Adaptation des transferts r´eseau multirails aux effets NUIOA

Adaptation des communications MPI aux contraintes NUIOA

5.1 Adaptation des transferts r´eseau multirails aux effets NUIOA

Sejam T ∈ B(X, Y ), S ∈ B(X, Z). Diremos que S é múltiplo a esquerda de T se existe V ∈ B(Y, Z) tal que S = V T . Similarmente, escreveremos S = T U quando S é um múltiplo a direita de T . Em ambos os casos diremos que S fatora com respeito a

T. Mostraremos nesta seção (Teorema 2.4.1) sob quais condições podemos armar que S fatora com respeito a T . Tais condições envolvem os conceitos de majoração, inclusão de imagens e de subespaço complementado. Recordemos que um subespaço fechado E de X é complementado se existe um subespaço fechado F de X tal que X = E ⊕ F . Por m, apresentaremos uma aplicação deste resultado em B(X).

Teorema 2.4.1. Seja T ∈ B(X, Y ). Então:

(1) Se S ∈ B(X, Z) é majorado por T e R(T ) é complementado, então existe V ∈ B(Y, Z) tal que S = V T .

(2) Se S ∈ B(Z, Y ) com R(S) ⊆ R(T ) e N (T ) é complementado, então existe U ∈ B(Z, X) tal que S = T U.

(3) Se S ∈ B(X, Z) com R(S∗_{) ⊆ R(T}∗₎ _{e R(T ) é complementado, então existe V ∈}

B(Y, Z) tal que S = V T .

(4) Suponhamos X reexivo. Se S ∈ B(Z, Y ), T∗ _{majora S}∗ _{e N (T ) é complementado,}

então existe U ∈ B(Z, X) tal que S = T U.

Demonstração. (1) Sejam T ∈ B(X, Y ), S ∈ B(X, Z) e suponha que T majora S. Pela Proposição 2.1.1, existe V1 ∈ B(R(T ), Z)tal que S = V1T.Como R(T ) é complementado,

existe um subespaço fechado N de Y tal que Y = R(T ) ⊕ N. Então, basta tomar V : Y → Z, V ∈ B(Y, Z) a extensão de V1 tal que V |N = 0.

(2) Assuma as hipóteses de (2). Como N (T ) é complementado, existe um subespaço fechado W de X tal que X = N (T ) ⊕ W . Assim, dado x ∈ X arbitrário existem únicos u ∈ N (T ) e w ∈ W tais que x = w + u. Logo,

T x = T w + T u = T w, e portanto

T (W ) = R(T ). Seja TW : W → Y. Resulta que

T_W−1: R(T ) → W

T x 7→ T_W−1(T x) = x é uma aplicação linear fechada.

30 De fato, sejam G = {(u, T−1

W u) | u ∈ R(T )} e (a, b) ∈ G. Então, existe uma sequência

{un}n em R(T ), un= T xn = T wn tal que

un = T xn= T wn → a,

e {T−1

W un}n converge para b ∈ W . Devemos mostrar que TW−1a = b. Temos que

T_W−1un= TW−1(T wn) = TW−1(TWwn) = wn→ b.

Como TW é limitado, tem-se que

lim

n→∞TW(wn) = TW(b).

Por outro lado,

TW(wn) = T wn = un → a. Logo, TWb = a e TW−1a = b. Seja T_W−1S : Z → W z 7→ T_W−1S(z) e mostremos que T−1

W S é um operador linear fechado. Com efeito, sejam

G(T_W−1S) = {(z, T_W−1Sz) | z ∈ Z} e (u, v) ∈ G(T−1

W S). Logo, existe uma sequência {zn}n em Z tal que

lim n→∞zn= u e lim n→∞T −1 W Szn = v.

Como S é limitado e R(S) ⊆ R(T ), vem que

T vn= Szn→ Su = T x0,

com {vn}n ∈ D(T )e x0 ∈ D(T ). Assim, T_W−1(T vn)= T_W−1(Szn) → v e segue que

e (T x0, v) ∈ G(TW−1) = G(T −1 W ), já que T−1 W é fechado. Portanto, v = T −1

W (T x0) = TW−1Su. Pelo Teorema do Gráco

Fechado, T−1

W S é limitado. Tomando U = T −1

W S, temos que U ∈ B(Z, X) e

S = T T_W−1S = T U,

pois como R(S) ⊆ R(T ), então para todo z ∈ Z existe x ∈ X tal que Sz = T x e T T_W−1Sz = T T_W−1T x = T T_W−1T w = T T_W−1TWw = T w = T x = Sz, z ∈ Z, w ∈ W.

