Chapitre 2. Revue de littérature
2.6. Algorithmes à paramètres fixes et kernelisation
Les algorithmes à paramètres fixes ("Fixed Parameter Tractability" ou FPT) [55] sont une approche en informatique pour attaquer des problèmes difficiles à résoudre en trouvant des paramètres qui peuvent en cerner la difficulté. Dû au fait que le problème de la médiane est NP-Difficile, il est impossible d’échapper à la croissance exponentielle du temps de calcul en fonction de la taille d’entrée mais le facteur de l’exponentielle peut être un paramètre qui, lorsque petit, rend le temps de calcul raisonnable. On dit qu’un problème
est FPT s’il peut être décidé en temps f(k)×xO(1)où xO(1)est un polynôme en fonction de
la taille d’entrée et f(k) est une fonction exponentielle sur un paramètre k de l’instance. Un concept proche des algorithmes FPT est celui de la kernelisation qui permet de réduire le problème à une instance plus petite (le noyau - "kernel") et plus facile à résoudre. Cette réduction doit être exécutée en temps polynomial et la taille du noyau est souvent en fonction de paramètres du problème.
De plus, plusieurs travaux ont suggéré un lien empirique entre des paramètres de simi- larité et la difficulté de résolution du problème (voir section2.4). La complexité paramétrée a alors été étudiée dans une série de plusieurs articles récents. Les tableaux 2. I et 2. II font le tour des paramètres investigués puis des résultats de FPT et de kernelisation.
Notation Paramètre
n nombre d’éléments dans une permutation
m nombre de permutations dans A
k score de Kemeny d’une médiane
d distance maximale entre 2 permutations de A
da distance moyenne entre les permutations de A rmax étendue maximale de positions pour un élément
Tableau 2. I. Paramètres du problème de la médiane de permutations et descriptions.
Premièrement, dans [19][21] Betzler et al. proposent trois algorithmes : un qui dépend du score de Kemeny k d’une médiane, le deuxième qui dépend de la distance maximale d entre deux permutations de l’ensemble de départ A et le troisième qui dépend du nombre
n d’éléments dans chacune des permutations. Dans ce travail, une "dirty pair" est une
paire d’éléments telle qu’il existe au moins deux permutations dans A : une avec i ≺
j et l’autre avec j ≺ i, c’est-à-dire qui n’a pas unanimité dans les votes. Les auteurs
décrivent une réduction de l’instance (kernelisation) en temps polynomial à une instance d’au plus 2k permutations et 2k éléments en enlevant les éléments qui ne font partie d’aucune "dirty pair" et en vérifiant s’il y a plus de k votes identiques pour des sous- ensembles d’éléments. Un algorithme BnB est décrit qui branche en fixant l’ordre relatif de triplets d’éléments. La complexité de ce BnB est de l’ordre de O(1.53k+ n2m) où n2m
vient de la réduction faite en prétraitement. Un deuxième algorithme de programmation dynamique est paramétré par d, la distance maximale entre 2 permutations de A, et se calcule en O((3d+1)!×dlogd×nm). L’algorithme considère des segments de longueur d+1 parallèlement dans toutes les permutations de A et construit un consensus en optimisant à l’intérieur de ce segment. Ils démontrent que ces segments à optimiser contiennent au
Auteurs Année Résultats FPT Betzler et al.[19][21] 2008 O(1.53k+ n2m) O((3d + 1)! × dlogd × nm) O(2n× n2m) Betzler et al.[20] 2009 O(16 da× (d2 a× n + da× n2× logn × m)) O(32rmax× (r2
maxm+ rmaxn2mlogn) + m2nlogn)
Simjour [123] 2009 O(5.823mk) O(1.403k) O(4.829d) O(36mk)* Karpinski et Schudy [75] 2010 O(2O( √ k m)+ nO(1))
Fernau et al. [63] 2011 O(2O(√k log k))
Betzler et al. [22] 2011 kernelisation, nouvelle taille : 162d2
a+ 9da
Nishimura et Simjour[104] 2013 O(4mk)*
Betzler et al. [18] 2014 kernelisation, nouvelle taille : 163da
Tableau 2. II. Récapitulatif des travaux FPT. L’étoile (*) indique que l’algorithme permet d’énumérer toutes les médianes d’un ensemble.
plus 3d+1 éléments. Finalement, le troisième algorithme calculable en O(2n×n2m) se base
sur le fait que pour trouver une médiane d’un sous-ensemble d’éléments C′(par projection
surA), il suffit de considérer chaque sous-ensemble C′′construit à partir de C′en retirant
un élément e. Pour chaque sous-ensemble C′′, on calcule la médiane π∗= π∗ 1π
∗ 2...π
∗
#C′′ (par
projection sur A) puis on évalue le score de Kemeny de la permutation γ commençant par e suivi d’une médiane de C′′ : γ = eπ∗
1π ∗ 2...π
∗
#C′′. On sait qu’une de ces permutations
sera la médiane de C′ car on considère chaque élément e ∈ C′ comme premier élément
de la permutation et le reste de la permutation doit être localement stable (voir Section 2.1.2.2). Le processus est appliqué de façon récursive pour trouver la médiane de chaque sous-ensemble d’éléments.
Dans [20], Betzler et al. améliorent les résultats précédents en proposant deux nou- veaux algorithmes. Le premier est paramétré par la distance moyenne da entre les permu-
tations de départ et se calcule en O(16da× (d2
a× m + da× m2× logm × n)). Le deuxième
est paramétré par l’écart maximal rmax entre les positions d’un même élément dans deux
permutations différentes de A et se calcule en O(32rmax× (r2
Dans [123], Simjour a utilisé le paramètre mk (distance médiane divisée par le nombre de permutations) pour obtenir un algorithme en O(5.823mk). Il a aussi obtenu des algo-
rithmes en O(1.403k) et O(4.829d) puis un algorithme qui énumère toutes les médianes
en O(36mk).
Dans [104], un algorithme en O(4mk) est proposé par Nishimura et Simjour qui permet
l’énumération des permutations médianes.
Deux résultats FPT en temps "subexponentiel" ont été développé presque simulta- nément en 2010-2011. Dans [75], Karpinski et Schudy ont obtenu un algorithme en
O(2O(
√
k
m)+ nO(1)). Dans [63], Fernau et al. obtiennent un algorithme en O(2O(
√
k log k)).
Dans [22], Betzler et al. introduisent un premier concept de kernelisation paramétrée par la distance moyenne. La nouvelle instance du problème (noyau) a 162d2
a+9dacandidats.
Dans [18], Betzler et al. améliorent leur kernelisation avec 163da candidats au noyau.
Ce résultat est accompagné d’une réduction d’espace (Voir Section 2.7).
Dans cette suite de travaux, l’aspect de la proximité entre les permutations de l’en- semble de départ a été exploré à travers plusieurs paramètres. Par contre, il n’y a pas de résultats expérimentaux liés à ces algorithmes à paramètres fixes. La complexité pa- ramétrée pour ce problème reste assez théorique et en pratique, la réduction de l’espace de recherche présenté à la section suivante va offrir un avantage réel pour résoudre le problème.