Analyse dimensionnelle et équations aux dimensions

Dans le cas général, la dimension d’une grandeur Q s’écrit sous la forme d’un produit dimensionnel ou équation dimensionnelle, tel que :

𝑑𝑖𝑚 𝑄 = 𝑄 = 𝑇^𝛼. 𝐿^𝛽 . 𝑀^𝛾 . 𝐼^𝛿 . 𝜃^𝜀 . 𝑁^𝜁 . 𝐽^𝜂

où les exposants α, β, γ, δ, ε, ζ et η, qui sont en général de petits nombres entiers positifs, négatifs ou nuls, sont appelés exposants dimensionnels.

Dans le cas de la mécanique classique (objet des 2 prochains chapitres), les grandeurs dérivées que nous utiliserons seront simplement dérivées de la Longueur, de la Masse et/ou du Temps.

Ainsi, si W est une de ces grandeurs dérivées alors l’équation dimensionnelle de Q prendra la forme suivante :

𝑑𝑖𝑚 𝑊 = 𝑊 = 𝑇^𝛼. 𝐿^𝛽 . 𝑀^𝛾 . 𝐼⁰ . 𝜃⁰ . 𝑁⁰ . 𝐽⁰ = 𝑇^𝛼. 𝐿^𝛽 . 𝑀^𝛾 4) Analyse dimensionnelle et équations aux dimensions

Exemple : Dimension d’une énergie

- Étape 1 : connaitre une équation reliant l’énergie aux grandeurs de base 𝐸_𝑐 = 1

2. 𝑚. 𝑣² = 1

2. 𝑚. 𝑑𝑙 𝑑𝑡

Avec 𝒎 : une masse, 𝒅𝒍 : une longueur et 𝒅𝒕 : un temps.

4) Analyse dimensionnelle et équations aux dimensions

Exemple : Dimension d’une énergie

- Étape 1 : connaitre une équation reliant l’énergie aux grandeurs de base 𝐸_𝑐 = 1

- Étape 2 : écrire l’équation dimensionnelle 𝐸_𝑐 = ¹

2 est dit « sans dimension » bien que sa dimension soit notée 1 4) Analyse dimensionnelle et équations aux dimensions

Exemple : Dimension d’une force (F)

- Étape 1 : connaitre une équation reliant la force aux grandeurs de base 𝐹 = 𝑚. 𝑎 = 𝑚.𝑑𝑣

𝑑𝑡 = 𝑚. 𝑑²𝑙 𝑑𝑡²

Avec 𝒎 : une masse, 𝒅𝒍 : une longueur et 𝒅𝒕 : un temps.

4) Analyse dimensionnelle et équations aux dimensions

Exemple : Dimension d’une force (F)

- Étape 1 : connaitre une équation reliant la force aux grandeurs de base 𝐹 = 𝑚. 𝑎 = 𝑚.𝑑𝑣

𝑑𝑡 = 𝑚. 𝑑²𝑙 𝑑𝑡²

Avec 𝒎 : une masse, 𝒅𝒍 : une longueur et 𝒅𝒕 : un temps.

- Étape 2 : écrire l’équation dimensionnelle 𝐹 = 𝑚. ^𝑑²^𝑙

𝑑𝑡² = 𝑚 . ^𝑑²^𝑙

𝑑𝑡² = 𝑀. ^𝐿

𝑇² = 𝑴𝑳𝑻^−𝟐

Remarque : une force peut être exprimée en Newton (N) ou en kg.m.s^-2 4) Analyse dimensionnelle et équations aux dimensions

Quelques règles de calcul dimensionnel

𝑊

^𝑎

= 𝑊

^𝑎

𝑊 × 𝑄 = 𝑊] × [𝑄

𝑑𝑊

𝑑𝑄 = 𝑊 𝑄

4) Analyse dimensionnelle et équations aux dimensions

Quelques règles de calcul dimensionnel

Il existe des grandeurs qui ne peuvent pas être décrites au moyen des sept grandeurs de base mais dont la valeur est déterminée par comptage.

C’est, par exemple, un nombre de molécules, d’entités cellulaires ou biomoléculaires,….

On attribue à ces grandeurs de comptage la dimension un, notée 1.