(3) Pelo Teorema 2.2.1 (2), temos que T majora S. Usando a armação (1) obtemos o resultado.

(4) Pelo Teorema 2.2.1 (4), temos que R(S) ⊆ R(T ). Usando a armação (2) o resultado segue imediatamente.

Estudaremos agora, uma aplicação de fatoração em B(X). Sejam Xm = X ⊕ X ⊕ ... ⊕ X | {z } , x ∈ Xm. m cópias de X Então, x é da forma x = x1⊕ x2⊕ ... ⊕ xm,

e é fácil ver que a aplicação

||.|| : Xm → K

x 7→ ||x|| = ||x1⊕ ... ⊕ xm|| = P m

k=1||xk||

é uma norma.

Seja V ∈ B(Xm, X), dado por

V : Xm → X

x 7→ V (x) = V (x1⊕ ... ⊕ xm) = Pm_k=1Vk(xk),

32 Proposição 2.4.1. Sejam S ∈ B(X) e Tk ∈ B(X), 1 ≤ k ≤ m. Suponhamos que R(Tk)

é complementado para todo k e que uma das condições (1) ou (2), dadas abaixo, vale: (1) Existe M > 0 tal que ||Sx|| ≤ M Pm

k=1||Tkx||, para todo x ∈ X.

(2) R(S∗_{) ⊆} Pm

k=1R(T ∗ k).

Então, existe Vk∈ B(X), 1 ≤ k ≤ m, tal que

S = V1T1+ V2T2+ ... + VmTm.

Demonstração. Dena T ∈ B(X, Xm) por

T (x) = T1(x) ⊕ T2(x) ⊕ ... ⊕ Tm(x), x ∈ X.

Note que, como R(Tk) é complementado para todo k, então R(T ) é complementado.

Suponhamos que (1) vale. Então, existe M > 0 tal que ||Sx|| ≤ MPm

k=1||Tkx||, para todo x ∈ X.

Agora, notemos que

||T x||Xm = ||T1x ⊕ ... ⊕ Tmx|| = P

k=1||Tkx||. Logo, T majora S. Assim, aplicando o

Teorema 2.4.1 (1), existe V ∈ B(Xm, X) tal que S = V T . Pelo que vimos, V tem a

seguinte forma

V : Xm → X

x 7→ V (x) = Pm

k=1Vk(xk),

onde Vk ∈ B(X), para todo k = 1, ..., m. Além disso, para todo x ∈ X

Sx = (V T )x = V (T x) = V (T1x ⊕... ⊕ Tmx)= P m

k=1Vk(Tkx) = V1T1x + ... + VmTmx.

Supondo (2) válida, segue que R(S∗_{) ⊆}Pm

k=1R(T ∗

k). Além disso, sendo T

∗ _{∈ B(X}∗ m, X ∗₎_, R(T∗₎ _{= {T}∗_{ϕ | ϕ ∈ X}∗ m}= {P m k=1T ∗ k(ϕk) | ϕk∈ X∗} = Pm k=1{T ∗ k(ϕk) | ϕk∈ X∗} = Pm k=1R(T ∗ k).

Portanto, R(S∗_{) ⊆ R(T}∗₎_{. Aplicando o Teorema 2.4.1 (3), existe V ∈ B(X}

m, X) tal

x ∈ X,

Sx = V T x = V (T1x ⊕ ... ⊕ Tmx) = V1T1x + ... + VmTmx,

ou seja, S = V1T1+ ... + VmTm.

Denição 2.4.1. Seja Tk ∈ B(X), 1 ≤ k ≤ m. Então o conjunto {T1, ..., Tm} é dito ser

mutuamente limitado inferiormente se existe M > 0 tal que ||x|| ≤ MPm

k=1||Tkx||, para todo x ∈ X.

Corolário 2.4.1. Suponha que Tk ∈ B(X), para 1 ≤ k ≤ m, e que R(Tk) é comple-

mentado para todo k. Se {T1, ..., Tm} é mutuamente limitado inferiormente, então existe

Vk ∈ B(X), 1 ≤ k ≤ m, tal que

I = V1T1 + ... + VmTm.

