Algorithme d'interse tion de deux matroïdes

Soientdeuxmatroïdes

(E,F1)

et

(E,F2)

etunefon tiondepoids

c : E→ R

.Pourunentier donné

n

, leproblèmed'interse tionde matroïdes onsisteàtrouver(s'ilexiste) l'ensemble

Fn∗

indépendant ommun(

Fn∗ ∈ F1∩ F2

)de

n

élémentsdepoidsmaximal.

J. Edmonds démontra qu'il était possible de résoudre e problème de manière optimaleet polynomiale,etproposanotammentunalgorithmegénériquepourlerésoudre[31℄.D'autresau- teursmodièrent/améliorèrentparlasuite esappro hes omme([41℄et [63℄).

respe teraitl'appartenan eauxdeuxfamilles,tantqu'au unrangdematroïden'estatteintpar etensemble.Commeilestprobableque enesoitpastoujourspossible,l'algorithmedétermine le as é héant quelle permutation neutre (au sensdes oûts de haque matroïde) permettrait d'ajouter et(ou es)élément(s) de oûtmaximaux.Enn,dansle asoùmême ette transfor- mationestimpossible, ommentmodier es oûts pourdéterminerl'(es) élément(s) suivant(s) quipourrai(en)têtreintéressant(s).

En notant, pour tout ensemble

F

⊆ E, F ∈ F

,

cli(F )

la fermeture de

F

dans le matroïde

i

(unique d'après2.2), et

Si(x, F )

le stigme induit par

x

sur l'ensemble

F

dans le matroïde

i

(uniqued'après2.2).Lepseudo- odedel'algorithmeestprésentéparlepseudo- ode5.Nousen donnonsunedes ription i-après:

Soit

(1)

désignantlepremiermatroïdeet

(2)

lese ond.L'algorithmeseprésente ommesuit; nousinitialisonsnotre ensembled'arêtes ommevide, soitàl'itération0,

F0=∅

(étape1). Les élémentssontmunisd'un oût diérentpour haquefamille.Pourl'une desfamillesilseraini- tialiséparle oûtréel del'ar ( oûtdansleproblème),tandisquepourl'autre,ilserainitialisé à0.Nous hoisissonslematroïde

(2)

poursupporterles oûts"réels"et

(1)

,les oûtsnuls.Nous allonsensuiterépéterlesétapessuivantestantquela ardinalitédenotreensemble

Fn

n'ex ède paslerangdel'undenosdeuxmatroïdes(répétitiondesétapesde3à25dé rites i-après).

Nous al ulons pour haque famille,l'ensemble

Ei

(

i∈ {(1), (2)}

désignantl'undesdeux matroïdes)desélémentsde oûtmaximal( arunélémentde oûtmaximaln'estpasné essaire- mentunique), quine sontpasen ore omprisdansnotre ensemble

F

, et telsqu'ilsformeraient toujours une famille de e matroïde si ils sont ajoutés (étapes 4 et 5). Le le teur remarquera que ela orrespond don àl'ensemble omplémentaire de la fermeturede

Fn

dans

E

pour e matroïde,etdontles oûtssontmaximaux.

Nousallonsextrairelegrapheorientésuivant:

G(E, A)

oùlesn÷udsdugraphesreprésentent les éléments de

E

, et où les ar s

A

représentent une interversion possible de es éléments sur notreensemble ourant

Fn

.Lele teurpourraporteruneattentionparti ulièredesappellations; lorsquenousparleronsd'arêtesils'agiraoudesliensdugraphe"réel"

G(V, E)

,oudesn÷udsdu graphede

G(E, A)

.Lesar s,enrevan henedésignerontquelesliensdanslegraphede

G(E, A)

. L'ensembledesar sestinitialisé ommevide(étape7).Nous réonsalorslesar sdelamanière suivante.

Pourlematroïde

(1)

,nousregardons haqueélément

x

quinepeuventêtreajoutésà

Fn

sans rompreladénitiondelafamillepour e matroïde.Lele teurnoteradon que ela orrespond auxélémentsdelafermetureengendréepar

Fn

etquinesontpasdans

Fn

.Nousregardonsalors pour ha unde es

x

,quelssontleséléments

yn

de

Fn

quipeuventêtreintervertisave

x

desorte que

Fn

reste une famille pourle matroïde

(1)

, et qui possèdent un oût identique. Le le teur remarqueraalorsqu'ils'agit dustigme engendrépar

Fn∪ {x}

privéde

x

et dontles oûtssont identiques.Nous onstruisonsalorslesar spour ha unde es ouples

(x, y)

.

Pourlematroïde

(2)

,nousgénéronsdesar ssimilairesmaisdansunsensopposé.C'est-à-dire quenousregardonslesélémentsquipourraientêtreajoutésenretirantunautreélémentdemême oûtselonlematroïde2,desorteà e quel'onobtiennetoujoursunensemble appartenantàla famillede ematroïde.

On pourra alorsvoirles ar s omme despossibilités demodi ationde notre ensemble

Fn

paré hangesd'élémentsave son omplémentaire,qui onserventlapropriétédefamille,et qui gardelemême oût.De efait,silesmeilleurséléments(entermede oût)selon haquefamille de matroïdes peuvent être reliés par aumoins un hemin, il existe une manière deles ajouter touslesdeux (et retirer elui quiétait dans

Fn

), sansmodier le oût dela solution ourante, et engardantlapropriétéd'appartenan eaux deuxfamilles.Ce i est représentéparl'étapede 11à15,et égalementparlagure2.2.Le heminpossèdedeux élémentsnonin lus dansle

Fn

ourant: le départ et l'arrivée. Les éléments intermédiaires sont euxqui serontpermutés. Le nouvelensemble

Fn+1

estdon naturellementladiéren esymétriqueentre

Fn

et e hemin.

Dans le as où il n'est pas possible de relier es deux éléments, nous allons alors hanger les oûts. Commenous her honsà maximiserle oût de la solution,et quenous avonsdéni lepointde "départ",les éléments non atteignables doiventavoirun oût plusimportant pour devenir"intéressants".Ce idanslebutde réerdeslienset/ouquelesensembles

E1

et

E2

aient uneinterse tionnon nulle.Cependant,pours'assurerqu'ilyait onservation du oût total, ilestné essaire defairebas uler e oûtd'unmatroïdeàl'autre.

La valeur de oût ainsi "bas ulée" doit être prise selonle minimum des diérentiels entre l'ensembledesarêtes"atteignables"et l'ensembledesarêtes"non-atteignables"depuis

E2

( e i dans le but de ontrler la"pénalité",et s'assurer que nous ne onstruisons pasun problème opposé). C'est e qui est al ulé danslesétapes16 à20,avantdemodier réellementles oûts desélémentspour ha undesmatroïdes(étapes21à24).

F

cl 1 (F)

cl 2 (F)

E 1

E 2

E

Figure 2.2 Représentation des ensembles induits par les deux Matroïdes et le graphe

G =

Dans le as général, et algorithme possèdeune omplexité donnéepar

O(|E|

3

.θ)

, où

θ

re- présente la omplexitémaximaleentrelesdeuxora les d'indépendan e (véri ationdel'appar- tenan eàlafamille).

Il est intéressant de noter quele problème d'interse tion de

N

matroïdes,

N > 2

, est NP- di ile.

Dans le document Décomposition de multi-flots et localisation de caches dans les réseaux (Page 43-46)