Analyse des gains possibles sur les performances d’estimation

3.3.1 Introduction

Où sont les gains possibles pour l’amélioration des performances sur l’estimation de la hauteur de végétation ? Au vu des résultats obtenus, notamment dans [87], on a le sentiment qu’amélio-rer les estimateurs ne nous permettrait pas de gagner de manière importante en performance car ceux-ci semblent proches d’être efficaces. De plus, on a vu dans les images présentés Fig.3.11 que la précision dépend fortement des valeurs de A et R, et donc dépend de la situation physique considérée.

Dans cette partie, on présente nos résultats sur l’analyse de l’impact de l’ajout de connais-sances a priori sur la précision d’estimation. Cette analyse a été initiée dès [87], puis dans [3], donc avant la détermination des paramètres invariants dans [80]. Néanmoins, il est intéressant de revisiter ces résultats en s’appuyant sur les paramètres invariants A et E pour en tirer une conclusion plus générale que l’étude des cas particuliers traités dans [87,3].

3.3.2 Influence de la connaissance des symétries du sol et

du volume

Comme on l’a mentionné à la section 3.1.4plusieurs travaux portent sur l’amélioration des modèles qui caractérisent les mécanismes de rétro-diffusion. Si on a la connaissance a priori que la surface a une symétrie de réflexion et que le volume a une symétrie azimutale, alors on peut contraindre les matrices Tvol et Tgro et ainsi diminuer le nombre de paramètres inconnus du modèle RVoG de 20 à 9. Ainsi, plusieurs estimateurs fondés sur le maximum de vraisemblance ont été proposés dans [108] en fonction des hypothèses de symétrie du sol et de la végétation.

Pour calculer la précision décrite par la BCR de hvlorsque l’on a la connaissance a priori que les matrices Tvolet Tgrosont contraintes, il suffit de reprendre les calculs en modifiant simplement le vecteur des paramètres inconnus qui est dans le cas contraint de dimension 9. Ainsi la nouvelle

! "# "! $# $! %# %! &# "#^!" "#^# "#^" "#^$ "#^% ' ()*+, "## 6)(.-789):;)<=" A!"#$%& A!"#'& A!"#(& A!"#"%& A hauteur de v´eg´etation hv[m] A A A BCR(hv) [m] BCR(hv|S0) [m]

Figure 3.14 – Comparaison entre la BCR de h_v avec la connaissance a priori des formes contraintes de T_vol et T_gro (9 paramètres inconnus) notée BCR(h_v|S₀) repré-sentée en rouge et celle sans cette connaissance a priori (20 paramètres inconnus) notée BCR(hv) et représentée en bleu. Ces courbes ont été obtenues en faisant varier les paramètres A et hv. Les autres paramètres sont E = 50 [m], β = π/4,

matrice de Fisher est de taille 9 × 9 et la BCR de hv que l’on note dans ce cas BCR(hv|S₀)est forcément plus petite que BCR(hv) qui n’a pas la connaissance que les matrices Tvol et Tgro

sont contraintes. Dans [87,3], nous avons comparé les BCR(hv)(20 paramètres inconnus) et

BCR(hv|S0) (9 paramètres inconnus). Pour illustrer le résultat que nous avons obtenu, on a

tracé plusieurs exemples Fig.3.14, pour différentes valeurs des paramètres invariants hv et A. Les courbes hv 7→ BCR(hv) et hv 7→ BCR(hv|S0)sont quasiment identiques, ce qui montre que la connaissance des propriétés de symétrie n’apporte pas de gain significatif sur la précision d’estimation de la hauteur de végétation.

L’interprétation de ce résultat est délicate. On a néanmoins observé que lorsque la connais-sance porte sur des paramètres non-nuls de Tvolet Tgro, alors l’influence n’est plus négligeable.

3.3.3 Influence de la connaissance de la hauteur

topographique

Dans ce paragraphe, on analyse l’influence de la connaissance a priori de la hauteur du sol

z_g sur la précision de l’estimation de la hauteur de végétation. Même si on ne dispose pas d’un modèle numérique de terrain, analyser l’impact de cette connaissance est intéressant ne serait-ce que pour améliorer notre compréhension du problème d’estimation.

Considérons l’exemple représenté Fig.3.15, qui correspond à une représentation en couleur du résultat obtenu dans [4]. La courbe verte, qui représente la BCR de hv sans connaissance

B C R [m ]

BCR(h

)

BCR(z

)

BCR(h

|z

)

BCR(h

, z

)

!

BCR(h

)BCR(z

)

B

C

R

[m

]

h

Figure 3.15 – Influence de la connaissance a priori de la hauteur de sol zg sur la précision d’esti-mation de la hauteur de végétation hv. Les courbes BCR(hv) et BCR(hv|zg) sont respectivement les BCR de hv sans et avec la connaissance a priori du paramètre

z_g. La courbe marron BCR(zg) est la BCR de zg. La courbe en noir est une cova-riance normalisée entre -1 et 1 (voir axe à droite). Ces courbes ont été obtenues en fixant tous les paramètres sauf h_v. La taille d’échantillon est supposée égale à 100. a priori, présente un minimum local marqué pour une hauteur de végétation notée hloc. Cette hauteur est liée à hoptprécédemment définie, mais on en donne ici une nouvelle interprétation. On observe qu’en ce minimum local, la courbe verte rejoint la courbe bleue, qui correspond à la précision sur l’estimation de h_v quand la hauteur du sol z_g est connue a priori. Dans [4], nous avons interprété ce résultat en montrant que ce minimum très marqué est dû à la très forte corrélation entre l’estimation de hv et l’estimation de zg quand la valeur du paramètre hv est

différente de hloc. Cette corrélation est décrite par la covariance normalisée calculée avec :

η = ^{BCR(hv, zg)}

pBCR(hv)BCR(zg)^{, (3.40)}

où BCR(hv, zg)est le terme anti-diagonal de la matrice I⁻¹_F , alors que BCR(hv)et BCR(zg)se trouvent sur la diagonale de cette matrice.

