L’algorithme MUSIC [10,21] est un des algorithmes de DOA les plus utilisés. C’est une tech- nique de projection dans le sous-espace orthogonal. MUSIC fonctionne par la décomposition en valeurs et vecteurs propres de la matrice de covariance Rxx. Les vecteurs propres obtenus
engendrent deux sous-espaces sur lesquels il est possible de faire la projection d’un vecteur d’analyse. Pour ce faire, la condition M < N, c’est-à-dire que le nombre de sources est in- férieur au nombre de capteurs, doit être satisfaite. De plus, les sources ne doivent pas être corrélées ou être seulement partiellement corrélées et elles doivent être localisées à des angles différents pour que les vecteurs directionnels (équations (3.3) et (3.21)) soient linéairement indépendants.
La décomposition en vecteurs propres de la matrice de covariance des signaux Rxx produit
des vecteurs propres orthogonaux, car la matrice est à symétrie hermitienne. Ces vecteurs engendrent deux sous-espaces orthogonaux. Le sous-espace source est formé par les M vecteurs propres associés aux M valeurs propres non nulles, alors que le sous-espace bruit, ou sous-
espace orthogonal, est formé par les N−M vecteurs propres associés aux valeurs propres nulles, formant le noyau de Rxx−. Les valeurs propres seront nulles uniquement dans le cas sans bruit.
Sinon, le sous-espace source est associé aux M valeurs propres les plus importantes et le sous- espace bruit aux N −M valeurs propres les moins importantes. Ainsi, la décomposition propre donne Rxx− = V ΛV† (4.3) V (N ×N ) = [v|1 v2{z. . . vM} Vs vM +1 . . . vN | {z } Vn ] (4.4) Λ (N ×N ) = diag {ζ1, ζ2, . . . ζM,0 . . . 0} (4.5)
où V est la matrice des vecteurs propres vi et Λ est la matrice des valeurs propres. Les
valeurs propres ζi sont ordonnées en ordre décroissant, de même que leur vecteur propre
correspondant. Les matrices Vs et Vn sont les matrices des vecteurs propres engendrant les
sous-espaces source et bruit respectivement.
L’algorithme MUSIC (ainsi que les autres méthodes de sous-espaces) exploite l’orthogonalité entre les sous-espaces source et bruit en plus d’exploiter l’orthogonalité entre les vecteurs di- rectionnels des sources et le sous-espace bruit. Ainsi, la méthode projette un vecteur d’analyse aθ, créé de la même manière qu’un vecteur directionnel en (3.21), dans le sous-espace bruit.
Si ce vecteur d’analyse correspond au vecteur directionnel d’une source, alors le résultat de la projection est nul. Le vecteur d’analyse est projeté dans le sous-espace bruit, plutôt que dans le sous-espace source, parce que la résolution obtenue est plus fine.
La projection dans le sous-espace bruit, notée pn(θ), représente le carré de la distance eucli-
dienne entre le vecteur d’analyse aθ et le sous-espace source, et vaut, lorsque normalisée,
pn(θ) = 1 N N X i=M +1 v † iaθ 2 . (4.6)
La projection peut aussi être réalisée avec la matrice Pn qui est le projecteur dans le sous-
espace bruit. Cette matrice de projection est calculée avec le projecteur dans le sous-espace source Ps par les relations suivantes.
Ps = VsV†s (4.7)
Pn
(N ×N ) = I − P
s (4.8)
À partir de Pn, la projection dans le sous-espace bruit est calculée par l’équation suivante.
pn(θ) = 1
Na
†
θPnaθ (4.9)
Lorsque la projection pn(θ) s’annule, ceci signifie que le vecteur d’analyse aθ est orthogonal
directionnel d’une source. L’angle θ de ce vecteur d’analyse correspond alors à une direction d’arrivée d’une source. En présence de bruit non idéal, c’est-à-dire différent de (σ2
nI), la
projection n’est plus totalement nulle, mais correspond à un minimum.
La quantité pn(θ) peut être tracée dans un graphique pour tous les angles θ analysés. Au lieu
de tracer directement le résultat de la projection, on trace plutôt 10 log 1
pn(θ)
(4.10) ce qui fournit le pseudo-spectre, en dB, en fonction de θ. Comme il s’agit de l’inverse de la distance qui est tracée, les positions des sources correspondent à des maximums. Ainsi, le positionnement des sources est obtenu en localisant les angles où le pseudo-spectre est maximum. En présence d’un bruit non idéal, la précision diminue lorsque le SNR diminue, et les amplitudes des maximums diminuent aussi. Lorsque le SNR est faible, les pics obtenus sont arrondis et il peut y avoir un biais de la position, parce que le bruit affecte les valeurs et vecteurs propres, affectant ainsi la précision de la localisation.
4.3.1 MUSIC en deux dimensions
La section précédente a présenté l’algorithme MUSIC dans le cas d’un front d’onde plan (sec- tion3.2.2) où seulement la direction d’arrivée θ de chaque source est déterminée. L’algorithme s’applique aussi dans le cas d’un front d’onde courbe et il permet d’estimer les distances des sources en plus des directions d’arrivée, comme présenté en [11]. Par contre, dans [11], l’atté- nuation causée par la distance de la source est prise en compte. Ce n’est pas notre cas parce que les capteurs sont assez rapprochés.
L’algorithme s’applique de la même manière, en procédant à quelques ajustements. D’abord, il y a deux paramètres pour chaque source, soit l’angle θ et la distance r. Ainsi, le vecteur d’analyse a(θ, r) dépend de ces deux paramètres et correspond à un vecteur directionnel pour un front courbe présenté à la section3.2.2. C’est ce vecteur qui est projeté dans le sous-espace bruit. Ensuite, comme il y a deux paramètres, le balayage se fait en deux dimensions, sur deux axes (angle et distance). Ainsi, il faut faire la projection pour chaque angle pour toutes les distances à tester.
Les résultats des projections sont présentés dans un graphique. Comme il y a deux paramètres, le graphique est en trois dimensions. La localisation des sources se fait de la même manière que MUSIC, soit en repérant les maximums du pseudo-spectre, qui correspondent aux angles et distances des sources.