L'exploitation de toutes les opportunités qu'ore l'informatique quantique ne sera possible qu'après la mise en place de vrais ordinateurs quantiques. En attendant la construction de ma- chines quantiques puissantes, l'idée de simulation des algorithmes quantiques sur ordinateurs classiques ou de les combiner à d'autres méthodes conventionnelles est apparue. Parmi ces hybridations, qui ont prouvé d'être meilleures que leurs contreparties classiques, on cite : les réseaux de neurones quantiques, les colonies de fourmis quantiques, les essaims de particules quantiques et les algorithmes évolutionnaires quantiques [CNM08] qu'on présente dans cette section.
Dé nition 4.1 (AEQ) Un algorithme évolutionnaire quantique est un algorithme évolu- tionnaire enrichi par les concepts et les principes de l'informatique quantique, tel que le bit quantique, la superposition d'états et les opérateurs quantiques.
Historiquement, le premier algorithme s'inspirant de l'informatique quantique a été celui de [NM96]. Cependant, cet algorithme n'a pas suscité beaucoup d'attention à cause de son interprétation diérente de l'interprétation standard de l'informatique quantique et à cause de la pauvreté de formalisme et d'évidence oerts par les auteurs.
Quatre ans plus tard, Han et Kim [HK00] ont proposé un nouveau modèle d'algorithmes gé- nétiques s'inspirant des concepts de l'informatique quantique tels que le bit quantique (qubit), la superposition d'états et l'opérateur quantique (la porte D). Ils ont appliqué l'algorithme proposé sur un problème d'optimisation combinatoire, celui du sac-à-dos binaire (0/1 knap- sack) et ont conclu que l'hybridation entre algorithmes génétiques et l'informatique quantique est une voie très prometteuse.
Dans l'algorithme de Han et Kim, il n' y a ni mutation ni croisement. Selon les auteurs, l'utilisation de ces deux opérations conduit vers une détérioration des performances. Dans ce qui suit, l'algorithme original de Han et Kim sera présenté. D'autres variantes des algorithmes évolutionnaires quantiques peuvent être trouvés dans [HK02], [HK04] ; [dCPVB05], [dCVP07] ; [ZJL03].
4.3.1 Individu quantique
Han et Kim [HK00] ont utilisé dans leur algorithme des individus quantiques représentés par des registres quantiques ; c'est une chaine de bits quantiques (formule 4.5) où α1 et β1
représentent les amplitudes des qubits, et donc, doivent véri er la condition |α|2+ |β|2 = 1.
α1 α2 ... αm
β1 β2 ... βm
!
(4.5) Grâce à cette superposition d'états, un individu quantique peut représenter en même temps toute une population d'individus, chacun avec une probabilité. Donc, il ne sera pas nécessaire dans une telle représentation d'individus d'avoir une grande taille de la population, ce qui ore plus de diversité à l'AEQ, tout en utilisant une petite population. Un peu plus tard, [Han03] démontre que les performances oertes par un nombre d'individus un peu supérieur sont meilleures que celles données par un seul individu.
En plus de la mise à jour de la meilleure solution trouvée, deux opérations quantiques sont appliquées d'une façon itérative sur les individus quantiques jusqu'à l'atteinte d'une condition d'arrêt. Il s'agit de la mesure quantique et la porte D.
4.3.2 Mesure quantique d'individus
Cet opérateur permet d'extraire un individu classique à partir d'un individu quantique en appliquant des mesures quantiques individuelles (comme vu dans la section 4.2.2 sur les qubits). La gure 4.3 donne une illustration de la mesure quantique appliquée à un individu quantique.
Figure 4.3 Mesure quantique d'individus
4.3.3 La porte D
A chaque itération, l'actuelle meilleure solution sert comme guide pour rechercher de nou- velles solutions qui peuvent s'avérer meilleures. Cela est implémenté via une porte quantique, appelée la porte D, qui eectue une rotation du qubit en question de façon à augmenter la probabilité d'avoir la valeur binaire du bit correspondant dans la meilleure solution actuelle ( g.4.4).
Figure 4.4 Eet de la porte D sur un qubit
La porte D prend la forme matricielle donnée par la formule(4.6). cos(θ) −sin(θ)
sin(θ) cos(θ) !
(4.6)
Le tableau 4.1 donne la direction de rotation en fonction de α1, β1 et de la valeur du bit
correspondant dans la meilleure solution actuelle.
Table 4.1 Direction de la rotation
α β valeur du bit de référence angle de rotation > 0 > 0 1 +δθ > 0 > 0 0 −δθ > 0 < 0 1 −δθ > 0 < 0 0 +δθ < 0 > 0 1 −δθ < 0 > 0 0 +δθ < 0 < 0 1 +δθ < 0 < 0 0 −δθ
Le pseudo-code de l'algorithme de Han et Kim [HK00] est donné dans l'algorithme 8, où : Q(t) est la population composée de chromosomes quantiques à l'instant t, B(t) est la meilleure solution jusqu'à l'instant t, et P(t) est l'ensemble de solutions binaires issues de la mesure de Q(t).
Data: Output: t ← 0
Produire P(t) par observation de Q(t) Evaluer P(t)
Stocker la meilleure solution parmi P(t) dans B(t) while (critère d'arrêt non satisfait) do
t ← t + 1
Produire P(t) par observation de Q(t-1) Evaluer P(t)
Générer Q(t) en appliquant la porte D sur Q(t-1)
Stocker la meilleure solution parmi B(t-1) et P(t) dans B(t) end
4.3.4 Discussion de l'algorithme évolutionnaire quantique
Tout algorithme évolutionnaire doit être capable de bien équilibrer entre la diversi cation et le renforcement, souvent appelés respectivement : exploration et exploitation. Dans ce contexte, on introduit une petite analyse de l'AEQ de Han et Kim [HK00] vis-à-vis ces deux critères [Tal09].
Dans l'algorithme évolutionnaire quantique de Han et Kim [HK00], le codage quantique des chromosomes constitue le moyen employé par les auteurs pour garantir la diversi cation de la recherche. Un qubit pourrait, dans la majorité des situations, produire lors de sa mesure la valeur 0 ou la valeur 1. Donc, un chromosome pourrait potentiellement couvrir tout l'espace de recherche.
L'opérateur de rotation, ou la porte D, est l'outil garantissant le renforcement de la recherche autour de la meilleure solution actuelle. Au cours des itérations, cet opérateur augmente, pour chaque qubit, la probabilité d'avoir la valeur du bit correspondant dans la meilleure solution. Dans la majorité des situations, on garde la possibilité, même aaiblie, d'avoir la valeur inverse qui pourrait contribuer à la découverte d'une nouvelle meilleure solu- tion.
Cette stratégie n'est pas tout le temps gagnante. Le problème majeur est qu'en cas de non découverte d'une nouvelle meilleure solution après un certain nombre d'itérations, la probabilité pour un qubit de générer la valeur binaire inverse de la valeur du bit correspondant dans la meilleure solution sera amplement réduite, voir même mise à 0. La généralisation de ce phénomène sur l'ensemble des qubits entraînera l'eondrement de la superposition d'états et le blocage des chromosomes dans un optimum local.