On parle de nombres sans dimension ou adimensionnés.

𝑊

^𝑎

= 𝑊

^𝑎

𝑊 × 𝑄 = 𝑊] × [𝑄

𝑑𝑊

𝑑𝑄 = 𝑊 𝑄

4) Analyse dimensionnelle et équations aux dimensions

Certaines grandeurs sont définies par un produit dimensionnel dont tous les exposants sont égaux à zéro.

C’est vrai pour une grandeur définie comme le rapport entre deux mêmes grandeurs.

Par exemple, la densité (𝒅) d’un corps solide ou liquide est définie comme le rapport entre la masse volumique du corps considéré (𝜌), et la masse volumique d’un corps de référence : l’eau (𝝆_𝒆𝒂𝒖).

On attribue également la dimension « un », notée 1, à ces grandeurs.

Si l’on reprend l’exemple de la densité :

4) Analyse dimensionnelle et équations aux dimensions

Certaines grandeurs sont définies par un produit dimensionnel dont tous les exposants sont égaux à zéro.

C’est vrai pour une grandeur définie comme le rapport entre deux mêmes grandeurs.

On attribue également la dimension « un », notée 1, à ces grandeurs.

Si l’on reprend l’exemple de la densité :

𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑑 ∶ 𝑑 = 𝜌

𝜌_𝑒𝑎𝑢 = 𝑀. 𝐿⁻³

𝑀. 𝐿⁻³ = 𝑀. 𝐿⁻³. 𝑀⁻¹. 𝐿³ = 𝑀⁰. 𝐿⁰ = 1 4) Analyse dimensionnelle et équations aux dimensions

Certaines grandeurs sont définies par un produit dimensionnel dont tous les exposants sont égaux à zéro.

C’est vrai pour une grandeur définie comme le rapport entre deux mêmes grandeurs.

On attribue également la dimension « un », notée 1, à ces grandeurs.

Si l’on reprend l’exemple de la densité :

𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑑 ∶ 𝑑 = 𝜌

𝜌_𝑒𝑎𝑢 = 𝑀. 𝐿⁻³

𝑀. 𝐿⁻³ = 𝑀. 𝐿⁻³. 𝑀⁻¹. 𝐿³ = 𝑀⁰. 𝐿⁰ = 1

On peut aussi citer le cas des angles, lorsqu’ils sont exprimés en radians, qui sont également traités comme des grandeurs de dimension « un » puisqu’ils découlent du rapport de 2 longueurs.

On leur attribue pour autant une unité : le radian.

4) Analyse dimensionnelle et équations aux dimensions

Il ne faut pas confondre dimension et unité.

Une grandeur physique a une et une seule dimension, en revanche elle peut être exprimée dans plusieurs systèmes d’unités différents.

Exemple :

une force peut être exprimée en Newton (N) ou en kg.m.s^-2 avec 1 N = 1 kg.m.s^-2en unités SI

mais sa dimension sera toujours 𝑴𝑳𝑻^−𝟐 𝐹𝑜𝑟𝑐𝑒 = 𝑴𝑳𝑻^−𝟐

5) Analyse dimensionnelle et équations aux dimensions

Vérification de l’homogénéité d’un résultat.

Conséquence : une équation non homogène est fausse.

Deux grandeurs sont dites homogènes si elles ont la même dimension.

Deux grandeurs exprimées dans deux unités différentes sont homogènes s'il existe entre elles un facteur de conversion sans dimension.

L'homogénéité est nécessaire pour comparer des grandeurs, et pour les additionner/soustraire.

les opérations interdites entre des grandeurs différentes :  ;  ;  Les opérations permises entre des grandeurs différentes : x ; / 4) Analyse dimensionnelle et équations aux dimensions

Exemple : 𝐹 = 𝑚. 𝑎 + 𝐵 − 𝐶 → 𝐹 = 𝑚. 𝑎 = 𝐵 = 𝐶 = 𝑀𝐿𝑇⁻²

La vérification de l'homogénéité d’un résultat est la première chose à faire pour ne pas donner un résultat aberrant.

Vérification de l’homogénéité d’un résultat.

