilisation peut aider ce dernier à résoudre une situation-problème.
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2.4. Niveaux de la pensée géométrique : le modèle de Van-Hiele
Le processus d’enseignement-apprentissage de la pensée géométrique doit accorder une attention particulière aux processus cognitifs de l'élève. Nous avons choisi pour notre recherche le modèle de Van-Hiele qui accorde une grande place à l'activité de l'élève dans la construction de la connaissance géométrique. Ce modèle, fruit des travaux de Pierre-Marie Van Hiele et de Dina Van Hiele-Geldof (1957-1959/1984), explique en effet le processus de développement de la pensée géométrique des élèves. En étudiant les problèmes rencontrés par les élèves lors de l’apprentissage de la géométrie, Van -Hiele distingue cinq niveaux cognitifs dans le processus de développement de la pensée géométrique. Selon le modèle proposé, les élèves progressent d'un niveau perceptif vers le niveau plus sophistiqué à travers l’analyse, l’abstraction et la preuve.
Il nous faut mentionner que P.-M. Van Hiele ne donne pas les noms spécifiques aux niveaux. Il décrit 4 niveaux (0-3) et déclare qu’ « on peut probablement distinguer 5 niveaux de pensée en géométrie ». Dans cette section, nous référons aux appellations données aux niveaux dans les recherches postérieures (Shaughnessy and Burger 1985; Crowley, 1987). Les niveaux que les élèves doivent franchir sont les suivants : «la visualisation», «l'analyse», «la déduction informelle », « la déduction formelle» et «la rigueur».
La visualisation
L’élève reconnaît une figure géométrique selon son apparence visuelle. Il considère les figures géométriques comme des entités totales, sans les détails et les attributs. À ce stade, les formes géométriques sont imaginées en relation à ce à quoi elles ressemblent, et non par rapport à leurs attributs et à leurs propriétés.
L'analyse
L’élève analyse les figures et comprend leurs propriétés et attributs. À ce niveau, l’élève peut énumérer toutes les propriétés d'une figure, mais il n’arrive pas à représenter les relations entre les propriétés.
