des structures de G. Ramesh [84] ou W. Zhang [108] avec dans ces deux articles un couplage intéressant entre la méthode de relaxation dynamique et la méthode de arc-length, l’analyse du comportement plastique avec endommagement des structures de G. Ramesh [85] et l’étude sta- tique des milieux granulaires de J. Bardet [10]. Il faut noter ici, que la dynamique moléculaire, dont il est souvent question dans la communauté des milieux granulaires [34, 57], est une mé- thode explicite de calcul numérique dont les équations et les principes sont très proches de ceux de la relaxation dynamique, mais qu’au contraire de cette dernière, la dynamique moléculaire a pour but l’étude du comportement dynamique réel des grains et que, par conséquent, les pa- ramètres d’amortissement et de masse doivent y être définis selon les propriétés réelles de la structure. Ces dénominations proches sont parfois source de confusion et certaines applications de la méthode de la relaxation dynamique se trouvent ainsi masquées comme celle d’A. Alaoui et K. Sab [5].
La première application aux structures tendues est due à A. S. Day et J. Bunce [37] qui cherchent à évaluer les déformations d’un réseau de câbles. C’est Michael Barnes qui, le premier, utilise la relaxation dynamique pour la recherche de forme et l’analyse structurelle des structures tendues et gonflables [13]. A cette époque, la méthode est en plein essor ; en trois ans, quatre thèses seront soutenues à l’université de la City de Londres : celle de M. Barnes sur le même sujet que l’article précité [12], celle de D. Wakefield sur les réseaux de câbles supportés par des arches en compression [104], celle de M. Papadrakakis sur des aspects plus mathématiques [80] et celle de B. Topping sur le calcul de structures modulables [102]. Les méthodes développées alors vont faire école et donner lieu à de nombreuses réalisations [14, 105]. La méthode de relaxation dynamique est aujourd’hui la méthode de référence pour le calcul des structures tendues dans le monde anglo-saxon ; elle a d’ailleurs fait l’objet d’un ouvrage récent relativement accessible de Wanda Lewis [61]. L’élément triangulaire de membrane développé par M. Barnes est encore très largement utilisé [106, 47, 61], même si un élément quadrangulaire a été proposé par P. Gosling et W. Lewis [44].
L’application de la méthode de relaxation dynamique aux structures réticulées spatiales auto- contraintes, aussi appelées structures en tenségrité, a fait l’objet de la thèse de S. Belkacem [21], mais la méthode de la relaxation dynamique s’avère ici moins performante pour la recherche de forme que la méthode des densités de force qui lui a été préféré dans les publications plus récentes sur le sujet [71, 16]. Les derniers développement de la méthode autour de la recherche de forme des gridshells ont été suscités par la construction du gridshell de Hannovre (cf. para- graphe 1.5.1). À cette occasion, Michael Barnes et son équipe développent un élément de poutre capable de reprendre des efforts de flexion [15, 2, 3]. C’est cet élément qui est repris et adapté dans ce travail de recherche et qui sera présenté dans le paragraphe 3.3.
3.2 L’algorithme de la relaxation dynamique
3.2.1 Un comportement dynamique fictif
La méthode de relaxation dynamique est un outil numérique qui utilise un calcul dynamique amorti pour trouver l’état d’équilibre statique d’un système mécanique. Le comportement dyna-
mique du système n’a dans cette méthode aucune importance en lui-même, il n’est qu’un moyen de parvenir à un état d’équilibre statique. En tant que moyen, il n’a donc pas à reproduire une certaine réalité physique du mouvement, mais se doit plutôt d’être le plus efficace possible afin d’obtenir rapidement des résultats précis et fiables. Les paramètres caractéristiques de la structure qui n’interviennent que dans le calcul dynamique (les coefficients d’amortissements intrinsèques des matériaux et les masses inertielles des éléments) peuvent donc être librement définis de façon à optimiser la vitesse de convergence de l’algorithme et sa robustesse. En effet, les taux d’amortissement intrinsèques des matériaux ou de la structure influent sur le nombre d’oscillations nécessaires avant d’atteindre une certaine stabilisation autour de l’équilibre mais n’influencent pas, même indirectement, la nature de l’état d’équilibre. Ils peuvent donc être choisis arbitrairement. L’optimisation de ces paramètres visqueux est possible [81, 103] et pré- sentée plus bas (cf. paragraphe 3.5) mais elle est techniquement délicate. Ainsi, le plus souvent [15, 2, 47, 61] et notamment dans le programme développé pour cette thèse, on lui préfère un amortissement complètement artificiel appelé « amortissement cinétique ».