4) Analyse dimensionnelle et équations aux dimensions

L’analyse dimensionnelle permet aussi de prédire une loi physique, à une constante adimensionnelle près, permettant de décrire un phénomène en reliant des grandeurs pertinentes par un produit dimensionnel homogène.

Vérification de l’homogénéité d’un résultat.

4) Analyse dimensionnelle et équations aux dimensions

Le raisonnement typique est le suivant :

1) Je fais l’hypothèse que les grandeurs A, B, C et D sont caractéristiques du phénomène étudié et reliées entre elles par une loi de puissance telle que :

𝐴 = 𝒌 × 𝐵^𝛼 × 𝐶^𝛽 × 𝐷^𝛾 où 𝒌 est une constante adimensionnée Vérification de l’homogénéité d’un résultat.

4) Analyse dimensionnelle et équations aux dimensions

Le raisonnement typique est le suivant :

1) Je fais l’hypothèse que les grandeurs A, B, C et D sont caractéristiques du phénomène étudié et reliées entre elles par une loi de puissance telle que :

𝐴 = 𝒌 × 𝐵^𝛼 × 𝐶^𝛽 × 𝐷^𝛾 où 𝒌 est une constante adimensionnée

2) Pour être correcte, l’équation doit être homogène. Ainsi, l’équation aux dimensions doit s’écrire : [𝐴] = [𝐵]^𝛼× [𝐶]^𝛽× [𝐷]^𝛾

Vérification de l’homogénéité d’un résultat.

4) Analyse dimensionnelle et équations aux dimensions

3) Dans le cadre de la mécanique, les grandeurs A, B, C et D doivent dériver des grandeurs de base L, M, T telles que :

[𝐴] = (𝐿^𝑐𝑀^𝑑𝑇^𝑒)^𝛼× (𝐿^𝑓𝑀^𝑔𝑇^ℎ)^𝛽× (𝐿^𝑖𝑀^𝑗𝑇^𝑘)^𝛾 Vérification de l’homogénéité d’un résultat.

4) Analyse dimensionnelle et équations aux dimensions

3) Dans le cadre de la mécanique, les grandeurs A, B, C et D doivent dériver des grandeurs de base L, M, T telles que :

[𝐴] = (𝐿^𝑐𝑀^𝑑𝑇^𝑒)^𝛼× (𝐿^𝑓𝑀^𝑔𝑇^ℎ)^𝛽× (𝐿^𝑖𝑀^𝑗𝑇^𝑘)^𝛾

→ 𝐿^𝑎𝑀^𝑏𝑇^𝑐 = (𝐿^𝑐𝑀^𝑑𝑇^𝑒)^𝛼× (𝐿^𝑓𝑀^𝑔𝑇^ℎ)^𝛽× (𝐿^𝑖𝑀^𝑗𝑇^𝑘)^𝛾 Vérification de l’homogénéité d’un résultat.

4) Analyse dimensionnelle et équations aux dimensions

3) Dans le cadre de la mécanique, les grandeurs A, B, C et D doivent dériver des grandeurs de base L, M, T telles que :

[𝐴] = (𝐿^𝑐𝑀^𝑑𝑇^𝑒)^𝛼× (𝐿^𝑓𝑀^𝑔𝑇^ℎ)^𝛽× (𝐿^𝑖𝑀^𝑗𝑇^𝑘)^𝛾

→ 𝐿^𝑎𝑀^𝑏𝑇^𝑐 = (𝐿^𝑐𝑀^𝑑𝑇^𝑒)^𝛼× (𝐿^𝑓𝑀^𝑔𝑇^ℎ)^𝛽× (𝐿^𝑖𝑀^𝑗𝑇^𝑘)^𝛾

Par identification, on un système de 3 équations à 3 inconnues : Pour L : 𝑎 = 𝑐𝛼 + 𝑓𝛽 + 𝑖𝛾

Vérification de l’homogénéité d’un résultat.

