Adaptation de la fonction coˆ ut `a l’essai

La section pr´ec´edente nous a d´ej`a montr´e comment adapter la fonction coˆut `a l’essai. On montre ici un second exemple encore plus parlant sur l’essai `a 75➦. Les ´etudes param´etriques nous ont montr´e que la plasticit´e des substrats avait un rˆole important sur l’essai `a 75➦, `a cause de la vitesse d’impact plus grande.

Compte tenu de ce qui a ´et´e d´ecrit pr´ec´edemment, on effectue une minimisation sur les param`etres de contact, les propri´et´es plastiques du joint et l’´ecrouissage des substrats. La limite ´elastique est laiss´ee fixe. De plus, la fonction coˆut ´evolue. On choisit α = 3

Fmax et

β = 100 et γ = 200. Ainsi, on donne plus de poids `a la force F pour identifier correcte- ment les param`etres de plasticit´e des substrats. On donne aussi plus de poids `a dV car la compression est plus importante dans cet essai ; les ´etudes param´etriques nous ont r´ev´el´e que cette grandeur est plus influente que pour les deux autres essais. La mod´elisation plas- tique des substrats a ´et´e simplifi´ee `a deux param`etres pour faciliter leurs identifications. Les param`etres initiaux sont ceux correspondants `a la caract´erisation de l’aluminium utilis´e (Annexe C).

Tableau V.5: Boucle d’identification 1. Param`etres de d´epart et d’arriv´ee. Essai `a 75➦ Joint Contact Aluminium

σy σf c1 c2 c3 σ_y (fixe) σ_f RES

D´epart 150 160 0.010 600 3000 235 850 6.79 Arriv´ee 140 191 0.012 370 2750 235 1410 4.77

Les r´esultats de la minimisation sont montr´es en Tab. V.5. Le r´esultat n’est pas satis- faisant, le r´esidu final est encore tr`es ´elev´e. Pour satisfaire l’´evolution conjointe des trois grandeurs, l’´ecrouissage des substrats a ´et´e augment´e ´enorm´ement pour atteindre une va- leur σf = 1410 incoh´erente. La force est d’ailleurs largement surestim´ee en fin d’essai. La

seconde id´ee est de rajouter la limite ´elastique des substrats dans la minimisation. C’est ce que montre le Tab. V.6.

Tableau V.6: Boucle d’identification 2. Param`etres de d´epart et d’arriv´ee. Essai `a 75➦ Joint Contact Aluminium

σy σf c1 c2 c3 σ_y σ_f RES

D´epart 150 200 0.018 600 3000 240 850 4.94 Arriv´ee 142 204 0.0185 583 3020 255 870 2.23

Les r´esultats de cette seconde minimisation sont satisfaisants : les trois grandeurs sont correctement repr´esent´ees (Fig. V.22), et le point d’arriv´ee est coh´erent. Les param`etres plastiques des substrats ont l´eg`erement augment´e par rapport aux essais de caract´erisation. Ceci vient du fait que la vitesse d’impact est plus grande pour cet angle d’essai. On remarque aussi que les param`etres de contact c2 et c3 sont amplifi´es par rapport aux autres angles.

Enfin, les propri´et´es du joint sont logiques : la limite ´elastique est ´elev´ee `a cause de la compression importante pendant cet essai.

Cette partie a pr´esent´e la m´ethode d’identification inverse des param`etres du joint `a partir des essais DODECA. On insiste encore sur la n´ecessit´e d’analyser les mesures par

la visualisation directe, en confrontation avec la boucle d’identification d´evelopp´ee. L’outil de minimisation ne peut pas ˆetre utilis´e `a l’aveugle. Le bon sens de l’exp´erimentateur est n´ecessaire pour disqualifier ou consid´erer un jeu de param`etres identifi´e. Ceci rejoint l’ap- proche Bay´esienne dans les m´ethodes d’identification o`u l’on tient compte d’un « prior » qui repr´esente les hypoth`eses sur les param`etres `a identifier.

3

R´esultats de l’identification sur les trois angles d’es-

sai et calcul de sensibilit´es

Cette partie pr´esente les param`etres identifi´es sur les trois angles de l’essai DODECA. Outre les valeurs des param`etres, on s’int´eressera aux sensibilit´es sur chaque param`etre qui nous renseignera sur l’incertitude associ´ee `a chaque param`etre.

