Algorithme et initialisation

4.2 Étude DEM d'une dispersion granulaire sous vibrations en cellule

de type Couette . . . . 87

4.2.1 Géométrie du système et propriétés des particules . . . 87

4.2.2 Résultats et discussion sur l'étude numérique . . . 89

4.3 Bilan et perspectives sur l'étude numérique d'un rhéomètre à poudres

sous vibrations . . . . 93

Dans cette partie, nous présentons dans un premier temps le principe des simulations en

dynamique moléculaire de DEM (Discrete Element Method), en axant sur les choix que nous

avons fait pour notre étude. Puis nous décrivons la géométrie et les paramètres de simulations

an de présenter les résultats obtenus sur l'étude numérique d'un rhéomètre à poudres sous

vibrations. Ce travail a été réalisé dans le but d'obtenir simultanément les informations locales

et globales dans le cas d'une dispersions de grains secs.

4.1 Principe général des simulations numériques en DEM

La méthode de dynamique moléculaire appliquée aux milieux granulaires fut développée par

Cundall et Strack [103] en 1979, et appelée DEM (Discrete Element Method). Cette méthode

considère les particules comme des sphères déformables interagissant lors de chocs décrits par des

lois de frottement et de répulsion. Les trajectoires individuelles sont alors calculées en résolvant

les équations du mouvement à chaque pas de temps. Actuellement, cette méthode est la plus

utilisée pour simuler des milieux granulaires, dont nous connaissons les limites. En eet, il est

commun de modier les propriétés des matériaux (module d'Young ou coecient de frottement

par exemple) an de limiter les temps de calcul pouvant être très longs. Notons aussi la réduction

des systèmes simulés compte-tenu des moyens informatiques actuels (typiquement, un nombre

de particules inférieur à10 millions). Nous présentons ici de manière générale la méthode DEM.

4.1.1 Algorithme et initialisation

An d'illustrer la structure du programme ainsi que les principales caractéristiques de la

méthode DEM, nous pouvons prendre un schéma simple de l'algorithme utilisé :

1. Initialisation des grains : la première étape consiste à donner à chaque particule i une

masse m

_i

, un rayon R

_i

, un moment d'inertie I

_i

, une position x

_i

, y

_i

, z

_i

, une vitesse de

rotationωi et une vitesse de translationVT

_i

initiales dans chaque coordonnée de l'espace.

Les grains ne doivent pas se chevaucher et les positions doivent être compatibles avec la

géométrie du système simulé. Dans nos simulations nous avons choisi de déposer les grains

par gravité, ou pluviation, car cela reète la réalité d'un dépôt sédimentaire (distribution

des orientations de contact anisotrope, irrégularité de la surface libre, ...).

2. Calcul des forces agissant sur chaque grain : gravité, frottement, chocs, ...

3. Intégration des équations du mouvement de manière simultanée pour toute l'assemblée

de grains.

4. Enregistrement des grandeurs souhaitées : position, vitesse, ...

Les étapes 2 à 4 sont répétées jusqu'à ce que le temps de simulation demandé soit atteint.

Calcul des forces par liste de Verlet

Le calcul des forces qui s'exercent entre particules passe tout d'abord par la recherche des

contacts. Pour cela, il existe plusieurs techniques dont la méthode des cellules, celle des cellules

liées ou encore la liste de Verlet. Dans nos simulations, le calcul des forces se fait par liste de

Verlet car la méthode des cellules, certes moins coûteuse en temps, n'est pas implémenter dans

le moteur de dynamique moléculaire LIGGGHTS (LAMMPS for Improved General Granular

and Granular Heat Transfer Simulations) [104, 105].

Dans une simulation DEM, deux grains n'interagissent que lorsqu'ils sont en contact, les

interactions se font alors uniquement à courte portée. La méthode de la liste de Verlet consiste à

dénir une listeL

_i

de particules "proches" constituant des contacts potentiels avec une particule

i dans un rayon R

_{V erlet}

(Fig. 4.1(a)). Pour N particules, le programme examine chacune des

84

N(N −1)/2 paires et sélectionne celles dont le centre est situé à une distance inférieure à

R

_{V erlet}

. Les mouvements des grains étant innitésimaux entre deux pas de temps consécutifs, la

liste est ainsi conservée pendant plusieurs pas de temps, puis actualisée après un laps de temps.

Cette actualisation se fait lorsqu'une quelconque particulejpourrait entrer en collision avec une

particule ialors qu'elle n'est pas un contact potentiel (j /∈L

_i

), i.e. la liste de Verlet n'est plus

valable lorsque∆

j

>∆

_update

=

1

2

R

_{V erlet}

−RmaxavecRmaxle maximum des rayons de particules.

