Analyse de la couche limite

En fonction des vitesses de l’écoulement au sein de la veine nous avons vérifié ici être en régime laminaire ou début de transition. La faible vitesse de l’écoulement est propice à l’existence, en proche parois, d’une couche limite d’épaisseur importante. On sait aussi que cette couche limite a un rôle important dans les transferts de matière et de chaleur. L’aspect transfert de matière est tout particulièrement important pour nous car le sédiment qui va être « arraché » devrait l’être dans cette couche limite. Il faut donc, en fonction de l’hypothèse « sédiment arraché dans la couche limite », estimer l’épaisseur de couche limite laminaire et évaluer la longueur de son établissement dans la veine avant que celle-ci n’envahisse toute la veine.

Figure 3. 23 : Schéma d’évolution des couches limites dans la veine d'essai

5.1.1. Longueur d’établissement (

Des formulations empiriques permettent de déterminer dans le cas de régimes laminaire et turbulent. Cependant, la plupart des études le permettant ont été faites dans des canaux circulaires ou pour des écoulements en canaux ouverts, ce qui rend délicat l’usage des formulations correspondantes. Toutefois, en première approche et pour information, il est possible d’estimer cette grandeur caractéristique.

- Cas laminaire :

Selon White [77], la longueur d’établissement de l’écoulement est au maximum

et au minimum .

Pour Han [78] les écoulements laminaires dans des canaux rectangulaires sont caractérisés par une longueur d’établissement de la couche limite entre 0,01 et 0,075. Au moyen d’une méthode de linéarisation de l’équation de Navier-Stokes (fig. 3.24 « calculated in present analysis ») il détermine la variation de la valeur de longueur d’entrée en fonction du rapport d’aspect du canal (largeur/hauteur).

Chapitre 3

Figure 3. 24 : La longueur d'entrée en fonction du ratio d'aspect des canaux rectangulaires [78]

Pour notre application, la valeur du rapport d’aspect est proche de 1, ce qui permet de retenir l’approche laminaire suivante :

avec = 0,155 m - Cas turbulent :

Dans le cas turbulent, Ternat [67] souligne que pour déterminer la longueur d’établissement, certains auteurs font usage de la formulation suivante alors que d’autres

préconisent . À partir de ses études, ce dernier démontre que la longueur de

développement ne peut alors être correctement schématisée qu’avec une fonction de puissance ¼ du nombre de Reynolds. Dans notre étude, tout en sachant que pour les vitesses débitantes les plus élevées nous ne faisons qu’aborder le régime transitoire, nous déterminons néanmoins pour information les valeurs Le en régime turbulent ( ), afin de borner le domaine.

Les résultats obtenus pour sont regroupés dans le tableau ci-après.

Vd (m/s) Re ( m) Régime d’écoulement Cas laminaire Cas turbulent 0,005 868 2,55 - laminaire 0,01 1736 5,11 - laminaire 0,015 2604 7,66 1,77 transition 0,02 3471 10,22 1,9 transition 0,025 4339 12,77 2,01 transition 0,03 5207 15,33 2,11 transition

Tableau 3. 7 : Longueur d'établissement dans les différents cas de vitesses débitantes

La longueur de la veine d’essai étant de 0,8 m, cette dernière reste donc inférieure à toutes les longueurs d’établissement de la couche limite estimées. Notre étude est donc réalisée dans une couche limite en développement.

Chapitre 3

5.1.2. Epaisseur de la couche limite

Expérimentalement et au regard des profils de vitesse, on constate que la vitesse nulle en paroi croît régulièrement pour atteindre un palier d’amplitude 0,99 vitesse nominale. Le gradient de vitesse, croissant dans la couche limite, tend donc vers 0 en sa frontière (pente nulle). L’épaisseur de couche limite peut donc être extraite des données des profils expérimentaux en scrutant l’évolution de la variation de la vitesse. Le tableau suivant donne les relevés expérimentaux d’épaisseur de la couche limite dans les différents cas de rugosité et pour les différentes vitesses débitantes.

Vd (m/s) (cm) Vitesse moyenne associée à (m/s) (cm) Vitesse moyenne associée à (m/s) (cm) Vitesse moyenne associée à (m/s) 0,005 3,7 0,00682 3,3 0,00707 3,8 0,00763 0,01 2,4 0,01396 2,4 0,01504 3 0,01495 0,015 2,2 0,02075 2,3 0,0197 2,7 0,02086 0,02 1,9 0,0272 1,9 0,0276 3,3 0,02595 0,025 1,8 0,03308 1,9 0,03614 3,1 0,03056 0,03 1,7 0,03766 1,8 0,04047 2,5 0,03486

Tableau 3. 8 : Epaisseur de la couche limite obtenue expérimentalement dans les différents cas d'étude

On constate bien que l’épaisseur de couche limite expérimentale est conséquente et que dans la zone de mesure, l’arrachement sédimentaire se fera dans cette couche limite. Ce relevé montre également qu’il faudra faire attention à la vitesse nominale au sein de la veine qui, du fait de la couche limite, est resserrée sur une zone de flux nominal réduite de largeur . Cette zone apparaît sous la forme d’un « plat » sur le profil de vitesse dont l’amplitude, du fait de la conservation de débit, peut être supérieure à la valeur nominale débitante relevée sur le débitmètre. Cette vitesse « sur le plat du profil » est parfois nommée « la vraie vitesse » ou « vitesse corrigée » relativement à la vitesse débitante.