4) Analyse dimensionnelle et équations aux dimensions

3) Dans le cadre de la mécanique, les grandeurs A, B, C et D doivent dériver des grandeurs de base L, M, T telles que :

[𝐴] = (𝐿^𝑐𝑀^𝑑𝑇^𝑒)^𝛼× (𝐿^𝑓𝑀^𝑔𝑇^ℎ)^𝛽× (𝐿^𝑖𝑀^𝑗𝑇^𝑘)^𝛾

→ 𝐿^𝑎𝑀^𝑏𝑇^𝑐 = (𝐿^𝑐𝑀^𝑑𝑇^𝑒)^𝛼× (𝐿^𝑓𝑀^𝑔𝑇^ℎ)^𝛽× (𝐿^𝑖𝑀^𝑗𝑇^𝑘)^𝛾

Par identification, on un système de 3 équations à 3 inconnues : Pour L : 𝑎 = 𝑐𝛼 + 𝑓𝛽 + 𝑖𝛾

Pour M : 𝑏 = 𝑑𝛼 + 𝑔𝛽 + 𝑗𝛾 Vérification de l’homogénéité d’un résultat.

4) Analyse dimensionnelle et équations aux dimensions

3) Dans le cadre de la mécanique, les grandeurs A, B, C et D doivent dériver des grandeurs de base L, M, T telles que :

[𝐴] = (𝐿^𝑐𝑀^𝑑𝑇^𝑒)^𝛼× (𝐿^𝑓𝑀^𝑔𝑇^ℎ)^𝛽× (𝐿^𝑖𝑀^𝑗𝑇^𝑘)^𝛾

→ 𝐿^𝑎𝑀^𝑏𝑇^𝑐 = (𝐿^𝑐𝑀^𝑑𝑇^𝑒)^𝛼× (𝐿^𝑓𝑀^𝑔𝑇^ℎ)^𝛽× (𝐿^𝑖𝑀^𝑗𝑇^𝑘)^𝛾

Par identification, on un système de 3 équations à 3 inconnues : Pour L : 𝑎 = 𝑐𝛼 + 𝑓𝛽 + 𝑖𝛾

Pour M : 𝑏 = 𝑑𝛼 + 𝑔𝛽 + 𝑗𝛾 Pour T : 𝑐 = 𝑒𝛼 + ℎ𝛽 + 𝑘𝛾

La résolution donne les exposants 𝛼, 𝛽 𝑒𝑡 𝛾 recherchés.

Vérification de l’homogénéité d’un résultat.

4) Analyse dimensionnelle et équations aux dimensions

Exemple : Estimation du temps de chute d’un objet supposé ponctuel.

Paramètres pertinents : m, h, g

𝑡 = 𝒌 × 𝑚^𝛼 × ℎ^𝛽 × 𝑔^𝛾 où 𝒌 est une constante adimensionnée

Pour être correcte, l’équation doit être homogène. Ainsi, l’équation aux dimensions doit s’écrire : [𝑡] = [𝑚]^𝛼× [ℎ]^𝛽× [𝑔]^𝛾

Exemples d’applications

4) Analyse dimensionnelle et équations aux dimensions

Exemple : Estimation du temps de chute d’un objet supposé ponctuel.

Paramètres pertinents : m, h, g

𝑡 = 𝒌 × 𝑚^𝛼 × ℎ^𝛽 × 𝑔^𝛾 où 𝒌 est une constante adimensionnée

Pour être correcte, l’équation doit être homogène. Ainsi, l’équation aux dimensions doit s’écrire : [𝑡] = [𝑚]^𝛼× [ℎ]^𝛽× [𝑔]^𝛾

𝑇 = 𝑀^𝛼 × 𝐿^𝛽 × 𝐿^𝛾𝑇^−2𝛾 = 𝑀^𝛼𝐿^𝛽+𝛾𝑇^−2𝛾 Exemples d’applications

4) Analyse dimensionnelle et équations aux dimensions

Exemple : Estimation du temps de chute d’un objet supposé ponctuel.

Paramètres pertinents : m, h, g

𝑡 = 𝒌 × 𝑚^𝛼 × ℎ^𝛽 × 𝑔^𝛾 où 𝒌 est une constante adimensionnée

Pour être correcte, l’équation doit être homogène. Ainsi, l’équation aux dimensions doit s’écrire : [𝑡] = [𝑚]^𝛼× [ℎ]^𝛽× [𝑔]^𝛾

4) Analyse dimensionnelle et équations aux dimensions

Exemple : Estimation de l’accélération du mouvement circulaire uniforme d’un électron autour d’un proton.

