L’algorithme range migration(RMA)

L’algorithme range migration (RMA) est un algorithme de traitement d’image RSO dans le domaine fr´equentiel. Il est g´en´eralement connu par diff´erentes noms comme l’algorithme de l’interpolation de Stolt, ou l’algorithme Omega-K (ω−k) ainsi que l’algorithme de nombre d’onde (wavenumber domain en anglais)[8][45]. L’algorithme RMA a ´et´e con¸cu pour corriger le ph´enom`ene de la migration radiale des r´eflecteurs de la sc`ene ´eclair´ee[90]. Cet algorithme a ´et´e d´evelopp´e dans la premi`ere fois pour les traitements des donn´ees s´eismique par Fabio Rocca [81][91]. Il y a quatre ´etapes de traitement du signal RSO par l’algorithme RMA (cf.

figure3.7) :

• La premi`ere ´etape, c’est l’utilisation de la transform´ee de Fourier en distance et en azimut qui permet de convertir les donn´ees dans le domaine fr´equentiel.

Figure 3.7: Processeur SAR bas´e sur la m´ethode d’imagerie RMA

• La deuxi`eme ´etape, c’est la multiplication par la fonction de r´ef´erence. Apr`es cette op´eration, la cible est focalis´ee en distance de r´ef´erence.

• La troisi`eme ´etape, c’est l’utilisation de l’interpolation de Stolt qui permet d’´equilibrer enti`erement la courbure du champ de cible en distance c’est-`a-dire align´e tous les points des cibles `a la mˆeme distance.

• La transform´ee de Fourier inverse en 2 dimensions est effectu´ee finalement pour recons-truire l’image focalis´ee.

3.3.1 Description analytique de l’algorithme Range Migration :

Comme l’algorithme range-Doppler, la premi`ere ´etape de l’algorithme range migration consiste `a effectuer un retour en bande de base du signal. Par suite, le signal modul´e en bande

de base,s_b(τ, η), d’une cible peut ˆetre ´ecrit comme suit [8][45] :

• A⁰ est une constante complexe arbitraire,

• τ est le temps rapide,

• η est le temps lente,

• w_r(∗) est l’enveloppe en distance,

• w_a(∗) est l’enveloppe en azimut,

• f0 est la fr´equence centrale du syst`eme radar,

• α est le taux de chirp,

• R(η) est la distance instantan´ee, qui peut ˆetre rapproch´ee comme : R(η) =

q

R²₀+V_r²η² 'R₀+V_r²η²

2R₀ (3.17)

o`u

– R₀ : est la distance la plus proche entre le radar et la cible, – V_r : est la vitesse effectif du radar.

En combinant les ´equations (3.17) et (3.16), on peut alors ´ecrire : s(τ, η)b =A0ωr

On effectue alors sur le signal d´efini en (3.18) la m´ethode de la phase stationnaire. Dans ce cas, le signal passe du domaine temporel (τ, η) au domaine fr´equentiel (fτ, η), donc on obtient :

• f_τ : est la fr´equence en distance.

A l’aide de la transform´` ee de Fourier en azimut, on obtient la r´eponse du signal,S(f τ, η)_1df, d’un point diffuseur dans le domaine fr´equentiel :

S(fτ, fη)_2df =

Multiplication par une fonction de r´ef´erence

L’´etape principale de l’algorithme range migration est bas´ee sur la multiplication par une fonction de r´ef´erence (ou RFM pour Reference Function Multiply). Cette op´eration est appliqu´ee dans le domaine fr´equentiel (2D). Donc, le signal en bande de base devient [8][45] :

S(f_τ, f_η)_{RF M} =AW_r(f_τ)W_a(f_η−f_ηc) exp

Apr`es l’op´eration RFM, les cibles sont focalis´ees en distance de r´ef´erence. Par la suite, le signal obtenu sera trait´e dans les autre distance.

L’interpolation de Stolt :

Dans l’´etape finale de l’algorithme RMA, nous utilisons la technique de la transform´ee de Fourier rapide inverse (ou IFFT pour Inverse Fast Fourier Transform en anglais). Cette technique exige que les ´echantillons de donn´ees soient uniform´ement espac´es sur une grille rectangulaire (cf. Figure 3.8). Pour r´esoudre ce probl`eme, on applique une proc´edure qui consiste `a calculer une nouvelle s´equence d’´echantillons du signal sur cette grille `a partir des

´echantillons du signal : cette proc´edure est appel´ee interpolation de Stolt [84]. Elle permet de

Figure 3.8: Emplacement des ´echantillons de donn´ees et des ´echantillons interpol´es sur une grille r´eguli`ere

performer la correction de la migration des cellules en distance diff´erentielle, la compression en distance secondaire (ou SRC pour Secondary Range Compression en anglais) diff´erentielle et la compression en azimut diff´erentielle [8][16][45][90].

L’interpolation de Stolt est appel´ee par diff´erentes noms, comme la transformation de Stolt, la migration de Stolt, ainsi que le changement de variable de Stolt [8][45].

Cette interpolation consacr´ee sur l’utilisation du changement de variable directement dans l’´equation (3.23). Le but de l’utilisation de cette technique est de remettre la formule de la phase lin´eaire, alors la phase apr`es le changement de variable devient :

ϑstolt(f_τ⁰, fη) ' −^4π(R0−R_c ^ref)(f0+f_τ⁰) (3.24) o`u

(f0+f_τ⁰) = s

(f0+fτ)²−c²f_η²

4V_r² (3.25)

La Figure 3.9pr´esente la variation du f_τ⁰ en fonction du variable f_τ. Pour f₀ = 5.3GHz, et la largeur de bande ´egale 20M Hz.