3.1

Essai `a 45➦

Le Tab. V.7 montre les param`etres identifi´es pour le joint et pour le contact sur deux essais `a 45➦. Les r´esultats sont similaires pour les deux essais. Les diff´erences ont de multiples sources : fabrication de l’´eprouvette (´epaisseur du joint, porosit´e dans le joint...), incertitudes de mesures, mod`ele imparfait, incertitude d’identification.

Tableau V.7: Param`etres identifi´es pour l’essai `a 45➦

Joint Contact

E ν σy σf 1 ; εf 1 σf 2 ; εf 2 c1 c2 c3 RES

2100 0.42 106.5 115 ; 0.18 142 ; 2.0 0.014 315 1000 1.21 2100 0.42 99.5 114 ; 0.11 148 ; 2.0 0.012 330 900 1.18

Les valeurs identifi´ees sont coh´erentes avec les propri´et´es usuelles des joints adh´esifs structuraux et en accord avec ce que l’on connaˆıt sur ce joint adh´esif en particulier. D’ailleurs, cela a ´et´e pris en compte lors de l’identification des param`etres. Ainsi, le module ´elastique et la limite ´elastique sont plus ´elev´es que leurs valeurs en quasi-statique. Pour les propri´et´es de contact, il est difficile de savoir si ces valeurs sont coh´erentes. Les deux autres essais nous permettront d’interpr´eter davantage les propri´et´es du joint et de contact.

La Fig. V.16 montre la correspondance entre les mesures et le mod`ele identifi´e pour les trois grandeurs F , dU et dV . On peut voir qu’elles sont correctement repr´esent´ees `a tout instant de l’essai. Plusieurs faits sont remarquables. La forme et le niveau de la force calcul´ee sont en accord avec la force mesur´ee ce qui montre un contact et une plasticit´e du joint bien mod´elis´es. De plus, on peut voir que le point 5 de dU est sous-estim´e, il correspond au moment o`u le joint devient plastique. Un changement de mod`ele permettrait sans doute de r´esoudre ce biais en adoucissant la transition ´elastique-plastique. Enfin, les derniers points de dV ne montrent pas la bonne tendance : exp´erimentalement, la compression diminue (dV est repr´esent´e positivement pour faciliter la visualisation) car le joint est en train de s’endommager et de rompre. Ceci n’est pas repr´esent´e dans le mod`ele.

Outre les valeurs des param`etres identifi´es, on doit s’int´eresser `a l’incertitude associ´ee `a chaque param`etre. Il est tr`es difficile d’estimer ces incertitudes dans un cadre statistique rigoureux. Pour cela, il faudrait passer par une identification avec une approche Bay´esienne, comme cela a ´et´e rappel´e dans la bibliographie. On va n´eanmoins d´egager des tendances sur les incertitudes en calculant les sensibilit´es du calcul et leurs matrices de sensibilit´e

0 50 100 150 200 250 F/35000 0 0.5 1 1.5 E = 2100,
= 0.42, _y = 99 _f = 114 (0.105) _f = 148 (2.0), c = 0.012, 330, 900 exp model 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 100.dU 0 10 20 30 exp model 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 100.dV 0 0.2 0.4 0.6 exp model Res_dV = 0.54 Res_total = 1.18 Res_dU = 1.04 Res F = 0.18

Figure V.16: Comparaison exp´erience/identification de F , dU et dV . Essai `a 45➦ correspondantes au voisinage de la position identifi´ee. Dans notre cas, on fera varier chaque param`etre de 5 %. Cette variation de 5 % rend compte de l’incertitude minimale fix´ee sur chaque param`etre compte tenu des incertitudes de mesures et de mod`eles. L’Eq. V.7 montre cette sensibilit´e pour la grandeur dU . On calcule les mˆemes sensibilit´es pour F et dV .

Sθk(t) = 100 dU (t, θk+ 0.05 θk) − 100 dU (t, θk) et Mij =n ˆSθi ot n ˆ_Sθ j o (V.7) Pour cet essai `a 45➦, on se concentre sur la grandeur dU qui est la plus int´eressante pour l’identification. La Fig. V.17 illustre la sensibilit´e sur cette grandeur et sa matrice correspondante pendant l’essai en entier (17 images dans ce cas). On peut remarquer que les deux param`etres σi et c2 sont les deux acteurs principaux de l’´evolution de dU . Les valeurs