Paramètres pertinents : v, R

𝑎 = 𝒌 × 𝑣^𝛼 × 𝑅^𝛽 où 𝒌 est une constante adimensionnée

Pour être correcte, l’équation doit être homogène. Ainsi, l’équation aux dimensions doit s’écrire : [𝑎] = [𝑣]^𝛼× [𝑅]^𝛽

Exemples d’applications

4) Analyse dimensionnelle et équations aux dimensions

Exemple : Estimation de l’accélération du mouvement circulaire uniforme d’un électron autour d’un proton.

Paramètres pertinents : v, R

𝑎 = 𝒌 × 𝑣^𝛼 × 𝑅^𝛽 où 𝒌 est une constante adimensionnée

Pour être correcte, l’équation doit être homogène. Ainsi, l’équation aux dimensions doit s’écrire : [𝑎] = [𝑣]^𝛼× [𝑅]^𝛽

𝐿𝑇⁻² = 𝐿^𝛼𝑇^−2𝛼 × 𝐿^𝛽 = 𝐿^𝛼+𝛽 𝑇^−𝛼 Exemples d’applications

4) Analyse dimensionnelle et équations aux dimensions

Exemple : Estimation de l’accélération du mouvement circulaire uniforme d’un électron autour d’un proton.

Paramètres pertinents : v, R

𝑎 = 𝒌 × 𝑣^𝛼 × 𝑅^𝛽 où 𝒌 est une constante adimensionnée

Pour être correcte, l’équation doit être homogène. Ainsi, l’équation aux dimensions doit s’écrire : [𝑎] = [𝑣]^𝛼× [𝑅]^𝛽

𝐿𝑇⁻² = 𝐿^𝛼𝑇^−2𝛼 × 𝐿^𝛽 = 𝐿^𝛼+𝛽 𝑇^−𝛼

𝛼 + 𝛽 = 1  𝛽 = 1 − 𝛼 = 1 𝑎 = 𝑘 ^𝑣²

−𝛼= -2  𝛼 = 2 𝑅

Exemples d’applications

4) Analyse dimensionnelle et équations aux dimensions

Exemple : Estimation de la vitesse de propagation d’une onde sur une corde tendue.

La tension, , d’une corde est homogène à une force.

Paramètres pertinents : m, , l (longueur).

𝑣 = 𝒌 × 𝑚^𝛼 × ^𝛽 × 𝑙^𝛾 où 𝒌 est une constante adimensionnée

Pour être correcte, l’équation doit être homogène. Ainsi, l’équation aux dimensions doit s’écrire : [𝑣] = [𝑚]^𝛼× []^𝛽× [𝑙]^𝛾

Exemples d’applications

4) Analyse dimensionnelle et équations aux dimensions

Exemple : Estimation de la vitesse de propagation d’une onde sur une corde tendue.

La tension, , d’une corde est homogène à une force.

Paramètres pertinents : m, , l (longueur).

𝑣 = 𝒌 × 𝑚^𝛼 × ^𝛽 × 𝑙^𝛾 où 𝒌 est une constante adimensionnée

Pour être correcte, l’équation doit être homogène. Ainsi, l’équation aux dimensions doit s’écrire : [𝑣] = [𝑚]^𝛼× []^𝛽× [𝑙]^𝛾

𝐿𝑇⁻¹ = 𝑀^𝛼 × (𝑀𝐿𝑇⁻²)^𝛽× 𝐿^𝛾= 𝑀^𝛼+𝛽 𝐿^𝛽+𝛾 𝑇^−2𝛽 Exemples d’applications

4) Analyse dimensionnelle et équations aux dimensions

Exemple : Estimation de la vitesse de propagation d’une onde sur une corde tendue.

La tension, , d’une corde est homogène à une force.

Paramètres pertinents : m, , l (longueur).

𝑣 = 𝒌 × 𝑚^𝛼 × ^𝛽 × 𝑙^𝛾 où 𝒌 est une constante adimensionnée

Pour être correcte, l’équation doit être homogène. Ainsi, l’équation aux dimensions doit s’écrire : [𝑣] = [𝑚]^𝛼× []^𝛽× [𝑙]^𝛾

4) Analyse dimensionnelle et équations aux dimensions

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