Lorsque le terme de corrélation normalisée η est positif, une sur-estimation de zgentraine une sur-estimation de hv, alors que quand il est négatif une sur-estimation de zgentraine une sous-estimation de hv. En revanche, quand il est égal à 0, une mauvaise estimation de zgn’entraine pas d’erreur sur l’estimation de h_v. Sur l’exemple traité Fig.3.15, on observe que la méconnaissance de z_ga un impact fort sur la précision d’estimation de h_vdécrite par BCR(h_v)dès que le module de la corrélation est proche de 1. Empiriquement, ceci correspond aux situations où hv est plus petit ou plus grand que hloc.

Une autre caractéristique de la figure Fig.3.15, est qu’après le minimum local, la courbe verte de BCR(hv)augmente rapidement pour rejoindre la courbe marron de BCR(zg).e Ce résultat s’interprète facilement. Lorsque les arbres sont de plus en plus grands, la contribution de l’onde rétro-diffusée qui atteint le sol est de plus en plus petite, par conséquent, si on ne connait pas la hauteur de sol zg, il est de plus en plus difficile d’estimer hv. En revanche, quand la hauteur du sol zgest connue, la précision sur la hauteur de végétation décrite par BCR(hv|zg)change peu lorsque la hauteur de végétation augmente.

3.3.4 Influence de la connaissance des matrices T

et T

Dans ce paragraphe, on continue l’analyse de l’impact des connaissances a priori en s’intéres-sant cette fois aux matrices Tvol et Tgro. Les courbes présentées Fig.3.16montrent qu’en com-paraison avec la connaissance de la hauteur de sol, la connaissance de la matrice Tvol est très intéressante lorsque la hauteur de végétation est petite, par contre au delà du minimum local, l’influence de la connaissance des matrice Tvolet Tvolest moins importante que la connaissance de la hauteur de sol z_g.

Quel est le bilan de l’impact des différentes connaissances a priori ? On peut noter que pour les grands arbres (c’est-à-dire quand h_v plus grand que h_loc) la difficulté pour estimer h_v vient essentiellement de la difficulté à estimer zg. Soulignons que dans [3], on a vérifié qu’un estima-teur de la hauestima-teur de végétation à zgconnu était simple à mettre en œuvre et efficace. De plus, e. En effet quand la hauteur de végétation est très grande, le contribution du sol est faible et le modèle devient approximativement

T11= T22= Tvol/α

T₁₂= eik_z(h_v+z_g)T_vol/(ik_z+ α) ^,

ainsi la connaissance de α (angle d’incidence du RADAR et atténuation du volume) et de k_z (vecteur d’onde du RADAR) permet d’estimer précisément la hauteur de canopée h_cdéfinie par

hc= zg+ hv.

Or si var(bhc) est proche de 0, alors on a

var(bhv) ' var(_bzg) et ^cov(bhv,bz_g) q

var(bhv)var(z_bg) ' −1.

! "# "! $# $! %# %! &# "#^!" "#^# "#^" "#^$ ' ()*+, " # # -./.0.1 2.!)34)" ()567849748.)/:)7;" BCR(hv) ^BCR(hv|Tgro) BCR(hv|Tvol) BCR(hv|Tvol, Tgro) BCR(hv|zg) hv B C R 1 / 2 [m ] 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2

Figure 3.16 – Comparaison des influences des connaissances de zg, Tvolet Tgro sur la précision d’estimation de la hauteur de végétation hv. En magenta, BCR(hv|Tvol, T_gro) représente la BCR de h_v lorsque les deux matrices T_vol et T_gro sont connues. La taille d’échantillon est supposée égale à 100. La valeur de h_v varie, et les autres paramètres sont fixés avec A = 0.2, E = 100 [m], β = π/4, k_z = 0.1 [m⁻¹] et

σ_v= 0.0345 [m⁻¹].

rappelons que les modèles qui relient la quantité de biomasse à l’intensité rétro-diffusée en HV ne semblent plus vérifiés pour les grands arbres [49]. En conséquence, le résultat de l’étude de l’influence de z_gsemble montrer qu’un effort accru sur l’estimation de z_gest une perspective in-téressante pour améliorer l’estimation de h_v, et donc aussi la quantité de biomasse. L’estimation du modèle numérique de terrain par des techniques complémentaires au PolInSAR ou bien le développement d’une approche multi-échelle pour estimer le paramètre zg avec une précision accrue sont donc deux perspectives très intéressantes.

Pour ce qui est de la connaissance des matrices Tvolpour les petits arbres, une application di-recte de ce résultat paraît moins évidente. Néanmoins, l’analyse des estimations des matrices Tvol

et Tgro et de leur précision est de toute façon une perspective intéressante pour une meilleure compréhension des mécanismes de rétro-diffusion dans les données PolInSAR.

3.4 Analyse d’un compromis entre complexité du