Capítulo 3

Majoração, Inclusão de Imagens e

Fatoração de Operadores Lineares não

Limitados

Em [9] tem-se uma versão do Teorema de Douglas no contexto de operadores não limitados em espaços de Hilbert. Com essa motivação, Forough apresenta em [12] uma generalização para espaços de Banach. Assim como Barnes, Forough expõe resultados que relacionam os conceitos de majoração, inclusão de imagens e fatoração. Em detrimento da hipótese da limitação dos operadores assumiremos que eles são fechados e densamente denidos. Iniciaremos o capítulo denindo tais operadores e apresentando outros conceitos que serão úteis ao longo do capítulo, como por exemplo, o conceito de operador fechável e fecho de operador.

Denição 3.0.1. Sejam X e Y espaços normados. Diremos que um operador linear T : D(T ) ⊆ X → Y

é densamente denido se D(T ) é denso em X, isto é, D(T ) = X.

A norma do espaço vetorial X × Y é denida por ||(x, y)|| = p||x||2_{+ ||y||}2.

Denição 3.0.2. Sejam X e Y espaços normados. Diremos que um operador linear T : D(T ) ⊆ X → Y é fechado se o gráco de T , G(T ), é um subespaço fechado de X × Y .

Ou seja, T é fechado quando dada qualquer sequência {xn}n em D(T ) com limn→∞xn =

x ∈ X e limn→∞T (xn) = y ∈ Y tem-se que x ∈ D(T ) e y = T x. Evidentemente, todo

operador contínuo é fechado, quando o seu domínio é fechado.

Teorema 3.0.1. Sejam X e Y espaços normados e T : X → Y uma transformação linear. Então o gráco de T é fechado se, e somente se, para qualquer sequência {xn}n

em D(T ) com limn→∞xn= 0 e limn→∞T xn = y, tem-se que y = 0.

Demonstração. Veja [7] - Proposição 12.7, página 92.

Denição 3.0.3. Sejam X e Y espaços normados. Diremos que um operador linear T : D(T ) ⊆ X → Y é fechável quando dada uma sequência {xn}n em D(T ) com limn→∞xn =

0 e {T xn}n convergente em Y , tem-se que limn→∞T xn = 0.

Denição 3.0.4. Sejam X e Y espaços normados. Seja T : D(T ) ⊆ X → Y um operador linear fechável. O operador fecho de T é a aplicação T com domínio

D(T ) = {x ∈ X | ∃ {xn}n⊆ D(T ), xn→ x, T xn→ y ∈ Y }

e denido como

T x = lim

n→∞T xn.

3.1 Inversas Generalizadas

O conceito de inversa generalizada será essencial no cenário de operadores não limitados. Em vista disso, reservamos esta primeira seção, a qual será baseada em [17] para denir este conceito e apresentar alguns resultados relevantes ao desenvolvimento do capítulo.

Denição 3.1.1. Seja X um espaço de Banach. Sejam T e T0 _{operadores fechados}

densamente denidos em X a valores em X. Então T0 _{é uma inversa generalizada de T}

R(T ) ⊆ D(T0₎_{, R(T}0_{) ⊆ D(T ),}

36 T0v = T0T T0v, para todo v ∈ D(T0)

e será denotada por T (inv)T0_.

Observação 3.1.1. A relação acima denida é simétrica, isto é, T (inv)T0 _{⇔ T}0_(inv)T_.

Denição 3.1.2. Seja X um espaço de Banach. Uma projeção P em X é um operador linear

P : D(P ) ⊆ X → X

tal que P2 _{= P}_{, isto é, P x ∈ D(P ) e P}2_{x = P x} _{para todo x ∈ D(P ). Se P é uma}

projeção em X, então

R(P ) = {P x | x ∈ D(P )} = {x ∈ D(P ) | P x = x} e

N (P ) = {x ∈ D(P ) | P x = 0} são subespaços de X tais que R(P ) ∩ N (P ) = {0}.

Proposição 3.1.1. Sejam T e T0 _{operadores fechados densamente denidos em um espaço}

de Banach X a valores em X com T (inv)T0_{. Então,}

(1) T T0 _{é uma projeção de D(T}0₎ _{sobre R(T ) de núcleo N (T}0₎_.

(2) T0_T _{é uma projeção de D(T ) sobre R(T}0₎ _{de núcleo N (T ).}

Demonstração. Se v ∈ D(T0_{) = D(T T}0₎_{, então}

(T T0)2v = T T0(T T0v) = (T T0T )T0v = T T0v.