L’épaisseur de la couche limite laminaire sur une plaque plane peut également être déterminée en faisant usage de la théorie de BLASIUS : [70]

(3.12) Avec :

- la viscosité cinématique du fluide,

- la distance à la sortie du réseau de pailles,

- la vitesse de l’écoulement principal loin de la paroi, à l’extérieur de la couche limite. Compte tenu des profils expérimentaux des vitesses, la vitesse retenue pour calculer l’épaisseur de couche limite est la vitesse corrigée V corrigée. Pour une vitesse maximale de

Chapitre 3

0,03 m/s, et une viscosité cinématique de 8,93 m2/s, est de l’ordre de 3,4 . La théorie de BLASIUS peut donc être utilisée pour estimer l’épaisseur de la couche limite tout en sachant que lorsque nous sortons du domaine laminaire ce n’est que pour aborder le début de la transition. D’ailleurs nous vérifierons par la suite que, sans aspérités de surface, la caractéristique laminaire de l’écoulement perdure au-delà de la valeur critique Re=2500. Ainsi, pour une distance =545 mm du nid d’abeilles (origine de la plaque), en milieu de zone sédimentaire, l’épaisseur de la couche limite théorique calculée est :

Vd (m/s) (cm) (cm) (cm) 0,005 4,1 4 4,1 0,01 2,8 2,7 2,9 0,015 2,3 2,4 2,5 0,02 2 2 2,2 0,025 1,8 1,7 2 0,03 1,7 1,6 1,9

Tableau 3. 9 : Epaisseur théorique de la couche limite à différentes vitesses débitantes

L’assemblage des résultats expérimentaux et théoriques ci-avant présentés est réalisé sur la figure 3.25. On constate alors, en paroi lisse, la quasi superposition des mesures et des calculs. L’approche de BLASIUS reste donc viable, dans le cas lisse, au-delà de la valeur critique de Re=2500 seuil du domaine laminaire. Par contre, dans le cas de rugosité amont, on constate au-delà d’une vitesse de 0,015m/s des écarts conséquents entre mesures expérimentales et théoriques. Le modèle de BLASIUS ne peut donc pas caractériser l’épaisseur de couche limite dans une approche « rugueuse » lorsque l’on dépasse la valeur limite seuil du domaine laminaire.

Figure 3. 25 : Variation de l'épaisseur de la couche limite en fonction de la vitesse débitante

On peut également observer qu’en paroi lisse, l’épaisseur de la couche limite diminue lorsque la vitesse débitante augmente. On vérifie ainsi que plus la vitesse est faible, plus la

Chapitre 3 P180 (grains de 0,082mm), les comparaisons entre les résultats expérimentaux et théoriques restent semblables à ceux du domaine lisse. Par contre en présence d’une rugosité amont plus conséquente CR-P40 (grains de 0,425mm) un saut d’épaisseur de couche limite apparaît entre les vitesses 0,015 et 0,02 m/s.

Ainsi, lorsque la vitesse Vd dépasse 0,015 m/s et en particulier dans le cas de forte rugosité amont (CR-P40) l’épaisseur de la couche limite « expérimentale » augmente brusquement et diffère de celle obtenue par la formulation de BLASIUS (fig.3.26). Candel [66] précise que la transition de la couche limite provoque une augmentation rapide de l’épaisseur de la couche limite que l’on peut observer en considérant la formulation . Cet accroissement de couche limite laminaire, garde une valeur constante, proche de 5. Cependant, dans notre dernier cas de figure, la formulation (vitesse corrigée correspondant aux vitesses débitantes Vd > 0,015 m/s) livre des résultats qui dépassent de façon marquée la valeur nominale de 5. On souligne à nouveau le passage de l’écoulement en régime de transition pour la rugosité amont la plus élevée CR-P40.

Figure 3. 26 : Transition de la couche limite laminaire

5.1.3. Vérification du profil de vitesse dans la couche limite

En se référant à la partie 1.4 de ce chapitre, nous allons tracer en fonction de pour vérifier que la couche limite dans notre cas d’étude est une couche limite laminaire. La figure 3.27 montre la variation de en fonction de dans le cas amont lisse (CL) :

Chapitre 3

Figure 3. 27 : profils de vitesse dans la couche limite

Ce résultat montre une bonne allure des courbe avec la littérature [83] et on peut vérifier à partir de ce résultat que :

(cas Vd=0,015m/s) et

Ceci vérifie que la couche limite est laminaire.

On peut vérifier aussi l’autosimilarité des résultats, c’est-à-dire que quelle que soit la vitesse débitante, les courbes en fonction de se regroupent sur une courbe unique.