Analyse par décomposition ANOVA

Comme expliqué dans la section 6.2.1, un premier échantillonage suffisamment représentatif du modèle numérique est nécessaire. Plusieurs tailles d’échantillons ont été utilisés jusqu’à

6.3. EXPÉRIENCE DE CANON 128

FIGURE 6.3 – Profil de la pression du capteur P5 pour l’expérience de Canon obtenu avec les

modèles à quatre équations et à six équations (à gauche : Θt = 0, à droite : Θt = Θbilicki1, au

centre : Θt= Θbilicki2) T(˚C) P(bar) αv ql q 0 l min 210 30.4 1e−4 -2000000 f(q_l) max 230 33.6 1e−2 -500000 f(ql)

TABLE6.4 – Incertitude du cas Canon

obtenir un métamodèle reproduisant le calcul numérique. Ces échantillonages aléatoires ont été construits par latin hypercube sampling (LHS) (voir [122]). Nous avons alors pu observer qu’un LHS de 800 échantillons était suffisant pour atteindre une bonne précision du métamodèle. Nous allons donc présenter la construction du métamodèle obtenu avec ce LHS.

Comme expliqué dans la section 6.2.2, notre métamodèle est un modèle mathématique qui relie les variables incertaines (pression, température, taux d’impureté et paramètres de l’équa- tion d’état) aux quantités que nous étudions (évolution des pressions aux capteurs P1 et P5 et de la fraction volumique au capteur Pt). Ce métamodèle a été construit, pour les temps 0.01 : 0.01 : 0.8s (un métamodèle pour chaque pas de temps), avec le logiciel UQLAB en utili- sant des polynômes du chaos et en choisissant l’ordre permettant de minimiser l’erreur entre le métamodèle et les calculs CFD.

Deux méthodes ont été utilisées pour vérifier la validité du métamodèle . La première utilise une technique appelée LOO (leave-one-out), où l’on calcule la quantité suivante :

FIGURE 6.4 – Profil de la fraction volumique de vapeur du capteur Pt pour l’expérience de

Canon obtenu avec les modèles à quatre équations et à six équations (à gauche : Θt = 0 , à

droite : Θt= Θbilicki1, au centre : Θt = Θbilicki2)

L00 = ∑i=1,N(M(ϑi) − M

Pc\i_(ϑ i))2

∑i=1,N(M(ϑi) − M(ϑ ))2

. (6.17)

avec M(ϑ ) le résultat numérique et M(ϑ ) la moyenne de toutes les N simulations utilisées c’est à dire : M(ϑ ) = 1 N N

∑

Le terme MPc(ϑ ) quant à lui est le résultat obtenu avec le métamodèle construit en utilisant

tous les échantillons disponibles. Par construction, le métamodèle donne les mêmes résultats que les simulations numériques pour les paramètres des échantillons utilisés lors de sa concep-

tion. Pour cette raison, pour chaque échantillon ϑion construit les métamodèles MPc\i(ϑ ), ces

métamodèles sont contruits de la même manière que le métamodèle MPc(ϑ ) mais en excluant

l’échantillon ϑipour calculer les coefficients uα du métamodèle. On utilise alors le métamodèle

MPc\i(ϑ ) pour calculer l’échantillon ϑi. L’erreur entre ces résultats et les résultats CFD permet

alors de vérifier la consistance du métamodèle pour de nouveaux échantillons. Comme le montre la figure 6.5, où on a représenté la valeur LOO résultant de la construction du métamodèle, les ordres choisis sont associés à un LOO du métamodèle très faible.

6.3. EXPÉRIENCE DE CANON 130

aléatoires puis comparé les résultats du calcul numérique avec les résultats du métamodèle. Sur la figure 6.6, on voit que le métamodèle simule très bien le calcul numérique. On peut tout de même noter quelques défauts pour les plateaux de 0.1 bar mais cette partie n’est pas importante pour la suite de l’étude. Pour avoir une meilleure visibilité de l’erreur de notre métamodèle nous avons calculé l’erreur pour chaque pas de la façon suivante :

L2= v u u t( 79

∑

Cette erreur est représentée sur la figure 6.7. Comme déjà dit l’erreur des pressions à 0.4s devient plus élevée en raison des petites oscillations sur les plateaux de 0.1 bar. Puisque nos erreurs sont calculées en cumulant les erreurs sur les simulations on peut conclure de la figure 6.7 que notre métamodèle reproduit très bien le calcul numérique.

