Analyse à l'équilibre

A l'équilibre thermodynamique, l'étude des équations d'évolution (2.15) et (2.16) permet de déterminer les modications générées par la réalimentation optique sur la pulsation et le gain optique. En appliquant la condition stationnaire à (2.15) i.e dS

dt = 0, la variation de la

densité de photons à l'équilibre se met sous la forme :

Seq =

−βspV−1

G − _τ1

p + 2K cos ωτ

(2.18)

Ainsi, l'expression de la variation du gain net obtenue au paragraphe 2.4 (cf. Eq. (2.12)) se retrouve au dénominateur de l'équation (2.18). De la même manière, en appliquant la condition stationnaire à l'équation (2.16) i.e dϕ

dt = 0 et en négligeant le terme lié à l'émission

spontanée βsp

V , la variation de la pulsation du laser peut s'écrire suivant la relation :

f (ωτ ) = 0 (2.19) avec f (ωτ ) = ∆ωτ + ξ sin(ωτ + arctan αH) (2.20) Dans l'équation (2.20), ∆ω = ω − ω0 et ξ = Kτ q 1 + α2

H est un coecient souvent utilisé

dans la littérature pour délimiter les frontières entre les diérents régimes de fonctionnement. Sur la Fig. 2.3, la variation de la condition f(ωτ) est représentée pour diérentes valeurs du coecient ξ. Les valeurs du facteur d'élargissement spectral et de la phase de l'onde retour sont respectivement αH = 3 et ω0τ = 0◦. La condition décrite par l'équation (2.20) traduit

l'interaction entre les champs électriques incident et rééchi oscillants respectivement aux pulsations ω0 et ω. Aussi, comme l'amplitude des oscillations augmentent avec la valeur de

ξ, la fonction f(ωτ) coupe la droite d'équation f(ωτ) = 0 en plusieurs points pour un taux de retour optique donné (généralement ξ > 1). Ces points d'intersection sont appelés points f ixes et correspondent à des états stationnaires du système. Si l'on utilise une description

2.5. Modications des caractéristiques statiques et dynamiques -15 -10 -5 0 5 10 15 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 Modes Antimodes ξ ξ ξ ∆ω τ ∆ωτ

Fig. 2.3  Variation de la condition f(ωτ) en fonction de ξ - αH = 3 et ω0τ = 0◦

fondée sur la dynamique non-linéaire, ces points xes correspondent (pour de faibles taux de retour optique) à des attracteurs de stabilité et peuvent être reliés, soit à des systèmes d'interférences constructives (i.e modes représentés en rouge, df

dω > 0), soit à des systèmes

d'interférences destructives (i.e antimodes représentés en noir, df

dω < 0) [23]. Une analyse

similaire peut être faite en utilisant l'équation (2.12) décrivant la variation sinusoïdale du gain optique en présence de réalimentation optique. Par exemple, la Fig. 2.4 montre une telle variation en fonction de la phase ∆ωτ dans le cas où αH=3, ω0τ =0◦ et ξ > 1. Par ailleurs, en

reportant les valeurs respectives des modes et des antimodes sur la Fig. 2.4, c'est-à-dire en appliquant la condition (2.20), un comportement elliptique est obtenu. Le système d'équation paramétrique régissant l'ellipse s'obtient en rassemblant les équations (2.12) et (2.20) soit :

∆ωτ = −ξ sin(ωτ + arctan αH) (2.21)

∆g = −2K cos(ωτ ) (2.22) Comme nous le verrons dans le paragraphe suivant, cette représentation géométrique est fondamentale pour l'analyse de la stabilité du système. Du fait de la variation de fréquence optique imposée par l'équation (2.20), des modications de la largeur de raie ∆ν du laser en présence de réalimentation optique sont également à prévoir. Le calcul de la largeur de raie d'un laser perturbé par une réexion externe a d'abord été eectué sans tenir compte du facteur d'élargissement spectral [5] puis plus rigoureusement en introduisant ce dernier [24][25][26]. La largeur de raie du laser en présence de réalimentation optique se calcule donc en réutilisant l'équation d'évolution de la phase (donnée par l'équation (2.16)) à condition