L’amortissement cinétique a été proposé par P. Cundall en 1976 [35]. Son principe repose sur l’échange au cours d’un mouvement non-amorti entre l’énergie cinétique et l’énergie potentielle élastique. En effet, dans un système mécanique conservatif, l’énergie mécanique se conserve ; chaque minimum de l’énergie potentielle du système correspond donc à un maximum de son énergie cinétique. Or l’état d’équilibre statique est un état dans lequel l’énergie potentielle est minimale. L’idée de P. Cundall est donc de remplacer la recherche d’une position d’équilibre par celle d’un maximum d’énergie cinétique. La procédure consiste ainsi à laisser la structure libre d’osciller, c’est-à-dire sans aucun amortissement, jusqu’à ce que l’énergie cinétique atteigne un maximum. La structure est alors arrêtée : les vitesses de tous les nœuds sont remises artificiel- lement à zéro. Si cette position est la position d’équilibre, la structure est immobile et le calcul est terminé ; sinon, la structure est à nouveau laissée libre d’osciller jusqu’au prochain maxi- mum d’énergie cinétique où, comme précédemment, les vitesses sont remises à zéro. Et ainsi de suite jusqu’à ce que l’énergie cinétique de tous les modes de vibrations ait été dissipée et que l’équilibre soit atteint. Ce principe de l’amortissement cinétique est illustré par la figure 3.3 qui présente les variations de l’énergie cinétique au cours du temps d’une structure quelconque.
À titre d’exemple, considérons le pendule de la figure 3.4. Il est constitué d’une masse sus- pendue à un support indéformable par une tige également indéformable. L’articulation de la tige sur le support est une articulation parfaite et l’air est supposé sans frottement. Si la masse est lâchée de cette position, elle va descendre en suivant un arc de cercle et selon un mouvement accéléré, sa vitesse va donc croître jusqu’à ce que la masse passe au droit du point de fixation de la tige sur le support. L’énergie cinétique est alors maximale, la masse est donc arrêtée. La posi- tion d’équilibre est trouvée. On voit ainsi, sur un système à un degré de liberté, comment cette méthode d’amortissement cinétique permet de déterminer l’état d’équibre. Pour des systèmes plus complexes, le principe reste le même, il suffit de répéter plusieurs fois cette procédure : oscillation libre, arrêt, oscillation libre, arrêt, etc.
Cette méthode remplace donc l’amortissement visqueux par un processus abstrait d’absorp- tion progressive de l’énergie cinétique. La suite des valeurs de l’énergie mécanique y forme une suite décroissante et bornée, elle est donc convergente. Il n’y a pas de garantie que le minimum
3.2 L’algorithme de la relaxation dynamique 83
absolu de l’énergie potentielle soit atteint par cette méthode, mais il n’y en a pas non plus dans la méthode avec un amortissement visqueux. Pour vérifier que l’équilibre trouvé est bien une position d’équilibre stable, la méthode usuelle qui consiste à vérifier que la structure retourne à sa position d’équilibre après perturbation, est en général très efficace.
Fig. 3.3 – Variation de l’énergie cinétique. Fig. 3.4 – Pendule oscillant sans frottement.
3.2.2 Schéma explicite de différences finies
D’un point de vue pratique, le comportement dynamique est mis en œuvre dans la méthode de relaxation dynamique au travers d’un schéma explicite de différences finies classique. La position de chaque nœud de la structure est décrite par l’ensemble de ses trois coordonnées x, y et z dans un repère cartésien de référence. À l’instant t, la position du nœud i est donc définie par le vecteur~Xt
i. Le mouvement de ce nœud est régi par les équations usuelles du mouvement
en dynamique des structures ; son accélération A~ti à l’instant t est donc donnée en fonction de la masse du nœud mi et du résidu~Rt
i des efforts intérieurs et extérieurs par la deuxième loi de
Newton :
mi· ~Ati = ~Rti (3.8)
Si on utilise pour l’accélération un schéma d’approximation centré, on obtient une relation entre A~ti l’accélération à l’instant t, ~Vit+∆t/2 la vitesse à l’instant suivant t+∆t/2 et ~Vit−∆t/2 la vitesse à l’instant précédent t−∆t/2.