Une fois que le métamodèle est construit et validé, nous pouvons l’utiliser pour calculer les moments statistiques de différentes quantités d’intérêt (moyenne et variance) et effectuer également une décomposition ANOVA. Pour cela nous calculons les indices de Sobol totaux et au premier ordre de notre problème d’incertitude. Comme présenté dans la section 4.2.2, la construction d’un métamodèle permet de déterminer aisément les indices de Sobol. On présente par la suite dans les figures 6.8, 6.9 et 6.10, la variation de la solution considérée à plus ou moins l’écart type, les indices de Sobol au premier ordre et totaux, pour la fraction volumique du capteur Pt, la pression du capteur P1 et la pression du capteur P5, respectivement.

Cela permet d’observer l’influence de chacun des paramètres au cours du temps. On peut conclure que l’incertitude influe surtout dans la zone 0.05 :0.55s.

Les résultats montrent que l’incertitude sur la pression et la fraction volumique a peu d’effet sur la variance de nos quantités d’intérêt. En revanche la température influe un peu sur les résultats tandis que les paramètres de l’équation d’état influent énormément sur le calcul. On voit en outre un léger effet couplé entre la température et les paramètres de l’équation d’état. En effet, les variances associées à la température et aux paramètres de l’équation d’état en utilisant les indices totaux sont plus élevées que leur variance en utilisant les indices au premier ordre. Cela vient du fait que les indices au premier ordre prennent uniquement en compte l’effet des paramètres indépendamment alors que les indices totaux prennent aussi en compte les effets couplés entre les variables sur la variance. L’effet couplé entre la température et l’équation d’état vient du fait que ces deux paramètres influent sur l’intensité et la vitesse des transferts de masse et les transferts de masse sont le mécanisme essentiel de l’expérience de Canon.

FIGURE 6.5 – Leave-one-out (L00) du métamodèle construit pour le problème de Canon

FIGURE 6.8 – Figures du haut : profil de la fraction volumique au capteur Pt (en rouge les

résultats expérimentaux, en bleu la moyenne des calculs du LHS et en pointillé les valeurs du LHS en ajoutant et en soustrayant l’écart type à la moyenne). Figures du bas : décomposition ANOVA pour la fraction volumique au capteur Pt pour l’expérience de Canon (1er ordre à gauche, totale à droite)

6.3. EXPÉRIENCE DE CANON 132

FIGURE6.6 – Test de validité du métamodèle

(en rouge le calcul numérique et en bleu le calcul du métamodèle)(de gauche à droite : pression du capteur P5, pression du capteur P1, fraction volumique du capteur Pt)

FIGURE 6.7 – Test de validité du métamo-

dèle : erreur entre les métamodèles et les cal- culs CFD pour le cas Canon

FIGURE 6.9 – Figures du haut : profil de la pression au capteur P1 (en rouge les résultats

expérimentaux, en bleu la moyenne des calculs du LHS et en pointillé les valeurs du LHS en ajoutant et en soustrayant l’écart type à la moyenne). Figures du bas : décomposition ANOVA pour la pression au capteur P1 pour l’expérience de Canon (1er ordre à gauche, totale à droite)

FIGURE 6.10 – Figures du haut : profil de la pression au capteur P5 (en rouge les résultats expérimentaux, en bleu la moyenne des calculs du LHS et en pointillé les valeurs du LHS en ajoutant et en soustrayant l’écart type à la moyenne). Figures du bas : décomposition ANOVA pour la pression au capteur P5 pour l’expérience de Canon (1er ordre à gauche, totale à droite)