Além disso, R(T T0_{) ⊆ R(T )} _{e N (T}0_{) ⊆ N (T T}0₎_{. Se v ∈ R(T ), então existe u ∈ D(T )}

tal que

v = T u = (T T0T )u= T T0(T u) ∈ R(T T0). Portanto, R(T T0₎ _{= R(T ). Se v ∈ N (T T}0₎_{, então (T T}0_{)v = 0}_,

T0v = (T0T T0)v = T0(T T0v) = 0

e assim, N (T T0₎ _{= N (T}0₎_{. A prova do item (2) é análoga já que se T (inv)T}0 _então

Observação 3.1.2. Sejam T e T0 _{operadores fechados densamente denidos em um es-}

paço de Banach X a valores em X com T (inv)T0_{. Então, D(T}0₎ _{= N (T}0_{) ⊕ R(T )}_{e D(T )}

= N (T ) ⊕ R(T0₎_.

Proposição 3.1.2. Sejam X um espaço de Banach e T , T0 _{operadores fechados densa-}

mente denidos em X a valores em X com T (inv)T0_{. Se T}0 _{é limitado, então D(T}0₎ ₌

Demonstração. Pela Observação 3.1.2 temos que D(T0

) = N (T0) ⊕ R(T ).

Já sabemos que D(T0₎ = X e assim resta mostrar que D(T0_{) ⊆ D(T}0₎_{. Seja u ∈ D(T}0₎.

Então existe {un}n em D(T0) tal que limn→∞un = u. Como T0 é limitado, temos que

{T0_u

n}n é uma sequência de Cauchy. De fato, dado ε > 0, como {un}n é sequência de

Cauchy existe N0 ∈ N tal que

||T0un− T0um|| ≤ ||T0|| ||un− um|| < ε, ∀m, n ≥ N0. Como X é Banach, {T0_u n}n é convergente, digamos v = lim n→∞T 0 un. Assim, lim n→∞(un, T 0 un) = (u, v) ∈ G(T0) = G(T0), e resulta que (u, v) = (z, T0z), z ∈ D(T0). Logo, u = z ∈ D(T0₎ _{e X = D(T}0₎_.

Proposição 3.1.3. Sejam T e T0 _{operadores fechados densamente denidos em um espaço}

de Banach X a valores em X com T (inv)T0_{. Então, T T}0 _{: D(T T}0_{) → X} _{é fechado se, e}

somente se,

R(T ) ∩ N (T0) = {0}.

Neste caso, temos D(T T0₎ = R(T ) ⊕ N (T0₎_{, R(T T}0₎ = R(T ), N (T T0₎ = N (T0₎ _{e T T}0 é

38 Demonstração. Suponhamos que T T0 _{: D(T T}0_{) → X} _{é fechado. Pela Proposição 3.1.1,}

T T0 é uma projeção de D(T0) sobre R(T ), de núcleo N (T0). Seja v ∈ R(T ) ∩ N (T0). Então existe uma sequência {un}n em D(T ) tal que limn→∞T un = v. Seja

wn = T un− v.

Como v ∈ N (T0_{) ⊆ D(T}0₎ _{e R(T ) ⊆ D(T}0₎_{, vem que w}

n∈ D(T0) e

(T T0)wn = T T0(T un− v) = (T T0T )un− T T0v = T un.

Logo, limn→∞wn = 0 e limn→∞T T0(wn) = v. Ou ainda, limn→∞(wn, T T0(wn)) = (0, v).

Como T T0 _{é fechado, temos que (0, v) ∈ G(T T}0₎_{, isto é, T T}0₀ _{= v e, portanto, v = 0.}

Logo, R(T ) ∩ N (T0₎ _{= {0}.}

Reciprocamente, suponhamos que R(T ) ∩ N (T0₎ _{= {0} e seja {v}

n}n uma sequência em

D(T T0₎ _{= D(T}0₎ _{tal que lim}

n→∞vn = 0 e limn→∞(T T0)vn = w. Segue que w ∈ R(T ).

Consideremos a sequência {un}n dada por

un = (I − T T0)vn.

Então, un ∈ N (T0) e limn→∞un = −w. Além disso, sendo G(T0) o gráco de T0, temos

que

lim

n→∞(un, T 0

un) = (−w, 0) ∈ G(T0) = G(T0),

isto é, (−w, 0) = (u, T0_u)_{para algum u ∈ D(T}0₎_{. Logo, u = −w e T}0_{u = 0}_{. Segue também}

que T0_{(w) = T}0_{(−(−w)) = −T}0_{(u) = 0}_{, ou seja, w ∈ N (T}0₎_{. Portanto,}

w ∈ R(T ) ∩ N (T0) e assim

w = 0.