~ Ati = V~
t+∆t/2
i − ~Vit−∆t/2
∆t (3.9)
De (3.8) et (3.9), on déduit donc pour la vitesse~Vit+∆t/2 l’expression suivante :
~
Vit+∆t/2 = ~Vit−∆t/2+ ∆t
mi · ~R t
i (3.10)
En utilisant pour la vitesse le même schéma d’approximation centré que pour l’accélération, on obtient une relation entre~Vit+∆t/2 la vitesse à l’instant t+∆t/2,~Xit+∆t la position à l’instant
suivant t+∆t et~Xt
i la position à l’instant précédent t. ~
Xit+∆t = ~Xti+∆t· ~Vit+∆t/2 (3.11) Puis, en regroupant (3.10) et (3.11), on obtient la formule (3.12) qui permet de calculer la position à l’instant t+∆t en fonction des variables à l’instant t précédent.
~Xt+∆t
i = ~Xti +∆t· ~Vit−∆t/2+
∆t2
mi · ~
Rti (3.12)
L’expression ci-dessus ne peut cependant pas être utilisée lors de la première itération de l’algorithme parce que la vitesse n’est pas connue à l’instant−∆t/2 mais à l’instant t= 0 où la vitesse est nulle. Ainsi, si l’on considère qu’à chaque instant, la vitesse moyenne est donnée par :
~ Vit= 1
2(~V
t−∆t/2
i + ~Vit+∆t/2) (3.13)
on peut déduire que la vitesse à l’instant −∆t/2 est telle que : V~i−∆t/2 = −~Vi+∆t/2. Pour la première itération, l’expression de la vitesse (3.10) devient alors (3.14) tandis que celle de la position reste inchangée.
~ Vi∆t/2 = ∆t 2mi · ~R 0 i ~ Xi∆t = ~Xi0+∆t· ~Vi∆t/2 (3.14)
Si l’on laisse de côté le calcul du résidu des efforts intérieurs et extérieurs qui est développé dans le paragraphe 3.3, on peut désormais calculer par récurrence les positions et les vitesses des différents nœuds à chaque instant.
3.2.3 Compatibilité avec les conditions aux limites
Les appuis les plus courants bloquent les translations d’un nœud dans une ou plusieurs directions et laissent les rotations libres (voir les exemples de la figure 3.5). Des conditions non-linéaires peuvent éventuellement être ajoutées pour prendre en compte le soulèvement de l’appui, mais il est impossible d’empêcher la rotation d’un nœud. En effet, cela reviendrait à appliquer un moment ponctuel à ce nœud ce qui est incompatible avec les hypothèses du modèle de poutre sans torsion qui est décrit dans le paragraphe 3.3 et qui sera utilisé dans la suite de ce travail. Pour pouvoir prendre en compte des bloquages en rotation ou des encastrements, il faudrait enrichir le modèle cinématique actuel en introduisant des éléments de poutre avec des degrés de liberté en rotation à chaque nœud. Cette modification du mode de calcul des efforts intérieurs ne change pas le cœur de la méthode de relaxation dynamique et on a montré dans [72] que l’on pouvait facilement adapter le programme informatique présenté dans cette thèse à un modèle classique de poutre plane à six degrés de liberté (deux translations et une rotation à chaque extrémité). Outre le fait qu’il augmente les temps de calcul, cet enrichissement du modèle n’est pas nécessaire pour le calcul des gridshells, car les conditions aux limites des poutres dans tous les bâtiments de ce type construits à ce jour sont des rotules.
3.2 L’algorithme de la relaxation dynamique 85
Fig. 3.5 – Différents types d’appui dans le plan et dans l’espace.
