Algorithme de Gustafson-Kessel

Les pixels qui décrivent les cellules font partie de modèles ellipsoïdaux. Or, l’objectif de la méthode Gustafson-Kessel [Gus79] (GK) est de chercher des classes de types ellipsoïdales. Com- parée aux FCM, en considérant la distance de Mahalanobis et une matrice de covariance pour chaque classe, les clusters ont une forme ellipsoïdale. La matrice est mise à jour aussi souvent que le sont les centres des classes. La classe recherchée est un prototype βi (ci, Ci), où ci est le centre de la classe et Ci la matrice de covariance floue qui définit la forme de la classe.

La distance de l’échantillon i au prototype j s’écrit

dij(xi, βj) = (det Cj)1/p(xi− cj)TCj−1(xi− cj) (3.3) Afin de minimiser la fonction objectif, les prototypes sont mis à jour par les équations sui- vantes : cj = 1 Nj n X i=1 (µm_ij)xi , (3.4)

3.1. Classification des cellules par des méthodes floues où cj est le centre de la classe j,

et Cj = 1 Nj n X i=1 (µm_ij)(xi− cj)(xi− cj)T (3.5) telle que Cj est la matrice de variance covariance floue,

avec Nj = n X i=1

(µij)m. (3.6)

Le processus d’extraction de classes se résume par l’algorithme 1

Données : K classes, N échantillons à classer, partition initiale Résultat : Partition finale

répéter Calculer le centre de j vj = Pn i=1(µmij)xi Pn i=1(µmij)

Calculer la matrice de covariance floue pour le prototype j Cj = 1 Nj n X j=1 (µm_ij)(xi− cj)(xi− cj)T avec Nj = n X i=1 (µij)m Calculer la distance de l’échantillon i au prototype j

dij(xi, βj) = (det Cj)1/p(xi− cj)TCj−1(xi− cj) Mettre à jour la matrice de partition

µij = Pc 1

k=1(dij/dkj1 )1/(m−1) jusqu’à Convergence;

La figure 3.4 présente les résultats de l’application de GK pour la recherche de classes dans des régions. Pour l’initialisation, l’implémentation est basée sur l’algorithme de FCM pour la sélection des points en fonction de l’histogramme des niveaux de gris.

Fig. 3.4 – Recherche de classes par GK

Sur cette figure, par région, ce sont les degrés d’appartenance supérieurs à une valeur seuil 0.5 qui apparaissent. Les classes engendrées identifient des portions de cellules mais il apparaît quelques recouvrements de classes. Pour les cellules bourgeonnantes, la distinction des cellules n’est pas totale. Si GK permet d’identifier deux cellules pour une cellule bourgeonnante, l’extrac- tion des pixels de chacune des classes n’identifie pas correctement une cellule (mère ou fille). De plus, pour la deuxième cellule de la figure 3.4, pour une cellule seule, GK identifie deux classes de cellules.

Effets du degré d’appartenance

Fig. 3.5 – Variation du degré d’appartenance (0.5, 0.6, 0.7)

Pour six cellules (numérotées de 1 à 6, de gauche à droite), on fait varier le degré d’appartenance (de haut en bas) pour les valeurs 0.5, 0.6 et 0.7

3.1. Classification des cellules par des méthodes floues un lien avec la position des points. Plus le degré d’appartenance augmente, moins les classes sont définies précisément. Dans certains cas (cellules 4 et 6), il fournit une très bonne partition des classes, mais en général, la perte d’informations est trop importante au niveau des cols, pour que ce critère soit efficace. En fait ce sont des sections de cellules qui sont extraites mais elles ne sont pas assez représentatives de l’ensemble d’une cellule. Par ailleurs plus le degré d’appartenance est élevé et plus les points qui correspondent aux classes sont localisés dans de fortes densités de pixels.

Importance du degré de flou m (ou degré de fuzzification)

De même, dans la mise en œuvre, la valeur du degré de flou a été testée d’abord dans des intervalles réduits (2.1,2.0,1.9,1.8) puis dans des intervalles plus importants (2.5,3.0). Visiblement pour de faibles variations du degré de flou, les degrés d’appartenance n’évoluent pas sensiblement. Cependant, le meilleur partitionnement intervient pour une valeur de m = 3. Ce paramètre est surtout utilisé afin de déterminer les centres des classes. Même si le partitionnement ne parait pas optimal, les centres des classes sont mieux définis.

Défauts de la méthode

Bien que l’algorithme de Gustafson-Kessel se propose de classer des échantillons dans des classes de type ellipsoïdal, la classification est loin d’être optimale, car les FCM fournissent des résultats plus probants. De plus, concernant les cellules seules, la méthode renvoie un partition- nement qui fait correspondre une cellule seule à deux classes distinctes alors que les FCM n’en fournissent qu’une seule.

3.1.4 Conclusion

Isodata est le premier algorithme à avoir été mis en oeuvre. Sur quatre cellules bourgeon- nantes, une seule classification a localisé précisément la présence d’un bourgeon en partitionnant bien les échantillons. Mais ce résultat ne peut occulter que la méthode Isodata ne fournit pas de partition optimale des classes, ce qui est la conséquence de la définition du partitionnement.

L’introduction des méthodes floues consistaient à fournir des distributions d’appartenance des échantillons aux classes. Ainsi, le partitionnement des cellules par les FCM fait nettement ressortir des classes qui peuvent être identifiées comme sections de cellules, en particulier les cellules bourgeonnantes. Cette méthode est peu coûteuse en temps de calcul et fournit des résul- tats probants, principalement pour une cellule seule, où elle identifie une seule classe. Pour les bourgeons, même si cette méthode n’extrait pas des classes différenciées par l’emplacement des cols, les FCM permettent d’identifier deux cellules.

Théoriquement la méthode de Gustafson Kessel se propose de trouver des classes de type ellipsoïdales par rapport au type de distance calculée, mais les classes obtenues se recouvrent et risquent d’influencer la recherche de modèles pour approximer ces classes.

Une étude menée sur le degré de flou m, a pu mettre en évidence que pour une valeur de m égale à 3, les résultats de la classification étaient plus encourageants.

Dans de futurs travaux, une nouvelle approche consisterait à combiner ces deux algorithmes afin que Gustafson Kessel soit “initialisé” par les FCM. Par ailleurs, il serait possible de faire une “fusion” entre le contour obtenu par le snake et les classes révélées par ces méthodes.