Ainsi que, la Figure3.10pr´esente la variation duf_τ⁰ en fonction du variable fη pour cinq valeurs def_τ.

• Interpr´etation des sch´emas de Stolt

Plusieurs interpr´etations de l’interpolation de Stolt ont ´et´e d´evelopp´ees dans [8], comme l’interpr´etation par l’utilisation des propri´et´es de la transform´ee de Fourier, l’interpr´ e-tation par l’utilisation du support de la r´egion, et l’interpr´etation par l’utilisation la

Figure 3.9: Variation du variable f_τ⁰ en fonction du variable f_τ.

Figure 3.10: Variation f_τ⁰ en fonction du variable fη pour cinq valeurs de fτ.

formation d’image g´eom´etrie. Mais, dans notre ´etude nous avons utilis´e l’interpr´etation par l’utilisation les propri´et´es de la transform´ee de Fourier, qui sera expliqu´ee ci-dessous.

Tandis que la phase dans l’´equation (3.23) peut ˆetre r´ecrite : ϑ_stolt(f_τ, f_η) ' −4π(R0−R_ref)

c

f₀D(f_η, V_r) + f_τ D(fη, Vr)

− f_τ² 2f0D³(fη, Vr)

c²f_η² 4V_r²f₀²

(3.26)

Figure 3.11: Pente d’interpolation de Stolt.

avec

– D(f_η, V_r) est le param`etre de migration peut ˆetre donn´e par : D(fη, Vr) =

s

1− c²f_η²

4V_r²f₀² (3.27)

Dans l’´equation (3.26), il y a trois termes entre les crochets. Le premier terme repr´ e-sente la modulation en azimut r´esiduelle, Le deuxi`eme terme repr´esente la migration des cellules en distance (RCM) r´esiduelle, et le troisi`eme terme repr´esente le couplage distance-azimut r´esiduel, qui peut ˆetre corrig´e par la compression en distance secon-daire(SRC).

• L’interpr´etation par l’utilisation les propri´et´es de la transform´ee de Fourier Pour simplifier la discussion, le couplage distance-azimut r´esiduel peut ˆetre ignor´e. La phase apr`es le RFM est approxim´ee :

ϑ_stolt(fτ, fη) ' −^4π(R0−R_c ^ref)

f0D(fη, Vr) + _D(f^fτ

η,Vr)

(3.28)

Pour comprendre la sch´emas de Stolt, la quantit´e entre accolade de l’´equation (3.28) peut ˆetre interpr´et´ee comme une nouvelle variable de la fr´equence en distance, qui peut ˆ

etre donn´ee par l’´equation suivante :

f₀+f_τ⁰ =f₀D(f_η, V_r) +_D(f^fτ

η,Vr) (3.29)

Donc, l’´equation (3.29) peut ˆetre r´ecrite par :

f_τ⁰ =f0[D(fη, Vr)−1] + _D(f^fτ

η,Vr) (3.30)

A partir de cette expression, on distingue la correction de la migration des cellules en` distance diff´erentielle et la compression en azimut diff´erentielle.

1. Interpr´etation du RCMC diff´erentielle

Le deuxi`eme terme de l’´equation (3.30) repr´esente la migration des cellules en distance r´esiduelle, on peut remplacer par le variable f_τ1⁰

f_τ1⁰ = _D(f^fτ

η,Vr) ≈fτ

1 + ^c

2f_η² 8V_r²f₀²

(3.31)

Par substitution (3.31) dans (3.28), le r´esultant de la phase devient :

ϑstolt(f_τ1⁰ , fη) =−^4π(R0−R_c ^ref)

f_τ1⁰ +f0D(fη, Vr)

(3.32)

Figure 3.12: Reconstruction d’image par l’utilisation de l’algorithme RMA.

2. Interpr´etation de la compression en azimut diff´erentielle

On note que, le premier terme de l’´equation (3.28) repr´esente un d´ecalage de la variable de fr´equence en distance qui peut ˆetre donn´e par la quantit´e :

f_{τ shif t}⁰ =f₀

D(f_η, V_r)−1

≈ − ^c2fη2

8V_r²f₀² (3.33)

On combinant les ´equations (3.30), (3.31) et (3.33), nous constatons que la variable de Stolt de la fr´equencef_τ⁰ consiste principalement `a une graduation et un d´ecalage.

f_τ⁰ =f_τ1⁰ +f_{τ shif t}⁰ (3.34)

Par substitution de l’´equation (3.34) dans l’´equation (3.28), la phase devient : ϑstolt(f_τ⁰, fη) ' −^4π(R0−R_c ^ref)

f0+f_τ⁰

(3.35)

Finalement, en effectuant la transform´ee de Fourier inverse en distance et en azimut, on passe du domaine (f_τ,f_η) au domaine (τ,η). On obtient alors les cibles focalis´ees en distance et en azimut. Les r´esultats obtenus par l’algorithme range migration pour deux cibles posi-tionn´ees sur la r´egion d’int´erˆet sont montr´es sur la Figure 3.12, avec les cibles sont situ´ees aux coordonn´ees x {278m,311m} dans l’axe de la distance ety {715m,885m} dans l’axe de la azimut.