Isso prova que T T0 _{é fechado. Suponhamos agora que T T}0 _{é fechado e seja u ∈ R(T ) ⊕}

N (T0₎_{. Então, u = v + w com v ∈ R(T ) e w ∈ N (T}0₎_{; e existe uma sequência {x} n}n ⊆

D(T ) tal que limn→∞T xn= v. Consideremos a sequência {un}n dada por

un= T xn+ w.

T T0(un) = T T0(T xn+ w)= T T0T xn+ T T0w = T xn.

Logo, limn→∞T T0(un) = v e limn→∞un = v + w = u. Assim, u ∈ D(T T0) e T T0u = v, e

portanto R(T ) + N (T0_{) ⊆ D(T T}0₎_{. Como v = T T}0_u_{, v ∈ R(T T}0₎ _temos

R(T ) ⊆ R(T T0_).

Finalmente, como w ∈ N (T0₎ _{e a sequência {u}

n− T xn}n em D(T0) = D(T T0) converge para w e T T0_(u n− T xn) = T T0un− T T0T xn= T xn− T xn = 0, temos que T T0_{w = lim} n→∞T T 0 (un− T xn) = 0.

Logo, w ∈ N (T T0₎ e assim N (T0_{) ⊆ N (T T}0₎. Para mostrar as desigualdades opostas,

sejam u ∈ D(T T0₎e v = T T0_u. Então v ∈ R(T T0₎e existe uma sequência {u

n}n ⊆ D(T0)

tal que limn→∞un = u e limn→∞(T T0)un = v. Portanto, v ∈ R(T ) e R(T T0) ⊆ R(T ).

Como

un = (I − T T0)un+ T T0un → u,

então (I − T T0_)u

n → w = u − v, com u − v ∈ N (T0)pois, como T T0 é fechado

(un, T T0un) → (u, v) ∈ G(T T0) = G(T T0),

e assim v = T T0_u_{. Resulta que}

T0v = T0T T0u = T0u ⇒ T0u − T0v = 0 ⇒ T0(u − v) = 0 ⇒ u − v ∈ N (T0).

Logo, D(T T0_{) ⊆ R(T ) ⊕ N (T}0₎_{. Agora seja z ∈ N (T T}0₎. Então existe uma sequência

{zn}n em D(T T0) = D(T0)tal que limn→∞zn= z e limn→∞T T0zn = 0. Logo,

(z, 0) ∈ G(T T0_{) = G(T T}0

ou seja, T T0_{z = 0}_{. Daí, segue que, T}0_{T T}0_{z = T}0₀_{. Como T (inv)T}0_{, temos T}0_{z = 0}_{. Logo,}

z ∈ N (T0). Portanto, N (T T0_{) ⊆ N (T}0₎_{. É imediato vericar que (T T}0₎2 _{= T T}0.

Corolário 3.1.1. Sejam T e T0 _{operadores fechados densamente denidos em um espaço}

de Banach X a valores em X com T (inv)T0_{. Então, T T}0 _{é fechado se, e somente se,}

40 Demonstração. Suponhamos que T T0 _{: X → X} _{é fechado. Pela Proposição 3.1.3, obtemos}

que R(T ) = R(T T0₎. Seja v ∈ R(T ). Então, v ∈ R(T T0₎ e existe u ∈ D(T T0₎ tal que

T T0_{u = v}. Mas isso implica que existe uma sequência {u

n}n em D(T0) = D(T T0) tal que

limn→∞un = u e limn→∞T T0un = v. Equivalentemente, (u, v) ∈ G(T T0) = G(T T0), já

que T T0 _{é fechado. Logo, v = T T}0_u _{e assim, v ∈ R(T ).}

Reciprocamente, suponhamos que R(T ) é fechado. Então, novamente pela Proposição 3.1.3, basta mostrarmos que R(T ) ∩N (T0_{) = {0}}_{. Seja y ∈ R(T ) ∩ N (T}0₎_{. Logo, T}0_{y = 0}

e existe x0 ∈ D(T ) tal que T x0 = y. Segue que T0T x0 = T0y = 0e daí,

(T T0T )x0 = T T0y = T 0 = 0.

Como (T T0_{T )x}

0 = T x0, vem que y = 0.

Corolário 3.1.2. Sejam T e T0 _{operadores fechados densamente denidos em um espaço}

de Banach X a valores em X com T (inv)T0_{. Então, T T}0 _{é limitado se, e somente se,}

R(T ) ⊕ N (T0) = X.