-15 -10 -5 0 5 10 15 -60 -40 -20 0 20 40 60 ∆ ∆ωτ

Fig. 2.4  Variation du gain optique en fonction de ∆ωτ - ξ > 1, αH = 3 et ω0τ = 0◦

toutefois d'y introduire un terme de bruit c'est-à-dire : dϕ dt = [(ω − ω0) + 1 2(G − 1 τp )αH] − K sin(ωτ + ϕ(t) − ϕ(t − τ )) + Fϕ(t) (2.23)

avec Fϕ(t) une force de Langevin delta-corrélée [27] telle que :

< Fϕ(t)Fϕ(t

0

) >= π∆ν0δ(t − t

0

) (2.24)

Dans l'équation (2.24), ∆ν0 représente la largeur de raie du laser sans rétroaction optique.

En injectant la modication de gain net donnée par l'équation (2.12) dans (2.23), il vient : dϕ

dt = (ω − ω0) − K

q

1 + α2

Hsin(ωτ + ϕ(t) − ϕ(t − τ ) + arctan(αH)) + Fϕ(t) (2.25)

En supposant que le temps aller-retour dans la cavité externe reste inférieur au temps de cohérence du laser, l'approximation ϕ(t−τ)−ϕ(t) = τdϕ(t)

dt peut être eectuée en utilisant un

développement de Taylor au premier ordre. Ainsi, en injectant cette condition dans l'équation (2.25), il vient après quelques manipulations algébriques :

dϕ(t) dt =

Fϕ(t)

(1 + ξ cos(φe+ arctan(αH))) (2.26)

L'équation (2.26) montre une réduction de la force de Langevin associée à la phase φe = ωτ.

Cette réduction dépend de la longueur de la cavité externe Le à travers le paramètre ξ ainsi

que du facteur d'élargissement spectral αH. Soit φf(t0)la fonction d'auto-corrélation associée

à la fonction f(t) = dϕ dt telle que : φf(t0) =< f (t + t0)f?(t) >= lim T →∞ 1 2T Z +T −T f (t + t 0 )f?(t)dt (2.27)

2.5. Modications des caractéristiques statiques et dynamiques

En injectant les équations (2.24) et (2.26) dans (2.27), il vient :

φf(t0) =

π∆ν0δ(t0)

(1 + ξ cos(φe+ arctan(αH)))2 (2.28)

La largeur de mode du laser se calcule en appliquant le théorème de Wiener-Kintchine (cf. Annexe A) à l'équation (2.28). Ce théorème permet d'accéder à la densité spectrale de bruit via la transformée de Fourier de la fonction d'auto-corrélation ce qui se traduit mathémati- quement par la relation :

∆ν = 1 π Z +∞ −∞ π∆ν0δ(t0) (1 + ξ cos(φe+ arctan(αH)))2 e−iωt0dt0 (2.29) Sachant que : Z +∞ −∞ δ(t0)e−iωt0dt0 = 1 (2.30) la largeur de mode du laser en présence de réalimentation optique se met sous la forme :

∆ν = ∆ν0

(1 + ξ cos(φe+ arctan(αH)))2 (2.31)

La relation (2.31) n'est valable que dans le cas où le système est supposé cohérent ce qui n'est pas toujours le cas comme nous l'avons vu au paragraphe 2.2 lors de la description des régimes de fonctionnement. A partir de l'équation (2.31), les variations extrêmes de la largeur de raie (∆νM ax,∆νM in)peuvent se déduire suivant que φe = 0 ou φe = π:

∆νM in= ∆ν0 (1 + ξ)2 (2.32) ∆νM ax = ∆ν0 (1 − ξ)2 (2.33)

Par ailleurs, toujours à partir de l'équation (2.31), plusieurs situations particulières peuvent être envisagées. Ainsi, lorsque ξ << 1, une solution unique existe (∆ν ≈ ∆ν0) conrmant

ainsi ce qui a été annoncé précédemment. A contrario, le cas le plus défavorable est obtenu lorsque ξ > 1 et plus spécialement pour ω0τ = π − arctan(αH) [3]. Dans cette dernière

situation, deux solutions simultanées et de même largeur de raie existent et conduisent à un fort eet de mode hopping entre ces deux modes. On se propose maintenant, dans la suite de la discussion, d'analyser et de décrire qualitativement les diérents mécanismes de stabilité générés par la condition (2.20) ainsi que les conséquences sur la largeur de raie du laser.