Analyse des invariants structuraux

Avant d’étudier la dynamique du réseau en utilisant les équations différentielles ordinaires, nous effectuons ici, préalablement, une validation qualitative du modèle qui dépend seulement de la structure du graphe et qui ne nécessite aucun marquage initial du réseau de Petri. Les invariants structuraux qui montrent la cohérence structurale du réseau ont été calculés. Les invariants des réseaux de Petri peuvent être divisés en deux classes : les invariants de places (P-invariants) et les invariants de transitions (T-invariants). Les P-invariants correspondent à la conservation de matière dans le réseau. Les T-invariants décrivent une séquence de transition permettant de ramener le système à son état initial. En partant d’un état donné du système et si toutes les transitions composant un T-invariant sont activées, cette suite de transitions permettra au système de retourner à son état initial. Pour obtenir les invariants, il est nécessaire de calculer la matrice d’incidence. Le logiciel Charlie (Heiner et al., 2015) a été utilisé pour calculer les P-invariants et les T-invariants minimaux.

19 T-invariants minimaux ont été obtenus parmi lesquels 8 sont des T-invariants non triviaux. Les T-invariants triviaux recouvrent 6 invariants composés chacun par deux réactions – une synthèse et une dégradation (des produits des gènes précoces pré-CSP, ComD, ComE, ComAB, ComW et ComXinact) –, et 5 invariants composés de deux transitions représentant les

réactions réversibles (dimérisation de ComD et monomérisation du dimère de ComD, association et dissociation de ComE et de (ComE~P)D des promoteurs PcomC et PcomAB).

Figure 17. Représentation des T-invariants non-triviaux extraits du réseau de Petri.

Tous les T-invariants non triviaux ont été extraits de la figure 16. Les transitions formant chaque T-invariant sont colorées en rouge. Comme pour la figure 16, les coefficients stœchiométriques de réaction ne sont indiqués que lorsqu’ils différent de 1.

Les interprétations biologiques des 8 T-invariants sont les suivantes :

- Le pré-CSP est synthétisé, maturé, exporté et, enfin, le CSP est dégradé (Figure 17A). - ComX est synthétisé dans sa forme inactive, puis est activé suite à son interaction avec

ComW ; puis la forme active est dégradée (Figure 17B).

- ComD est synthétisé, se dimérise puis s’auto-phosphoryle spontanément. Le dimère phosphorylé de ComD phosphoryle ensuite le régulateur de réponse ComE puis est ensuite dégradé. Enfin, grâce à son auto-déphosphorylation, ComE~P retourne sous sa forme initiale ComE (Figure 17C).

- La seule différence avec la description précédente est que la phosphorylation du dimère de ComD nécessite la liaison du CSP (Figure 17D). Ainsi le pré-CSP doit être synthétisé, maturé puis exporté. La transition auto_phospho est remplacée par la transition ComD_phosphorylation.

- ComE~P est produit par le transfert d’un groupe phosphate à ComE à partir d’un dimère de ComD qui s’auto-phosphoryle. Le dimère de ComD consommé est dégradé. ComE~P est séquestré par DprA qui est synthétisé après la transition de ComX de sa forme inactive à sa forme active, suite à son interaction avec ComW. Le complexe DprA-ComE~P est ensuite dégradé (Figure 17E).

- Ce T-invariants est composé de la même suite de réactions que le précédent, sauf que la phosphorylation du dimère de ComD nécessite la liaison du CSP et ainsi la synthèse du pré-CSP, sa maturation et son export (Figure 17F).

- SsbB est synthétisé puis dégradé. Sa synthèse nécessite la transition de l’état inactif à la forme active de ComX via l’interaction de ce dernier avec ComW (Figure 17G).

- DprA est synthétisé puis dégradé. Comme pour SsbB, sa synthèse nécessite la transition de l’état inactif à la forme active de ComX par interaction avec ComW (Figure 17H).

Tous les T-invariants cités ci-dessus ont un sens biologique. Comme chaque transition du réseau compose un T-invariant, notre modèle est donc couvert de T-invariants. Ainsi, chaque réaction du système participe à un comportement élémentaire du système (Koch et Heiner, 2008). Cela constitue une propriété importante car l’état de compétence est un état physiologique transitoire et le système doit retourner à son état initial. Le modèle permet à un système qui est dans un état végétatif, d’entrer de façon transitoire en état de compétence, puis de retourner à son état initial. En d’autres termes, dans le réseau implémenté, si une séquence de transition menant à l’état de compétence existe, cela signifie qu’il existe aussi une séquence de transitions qui permet au système de retourner à l’état initial.

Un P-invariant correspond à un ensemble de places parmi lesquelles la somme de jetons est constante, indépendamment de toute transition pouvant moduler le nombre de jetons sur ces places. Dans le modèle, hormis deux P-invariants qui correspondent à la conservation de jetons entre les différentes formes (libres, actives, inactives) des deux promoteurs PcomC et

PcomAB, aucun P-invariant n’est observé. Ce résultat est cohérent car l’état de compétence est

un état transitoire, contrôlé génétiquement, permettant une reprogrammation cellulaire lorsque la cellule se trouve face à certains stress environnementaux. Ainsi, les protéines nécessaires à la mise en place de cet état physiologique doivent être synthétisées lorsque la cellule entre en état de compétence, puis dégradées lorsque l’état de compétence disparaît pour permettre alors à la cellule de retourner à son état physiologique initial. Il n’y a donc pas de conservation de masse dans l’ensemble du modèle, propriété reflétée par l’absence de couverture de P-invariants sur le réseau. Comme chaque transition représentant la synthèse de chaque composé a été associée à une transition de dégradation, il n’y a pas d’accumulation infinie d’une molécule donnée.

Comme les invariants structuraux calculés valident la cohérence structurale du modèle, le comportement dynamique du réseau a été étudiée dans un second temps. Pour bénéficier des données expérimentales de luminométrie, le réseau a été transformé en équations différentielles ordinaires, en utilisant les cinétiques chimiques.