Demonstração. Suponhamos que R(T ) ⊕ N (T0₎_{= X. Como}

X = R(T ) ⊕ N (T0) ⊆ R(T ) ⊕ N (T0) ⊆ X, temos que

X = R(T ) ⊕ N (T0).

Segue que R(T ) ∩ N (T0₎ _{= {0}, e pela Proposição 3.1.3, T T}0 _{é fechado. Notemos que}

D(T T0_{) = D(T}0_{) = R(T ) ⊕ N (T}0_{) = X,}

ou seja, T T0 _{é um operador denido em X a valores em X. Pelo Teorema do Gráco}

Fechado T T0 _{é limitado. Para provar a recíproca, assuma que T T}0 _{é limitado. Logo, T T}0

é um operador contínuo. Seja x ∈ R(T ) ∩ N (T0₎_{. Então existe uma sequência {u}

n}n em

D(T ) tal que

x = lim

e T0_{x = 0.} _{Resulta que,} 0 = (T T0)x = T T0( lim n→∞T un) = limn→∞(T T 0 )(T un) = lim n→∞T un= x,

o que implica em R(T ) ∩ N (T0₎ _{= {0}. Assim, pela Proposição 3.1.3, T T}0 _{é fechado e}

pelo Corolário 3.1.1, R(T ) é fechado. Agora, notemos que D(T0_{) ⊆ D(T T}0₎. De fato,

seja ξ ∈ D(T0₎. Então existe uma sequência {ξ

n}n⊆ D(T0) tal que limn→∞ξn = ξ. Logo,

{ξn}n é uma sequência de Cauchy, ou seja, dado ε > 0 existe N ∈ N tal que

||ξn− ξm|| < _{||T T}ε0_||+1, para todo m, n ≥ N.

Temos que {T T0_ξ

n}n é uma sequência de Cauchy em X, pois para todo m, n ≥ N

||T T0(ξn) − T T0(ξm)|| ≤ ||T T0|| ||ξn− ξm|| < ||T T0||

ε ||T T0_{|| + 1},

e como X é Banach, {T T0_(ξ

n)}n é convergente em X. Logo, ξ ∈ D(T T0), e assim

X =D(T0_{) ⊆ D(T T}0_{) = R(T ) ⊕ N (T}0

) = R(T ) ⊕ N (T0). Utilizaremos o seguinte resultado da referência [12].

Lema 3.1.1. Sejam S, T operadores fechados e densamente denidos em um espaço de Banach X a valores em X. Se R(S) + N (T ) é fechado e R(S) ∩ N (T ) = {0}, então R(S) é fechado.

Proposição 3.1.4. Sejam T e T0 _{operadores fechados densamente denidos em um espaço}

de Banach X a valores em X com T (inv)T0_{. Se T}0 _{é limitado então R(T ) é fechado.}

Demonstração. Sejam T, T0 _{operadores tais que T}0 _{é limitado e T (inv)T}0_{. Como T}0 _é

densamente denido, se mostrarmos que D(T0_{) ⊆ D(T}0₎ _{e usarmos a Observação 3.1.2,}

obtemos

X = D(T0_{) = D(T}0

) = N (T0) ⊕ R(T ).

Logo, N (T0_{) + R(T )} _{é fechado e N (T}0_{) ∩ R(T ) = {0}}_{. Daí, segue do Lema 3.1.1 que}

R(T ) é fechado.

Seja u ∈ D(T0₎. Então existe uma sequência {u

n}n ⊆ D(T0) tal que limn→∞un = u.

42 ||un− um|| < _||T0ε_||+1.

Como T0 _{é limitado, temos que {T}0_(u

n)}n é uma sequência de Cauchy, pois para todo

m, n ≥ N temos que ||T0_u

n− T0um|| ≤ ||T0|| ||un− um|| < ||T0||||T0ε_||+1 = ε.

Como X é Banach, {T0_(u

n)}n é convergente em X, digamos limn→∞T0un = v. Segue

que (u, v) ∈ G(T0_{) = G(T}0₎_{. Assim, existe z ∈ D(T}0₎ _{tal que (u, v) = (z, T}0_z)_{. Logo,}

u = z ∈ D(T0) e portanto,

D(T0_{) ⊆ D(T}0

3.2 Majoração, Inclusão de Imagens e Fatoração de

Dans le document Mouvement de données et placement des tâches pour les communications haute performance sur machines hiérarchiques (Page 103-112)