des termes diagonaux de la matrice de sensibilit´es sont tr`es ´elev´es pour ces deux param`etres. En effet, on peut prendre comme r´ef´erence la somme des incertitudes de mesures au carr´e (δdU ∼ 1µm) ce qui donne un seuil `a 0.17 pour 17 images. Ici, le terme diagonal d´epasse 40 pour les deux param`etres σi et c2. On peut donc esp´erer les identifier `a 5 % pr`es en utilisant

dU . Comme le calcul est tr`es sensible sur ces deux param`etres, il va ˆetre difficile d’identifier les autres param`etres efficacement. De plus, les sensibilit´es de ces deux param`etres sont invers´ees (terme non diagonal n´egatif) mais ont une ´evolution similaire. Il est donc difficile de les identifier s´epar´ement grˆace uniquement `a dU . C’est pour cela que l’on a besoin des autres grandeurs pour l’identification. La Fig. V.18 nous montre la sensibilit´e sur le mˆeme essai pour la force F .

Temps 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Sensibilité 100.dU -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 E
_y _i i _f c₁ c₂ c₃ E
_y _i _i _f c₁ c₂ c₃ E
_y _i _i _f c₁ c₂ c₃ Sensibilité 100.dU -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

Figure V.17: Sensibilit´e et matrice de sensibilit´e sur dU au cours de l’essai pour une variation de 5 % sur chaque param`etre autour du point identifi´e. Essai `a 45

Temps 0 50 100 150 200 Sensibilité F/36000
10-3 -5 0 5 10 15 20 E
_y _i _i _f c₁ c₂ c₃ E
_y _i _i _f c₁ c₂ c₃ E
_y _i _i _f c₁ c₂ c₃ Sensibilité F/36000 -0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

Figure V.18: Sensibilit´e et matrice de sensibilit´e sur F au cours de l’essai pour une variation de 5 % sur chaque param`etre autour du point identifi´e. Essai `a 45

Encore une fois, ce sont les param`etres σi et c2 qui sont les plus importants pour l’´evo-

lution de F . Par contre, les ´evolutions de leurs sensibilit´es sont plutˆot diff´erentes et vont dans le mˆeme sens (terme non diagonal positif). Ainsi, si la fonction coˆut int`egre F et dU , on peut identifier ces deux param`etres `a 5 %.

En revanche, l’identification des autres param`etres parait difficile tant l’impact de ces deux param`etres est important. Mˆeme si le terme diagonal de la matrice de sensibilit´e de 100 dU sur le param`etre σy ´egal `a 0.64 est sup´erieur au seuil de notre r´ef´erence ´egale `a 0.17,

on ne peut pas consid´erer que l’on identifie σy `a 5 %. Car une l´eg`ere erreur sur σi peut

modifier la valeur identifi´ee de σy de mani`ere tr`es importante.

Cependant, notre strat´egie d’identification ´etait multiple. Par exemple, pour l’identifi- cation des param`etres ´elastiques, on s’est concentr´es sur le d´ebut des signaux. La Fig. V.19 repr´esente la sensibilit´e et sa matrice correspondante sur les cinq premiers points de dU . Ici, les deux param`etres σi et c2 ne sont plus les param`etres d’importance. Ils sont remplac´es

par les param`etres E et σy. En revanche, la sensibilit´e est tr`es faible : le terme diagonal

Temps 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Sensibilité 100.dU -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 E
_y c₁ c₂ E
 y i i f c1 c2 c3 E
 y _i  i  f c₁ c₂ c₃

Sensibilité 100.dU (5 points)

-0.01 -0.008 -0.006 -0.004 -0.002 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

Figure V.19: Sensibilit´e et matrice de sensibilit´e sur dU sur les 5 premi`eres images de l’essai pour une variation de 5 % sur chaque param`etre autour du point identifi´e. Essai `a

45

mesure, le seuil `a 5 images est sup´erieur et ´egal `a 0.05. Si on suppose que l’´evolution de dU est lin´eaire au voisinage du point d’´equilibre, une sensibilit´e `a 15 % permettrait d’atteindre la valeur de 32

× 0.01 = 0.09. On peut donc consid´erer que l’on identifie E `a 15% sur ces cinq premiers points de dU . Ceci n’est qu’une estimation de l’incertitude et n’a pas de valeur statistique. Le param`etre ν ne peut pas ˆetre identifi´e correctement avec cet unique essai `a 45 .

Ce travail ne prenait en compte que l’essai `a 45 . Les autres essais jouent aussi un rˆole sur les param`etres identifi´es pour l’essai `a 45 .