Analyse en ondelettes continues et discontinues

Les spectres de densité de variance ont mis en évidence l’existence de structures. Les représentations log-log de spectres ont permis d’identifier le caractère hiérarchisé et les corrélations existantes entre ces structures. Afin de vérifier toutes ces observations il a été fait appel à une autre méthode pour mettre en évidence les structures et les liaisons existantes entre elles : c’est l’analyse en ondelettes continues et discontinues.

Le principe de cette méthode consiste à analyser le signal étudié par des fonctions appelées ondelettes qui, par le contrôle de certains paramètres, peuvent varier en amplitude ou en temps tout en respectant leur forme. Ce caractère d’« harmonique » fait que par leur substitution dans le signal, pour des paramètres choisis à une certaine échelle, la transformation en ondelettes, il est possible de mettre en évidence les variations du signal qui apparaissent aux échelles respectives. En variant les paramètres d’ondelettes on obtient les variations du signal à différentes échelles. Les représentations obtenues sont de type temps-échelle. Dans la transformation en ondelettes continues, la fonction analyse le signal en mode continu sur toute la plage d’échelle. La représentation temps-échelle s’appelle scalogramme et l’énergie du signal est représentée en couleurs. Pour la transformation en ondelettes discontinues, appelé aussi analyse multirésolution, le signal est analysé par la fonction, en mode discontinu, suivant des valeurs dyadiques d’échelle. L’échelle dyadique (de type 2n) est une fonction du pas de discrétisation du signal. Le graphique obtenue est une succession de courbes correspondant aux variations du signal pour les échelles respectives.

Depuis leur apparition, l’analyse en ondelettes continues (Grosman & Morlet, 1984) et discontinues (Daubechies, 1992), a été appliquée dans des domaines très variés. Pour le fonctionnement du karst, ces méthodes (Labat et al., 1999a, 1999b) vient constituer un complément aux méthodes classiques (Mangin, 1984). La possibilité d’avoir des représentations espace-échelle et de pouvoir décomposer et isoler certaines composantes du profil représentent des nombreux avantages, comme cela est fait pour les représentations temps-échelle.

En raison de la discrétisation dyadique imposé par la méthode la longueur analysé a été de 512 valeurs (29) pour les profils des grottes Lazului, Closani, Curecea amont et aval, Sarrat dech Méné amont et aval, Izverna et Pène Blanque. Elle est de 1024 valeurs (210) pour les profils de la grotte Touasse Peyrou GCP et PCG et pour le profil de la carrière d’Alas.

Chapitre 2

Pour cette étude on a utilisé l’ondelette de Morlet pour l’analyse en ondelettes continues et l’ondelette Daubechies 20 pour l’analyse multirésolution. La figure 2.12. représente les scalogrammes correspondants aux signaux différenciés.

Relation Géologie - Karstification : l’échelle d’affleurement.

Les premiers constats, confortent les résultats précédents. Les profils de la Grotte Lazului, Closani et Pène Blanque présentent une distribution d’énergie pratiquement exclusive aux grandes échelles. A l’échelle de quelques centimètres, l’énergie est concentrée autour de certaines discontinuités qui vont être traitées un peu plus loin. Pour tous les autres profils de grottes on observe une distribution plus homogène de l’énergie.

En second lieu on voit que, même si on a des structures qui apparaissent à une certaine échelle, elles ne sont pas continues dans l’espace. Par exemple, le profil PCG

Chapitre 2

de Touasse-Peyrou montre clairement l’existence d’un relief à l’échelle de quelques centimètres (coups de gouges) mais ce relief n’est pas distribué de façon continue. A plus grande échelle, au contraire, on peut voir une certaine continuité.

Toutefois, on constate sur presque tous les scalogrammes une transition spatiale entre les structures à petites échelles et celles à grandes échelles. L’exemple le plus démonstratif est celui du profil de la grotte Izverna. On voit que les structures qui apparaissent à l’échelle de 8 cm évoluent dans l’espace vers l’échelle de 32 cm. Ces transitions font penser à des structures générées par le même processus, présent à plusieurs niveaux d’échelles et qui peut passer de l’une à l’autre graduellement. Les structures à petite échelle semblent moduler les structures à grande échelle.

Les discontinuités existantes sur presque tous les profils fournissent un argument supplémentaire pour la présence d’un « processus multiéchelles ». Ces discontinuités montrent une répartition de l’énergie sur une plage très large d’échelle. Elles font partie des structures développées à des échelles différentes. Cela montre le lien avec le processus morphogénétique qui intègre ces discontinuités dans les structures morphologiques existantes aux différentes échelles.

Sur le scalogramme du profil de la carrière les discontinuités sont limitées à une plage d’échelle réduite. De même, on ne voit pas de transitions évidentes entre les échelles. Au niveau d’échelle d’environ 40 cm on observe sur toute la longueur du profil une discontinuité assez évidente entre les structures aux basses et hautes fréquences. Il faut remarquer que cette échelle de 40 cm coïncide à peu près avec le point d’inflexion mis en évidence par l’analyse fractale entre le relief à grande échelle et celui à petite échelle. Pour les profils de grotte ce point d’inflexion est très peu marqué (profil de la grotte Curecea aval) ou pas du tout.

Avec l’analyse multirésolution (fig. 2.13) les structures mises en évidence aux différents niveaux d’échelles (observées déjà par l’analyse spectrale), confirment les observations faites en ondelettes continues. On voit que les pics d’énergie apparaissant aux petites échelles se retrouvent sur les composantes aux échelles supérieures. Les transitions sont moins évidentes sur ce type de représentation, mais on peut voir parfois des pics successifs d’énergie qui se suivent d’une échelle a l’autre avec un certain déphasage dans l’espace.

Relation Géologie - Karstification : l’échelle d’affleurement.

Profil de la Grotte Lazului Profil de la Grotte de Closani

Profil amont de la Grotte de Curecea Profil aval de la Grotte de Curecea

Profil amont de la Grotte de Sarrat dech Mèné Profil aval de la Grotte de Sarrat dech Mèné

Profil de la Grotte d’Izverna Profil de la Grotte du Pène Blanque

4 8 16 32 64 cm 2 128 4 8 16 32 64 cm 2 128 4 8 16 32 64 cm 2 128 4 8 16 32 64 cm 2 128 4 8 16 32 64 cm 2 128 4 8 16 32 64 cm 2 128 4 8 16 32 64 cm 2 128 4 8 16 32 64 cm 2 128 0 25,6 51,2 76,8 102,4 128 153,6 179,2 204,8 230,4 256 cm 0 25,6 51,2 76,8 102,4 128 153,6 179,2 204,8 230,4 256cm

Fig. 2.13. L’analyse multirésolution des profils mesurés (l’axe X – longueur du profil, l’axe Y – échelles spatiales d’analyse).

Chapitre 2

Profil de la Grotte de Touasse-Peyrou: grands coups de gouge

Profil de la Grotte de Touasse-Peyrou: petits coups de gouge

Profil de la carrière d’Alas

307,2 358,4 409,6 460,8 512 4 8 16 32 64 cm 2 128 256 4 8 16 32 64 cm 2 128 256

L’analyse en ondelettes continues et discontinues montre que sur les profils de grotte existent bien des structures pseudo-périodiques qui se superposent à différentes échelles et que ces structures sont interliées par des transitions. Ceci témoigne d’un processus

Fig. 2.13. (cont.) L’analyse multirésolution des profils mesurés (l’axe X – longueur du profil, l’axe Y – échelles spatiales d’analyse).

Relation Géologie - Karstification : l’échelle d’affleurement.