En pratique, la compatibilité des déplacements avec les conditions aux limites est assurée à chaque itération, le type de vérification à effectuer dépendant de la nature physique des appuis de la structure. On suppose qu’à l’instant t, le déplacement~Ut
i = ~Xit− ~X0i du nœud i est admis-
sible. En tenant compte de l’expression (3.11) qui donne la position à l’instant t+∆t en fonction de la position à l’instant précedent et de la vitesse, on obtient pour le déplacement à t+∆t :
~
Uit+∆t = ~Uit+∆t~Vit+∆t/2 (3.15) On se rend alors compte qu’il suffit de s’assurer queV~it+∆t/2 est compatible avec les condi- tions aux limites pour que le nouveau déplacement soit admissible. Si, par exemple, le nœud i est libre de se déplacer selon l’axe des x mais qu’il est bloqué selon y et selon z, on doit imposer
~
Vit+∆t/2· ~y = 0 etV~it+∆t/2·~z =0. Si le nœud i est simplement posé sur un plan perpendiculaire à l’axe des z et qu’un soulèvement vers les z positifs est autorisé, les nouvelles conditions de compatibilités s’écrivent : ~ Vit+∆t/2 = ( ~ Vit+∆t/2− (~Vit+∆t/2·~z)~z si Vit+∆t/2·~z<0 ~ Vit+∆t/2 si V~it+∆t/2·~z≥0 (3.16) On note qu’il n’y a par ailleurs aucune difficulté particulière à étendre le schéma précédent (3.16) à un blocage dans une direction quelconque de l’espace. On note également que le fait d’exprimer la compatibilité des déplacements avec les conditions aux limites sur les vitesses des nœuds et non sur leurs positions permet de calculer l’énergie cinétique directement sur des champs de vitesses cinématiquement admissibles et donc de diminuer un peu le temps de calcul.
3.2.4 Détermination des pics d’énergie cinétique
Comme il a été exposé plus haut (cf. paragraphe 3.1.3), la méthode de relaxation dynamique avec amortissement cinétique remplace la recherche du minimum de l’énergie potentielle par la recherche de pic d’énergie cinétique. C’est donc l’énergie cinétique qui est le paramètre de contrôle de l’algorithme. À partir des vitesses calculées dans le paragraphe précédent, il est aisé d’évaluer l’énergie cinétique de la structure à l’instant t+∆t/2 :
Ect+∆t/2=
∑
i 1 2mi(~V t+∆t/2 i · ~Vit+∆t/2) (3.17)Cette énergie cinétique Et+∆t/2
c est comparée à l’énergie cinétique Etc−∆t/2 de l’instant précé-
dent. Si la nouvelle énergie est supérieure à la précédente alors l’énergie cinétique est en train de croître et la structure est laissée libre d’osciller. En revanche, si la nouvelle énergie est inférieure à la précédente, alors on vient de dépasser un pic d’énergie. C’est donc la géométrie à l’instant t qui est la géométrie dans laquelle l’énergie potentielle est minimale, c’est donc dans cette posi- tion que toutes les vitesses sont remises à zéro avant que la structure ne soit à nouveau laissée libre d’osciller.
Fig. 3.6 – Interpolation parabolique de l’énergie cinétique autour du pic.
Michael Barnes fait remarquer dans [15] que le raisonnement ci-dessus assure que la géo- métrie à l’instant t est la géométrie dans laquelle l’énergie cinétique est maximale pour une vision discrète du temps. Pour améliorer la précision de la détermination de la géométrie du pic d’énergie cinétique, il introduit une interpolation parabolique de l’énergie cinétique entre les instants t−3∆t/2, t−∆t/2 et t+∆t/2 (cf. figure 3.6). Le pic d’énergie cinétique est alors obtenu à l’instant correspondant au sommet de la parabole, c’est-à-dire à :
t∗= t+q·∆t avec q= Ect−∆t/2−Etc−3∆t/2
Ect−3∆t/2−2Ect−∆t/2+Etc+∆t/2 (3.18)
Il ne reste plus qu’à déterminer les positions ~Xt∗
i des nœuds au moment du passage par le
pic d’énergie cinétique à l’aide de la géométrie actuelle des ~Xit+∆t et des vitesses aux instants précédentsV~it+∆t/2 et~Vit−∆t/2. On obtient alors l’expression suivante :
~
Xit∗ = ~Xti+∆t−∆t· ~Vit+∆t/2+ (t−t∗) · ~Vit−∆t/2 (3.19) En tenant compte de (3.10) et (3.18), l’expression (3.19) devient :
~ Xit∗ = ~Xit+∆t−∆t· (1+q) · ~Vit+∆t/2+q·∆t 2 mi · ~R t i (3.20)
L’équation (3.20) montre qu’il n’est pas nécessaire de stocker la valeur des vitesses à l’instant