Dans nos simulations,R

_{V erlet}

est grand devant la taille d'un grain mais très petit devant la taille

du système, typiquement de l'ordre de quelques particules, an d'optimiser le temps de calcul.

(𝑏)

(𝑎)

𝑅

_{𝑉𝑒𝑟𝑙𝑒𝑡}

𝑖

𝑖

𝑗

𝑡_𝑖𝑗

𝑛_𝑖𝑗

Figure 4.1 (a) La liste de Verlet consiste à rechercher les potentiels contacts avec une particule

i dans un rayonRV erlet. (b) Vue schématique des directions normale~nij et tangentielle ~t

ij

lors

d'un contact entre deux sphèresietj.

L'étape d'après consiste à chercher dans la liste de candidats potentiels pour une collision

ceux qui sont en contact. Le programme identie deux particules ietj en contact si la distance

qui les sépare est inférieure à la somme de leurs rayonsR

_i

etR

_j

. Entre ces deux particules s'exerce

alors une force décomposée en une force normale _F~

n

ij

dirigée selon le vecteur normal au contact

~

n

_ij

=~r

_ij

/r

_ij

, où~r

_ij

est le vecteur reliant les centres de iet dej, et en une force tangentielle_F~

t ij

dirigée selon le vecteur tangent au contact~tij =~v

_ij^g

/v

_ij^g

, où~v

^g_ij

est la vitesse de glissement de i

par rapport à j (Fig. 4.1(b)).

La force normale se décompose elle-même en une force élastique qui représente la répulsion entre

particules et une force dissipative qui reproduit l'inélasticité des collisions. Dans nos simulations,

la force élastique est calculée en choisissant un contact de Hertz adapté à la collision de deux

sphères déformablesi etj :

F

_ij^Hertz

= ^2E

3(1−ν

2

)

q

R

_ij^{ef f}

δ

_ij^3/2

avec E le module d'Young, ν le coecient de Poisson, R

^{ef f}_ij

= 1/R

_i

+ 1/R

_j

le rayon eectif et

δ

_ij

= R

_i

+R

_j

−r

_ij

le recouvrement des particules. La composante dissipative est calculée en

considérant une force de frottement visqueuse F

^visq

associée à une force élastique linéaire qui

conduit à une équation du second ordre :

F

^visq

=−k

_n

dδ

dt et m

_{ef f}

d

2

δ

dt

2

+γ

_n

dδ

dt +k

_n

δ= 0

En résolvant exactement cette équation, on peut alors exprimer la durée des chocs ∆t

^coll

ainsi

que le coecient de restitution een fonction des constantes de simulation k

_n

etγ

_n

:

∆t

^coll

=π

r

m

_{ef f}

kn

1− ^γ

2 n

4m

_{ef f}

kn

−1/2

et e= exp

− ^γn

2m

_{ef f}

∆t

^coll

La force tangentielle est une force due aux frottements. Dans nos simulations, le frottement

est de type solide et obéit à la loi d'Amontons-Coulomb, 1773 (Fig. 4.2(a)). Dans cette loi, la force

tangentielle F

_ij^t

est reliée à la force normaleF

_ijⁿ

par la constante de proportionnalité notéeµ, le

coecient de frottement dynamique. Dans ce cadre, si la vitesse de glissement v

^g_ij

est nulle alors

la valeur de la force tangentielle est indéterminée, or l'intégration des équations du mouvement

requiert une valeur de F

_ij^t

. Ce problème est alors contourné par une régularisation de la loi de

Coulomb en raccordant les deux branches par un segment de pente nie γt (Fig. 4.2(b)). Cette

loi régularisée entraine une force tangentielle nulle dans les cas statiques et quasi-statiques. An

de palier au problème, une force de type ressort est utilisée pour le calcul de la force tangentielle,

basée sur le modèle de Cundall [103] et faisant intervenir le recouvrement tangentiel δ

_t

:

F

_ij^ressort

=−min |ktδt|,|µF

_ijⁿ

|

et δt=

Z

traj

~t.~dl

(𝑏)

(𝑎)

𝐹𝑡

𝑣𝑔

𝜇𝐹𝑛

𝐹𝑡

𝑣𝑔

𝜇𝐹𝑛

𝛾_𝑡

Figure 4.2 (a) Loi de frottement d'Amontons-Coulomb, 1773. (b) Loi de Coulomb régularisée

par un segment de pente γt.

Nous avons dorénavant tous les éléments pour intégrer les équations du mouvement.

Dans le document Rhéologie et contrôle des écoulements de dispersions granulaires par l'application de vibrations (Page 94-97)