Algorithmes de résolution

Les enjeux liés à la résolution des problèmes d’optimisation ont entrainé le développement d’un grand nombre d’algorithmes de résolution commerciaux ou universitaires. Nous retiendrons parmi ces algorithmes :

– CPLEX, qui est un solveur développé par IBM destiné à la résolution de type LP, MILP et QP [120]. Il implante plusieurs méthodes de résolution dont la méthode du Simplex. C’est aujourd’hui l’algorithme de référence pour la résolution de problèmes d’optimisation linéaires de très grande taille (plusieurs millions de variables).

– VF13 est une implantation de la méthode de programmation quadratique successive (SQP) pour la résolution de problèmes non linéaires [121]. Il est notamment intégré à la suite CADES.

– IPOPT est une implantation open source de la méthode du point intérieur mise à disposition de la communauté scientifique via le projet COIN-OR [122][123].

– KNITRO est un solveur développé par Ziena, destiné à la résolution de problèmes non linéaires complexes [124]. Il intègre plusieurs variantes de la méthode du point intérieur, une méthode de type Active-Set, une méthode de type SQP, ainsi qu’un ensemble de méta-heuristiques permettant de sélectionner dynamiquement la meilleure méthode lors de la résolution du problème ainsi que de déterminer automatiquement le meilleur paramétrage de celle-ci. Il possède de bonnes performances sur les problèmes de grande taille.

– fmincon est le solveur de problèmes d’optimisation intégré à la suite MATLAB® . Il implante différentes méthodes dont le point intérieur, SQP et Active-Set [125]. Ses performances sont limitées par le calcul des dérivées qui peuvent impacter la convergence.

Conclusion du chapitre et positionnement des travaux

Dans ce chapitre, nous avons présenté deux catégories de méthodes destinées à aider le concepteur d’un système : les méthodes de simulation, plutôt adaptées à de l’analyse et de l’étude de sensibilité, ainsi que les méthodes d’optimisation, plutôt adaptées au dimensionnement et à la

gestion des flux de puissance dans les réseaux.

Nous avons dans un premier temps présenté un ensemble de méthodes de simulation et leurs applications à la conception de réseaux électriques. Nous avons cependant montré qu’elles s’avèrent inadaptées au problème de dimensionnement d’un système de stockage pour nos applications de réseau d’électrification ferroviaire. En effet, nous avons besoin d’une approche systémique et nous devons intégrer la commande du système de stockage dans le problème même de conception. Ceci entraîne une augmentation importante du nombre de paramètres que le concepteur doit prendre en compte. Nous avons donc fait le choix d’utiliser des méthodes d’optimisation, celles-ci étant plus adaptées au traitement de problèmes de dimensionnement complexes.

Nous avons identifié dans la littérature un grand nombre d’applications de ces méthodes d’optimisation dans les réseaux électriques. Celles qui nous semblent les plus adaptées à notre problématique sont les méthodes de type optimisation de flux de puissance (OPF). Ainsi, nous avons fait le choix de formuler un problème d’optimisation dérivé de ces méthodes. Il devra être capable de déterminer la commande d’un système de stockage pour renforcer la qualité d’alimentation dans un réseau d’électrification ferroviaire, tout en prenant en compte la problématique du réseau et des circulations des trains. Ce choix est conforté par l’existence de formulations de ce type qui ont déjà été appliquées dans un contexte ferroviaire pour des problématiques différentes [86][87][88].

Après avoir formulé notre problème d’optimisation, il sera nécessaire de faire appel à des méthodes adaptées pour résoudre celui-ci. Nous avons choisi d’employer une méthode de résolution mathématique basée sur les gradients, cette catégorie de méthodes étant la plus à même de traiter la complexité de notre problème (problème non linéaire avec un grand nombre de contraintes). Face à cette complexité, nous avons aussi choisi d’employer une approche intégrée basée sur l’utilisation de modèles mathématiques pour la mise en œuvre du modèle d’optimisation. Ce choix est appuyé par les résultats obtenus lors de travaux préliminaires durant lesquels nous avons utilisés une approche de couplée pour de déterminer le positionnement optimal de deux sous-stations sur une ligne ferroviaire à l’aide d’un algorithme génétique [126]. Les performances de cette approche se sont révélées très mauvaises, et il nous est apparu difficile de continuer avec le même genre de méthode.

Au final, nous avons choisi de formuler notre problème dans l’outil d’optimisation GAMS et de le résoudre à l’aide de l’algorithme d’optimisation KNITRO. Ces outils sont les plus adaptés à la résolution des problèmes d’optimisation complexes et de grande taille que sont les OPF. La formulation du modèle d’optimisation que nous avons développée et les détails de la mise en œuvre vont être présentés maintenant.

Méthodologie de conception par optimisation pour un réseau

d’électrification ferroviaire

L’état de l’art des méthodes de conception présenté dans le chapitre précédent a permis de montrer que la formulation d’un problème d’optimisation s’avérait indispensable pour répondre aux problématiques posées par le dimensionnement et le pilotage d’un système de stockage inséré dans un réseau d’électrification ferroviaire.

La première partie de ce chapitre présente une méthodologie de modélisation du réseau d’électrification. Les modèles des composants du réseau sont détaillés, incluant une méthode de modélisation du mouvement des charges.

Des contraintes d’inégalité et une fonction objectif sont ensuite choisies afin de formuler un problème complet d’optimisation.

Le calcul de certains paramètres physiques ainsi que le choix d’un pas de discrétisation adapté aux dynamiques étudiées sont présentées dans un troisième temps.

Finalement, les caractéristiques du problème d’optimisation proposé sont analysées afin de s’orienter vers une méthode de résolution adaptée. La taille du problème est notamment estimée.

3.1 Modèle du réseau ferroviaire

La définition d’un modèle du réseau ferroviaire constitue la première étape de la construction du problème d’optimisation.

La figure 3.1 présente le principe d’un réseau d’électrification ferroviaire en courant continu. On peut distinguer parmi les différents éléments de ce réseau :

– les sous-stations de traction, constituées chacune par un transformateur abaisseur ainsi qu’un pont redresseur à diodes,

– les charges mobiles, constituées chacune par un train,

– le circuit de distribution de l’énergie aux trains, composé de deux parties avec d’un côté la caténaire et de l’autre le circuit de retour de courant par les rails.

l’intégralité de ces éléments.

Figure 3.1 – Réseau simple