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Embora outros métodos tenham sido desenvolvidos posteriormente, o Lee-Carter (1992) é sempre tomado como o ponto de referência para a realização de projeções estocásticas de mortalidade (Booth et al, 2006). Vários estudiosos têm tentado aprimorar o método através da utilização de outras formas de ajuste do modelo demográfico, mudando a forma de projetar o parâmetro k e também tentando medir a incerteza associada à projeção de forma mais acurada.

Com o intuito de aprimorar a forma de ajuste do modelo Lee-Carter, Wilmoth (1993) propôs que, ao invés de ajustar o modelo por mínimos quadrados ordinários, este ajuste fosse realizado de duas formas alternativas: Mínimos Quadrados Ponderados e Máxima Verossimilhança. O autor comparou os resultados obtidos através dos dois métodos propostos e observou que ambos davam origem a resultados muito próximos. As séries de ax, bx e kt geradas empregando as duas formas de ajuste são quase coincidentes. Além disso, as curvas de mortalidade e os valores de e0, estimados para alguns anos durante o período tomado como base para o ajuste, são muito próximas dos valores observados (Wilmoth, 1993).

Neste contexto, Koissi et al (2006) estudaram a performance do modelo Lee- Carter em dados dos países nórdicos utilizando três abordagens: Decomposição em Valores Singulares (DVS), Mínimos Quadrados Ponderados (MQP) e Estimação por Máxima Verossimilhança (EMV). Os mesmos realizaram esse teste projetando a mortalidade durante períodos já observados (projetaram e0 em 1990, por exemplo, com base em vários períodos anteriores), e analisando as diferenças entre as várias projeções realizadas. Segundo Koissi et al (2006), as abordagens DVS, MQP e EMV produzem taxas de mortalidade estimadas e projetadas muito próximas das observadas, e diferem muito pouco entre si, corroborando os resultados obtidos por Wilmoth (1993). Dentre estas, a abordagem EMV é a que apresenta os resíduos mais aleatórios, não apresentando nenhuma tendência o

que significa que esta foi a forma em que o modelo melhor se ajustou aos dados (Koissi et al, 2006).

Além disso, o trabalho de Koissi et al (2006) propõe uma abordagem de análise residual por bootstrap para construção de intervalo de confiança para as taxas específicas de mortalidade e esperanças de vida projetadas. Nesse caso, a incerteza estimada incorpora a variabilidade de todos os parâmetros do modelo, ao passo que o Lee-Carter original foca apenas na variabilidade de kt. Para os autores, em projeções de esperança de vida de longo prazo, os intervalos de confiança podem ser satisfatoriamente restritos à incerteza em kt. Mas para previsões de curto prazo as fontes de erro dos outros parâmetros deveriam ser incluídas. Os mesmos construíram intervalos de confiança, para a esperança de vida projetada pelo Lee-Carter original e pelo MLE, construindo 5000 matrizes de resíduos, obtidos por bootstrap, e estimando novamente os valores de ax, bx e kt. Com bases nos novos conjuntos de parâmetros foi possível estimar novas séries de taxas específicas de mortalidade. Dentre estas taxas, foram retiradas as que estavam entre os percentis 0,05 e 0,95 (Koissi et al, 2006). Para o ano 2002, o intervalo foi estreito, mas continha o valor publicado pelos institutos oficiais de estatísticas. Esse resultado sugere que o intervalo obtido é satisfatório para projeções de curto prazo. (Koissi et al, 2006).

Booth et al (2006), por sua vez, aplicaram o modelo Lee-Carter e quatro variações do mesmo, com o intuito de avaliar a qualidade das projeções de curto e médio prazo. Para esta análise os autores projetaram a mortalidade de dez países9, separadamente por sexo, durante o período de 1986 a 2000, e compararam o resultado das projeções com as taxas de mortalidade observadas nesse período, em cada país. Os métodos aplicados por eles são: Lee-Carter original (LC), Lee- Miller (LM), Booth-Maindonald-Smith (BMS), Hyndman-Ulah (HU) e De Jong-Tickle

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Austrália, Canadá, Dinamarca, Inglaterra e Gales, Finlândia, França, Itália, Noruega, Suécia e Suíça.

(DJT). O principal objetivo do trabalho de Booth et al (2006) foi analisar a precisão das projeções de curto e médio prazo, não analisando a incerteza da projeção. Os dois primeiros métodos aplicados são os mesmos já descritos nos tópicos 4.1.1 e 4.1.2. O terceiro método (Booth et al, 2002) difere do Lee-Carter original na forma de escolher o período de ajuste, uma vez que essa escolha é através de um critério estatístico que considera a linearidade de Kt; na forma de re-estimar kt, ajustando essa série à distribuição etária dos óbitos; e nas taxas utilizadas no último ano de ajuste, que são as estimadas com base nessa metodologia de ajuste (Booth et al, 2006).

O método de Hyndman & Ulah (2007, citado por Booth et al, 2006), estima as taxas específicas de mortalidade através de métodos de suavização não paramétricos; utiliza mais de um conjunto de componentes do modelo (bx e kt); utiliza modelos de séries temporais mais gerais do que um passeio aleatório com tendência, para projetar kt; além de não ajustar kt. Por fim, o último modelo empregado por Booth et al (2006), foi proposto por De Jong & Tickle (2006, citado por Booth et al, 2006). Esse modelo é chamado pelos autores de Lee-Carter suavizado, e modela os logaritmos das taxas através de vários modelos multivariados de séries temporais, dos quais o Lee-Carter original é um caso especial. Este arcabouço geral permite a realização de inferências e o cálculo de erros (Booth et al, 2006).

Ao avaliar a aplicação dos cinco modelos escolhidos, Booth et al (2006) concluíram que, em média, as variações HU e DJT produzem as projeções mais precisas dos logaritmos das taxas específicas de mortalidade, quando comparados aos demais métodos aplicados. Observaram também que as quatro variações produzem melhores resultados que o método original, mas as variações entre elas são muito pequenas e não significantes. Com relação à esperança de vida projetada não foram observada diferenças significativas entre os cinco métodos. Além disso, a utilização de taxas reais para o último ano de observação é geralmente melhor que utilizar taxas ajustadas e períodos de observação mais curtos geraram resultados mais precisos que os períodos mais longos, devido ao

padrão de declínio de mortalidade variável, tal como o observado no século XX (Booth et al, 2006).

A análise das variações propostas para o método Lee-Carter (1992) motivou a escolha do método original, incorporando as modificações propostas por Lee & Miller (2001)10, para a projeção da mortalidade do município de São Paulo. Isto porque, como os autores citados mostraram, as demais variações propostas utilizam sofisticações estatísticas, porém não oferecem ganhos significativos em relação ao método original (Booth et al, 2006). A pequena revisão realizada aqui mostrou que as modificações propostas por Lee & Miller (2001) são capazes de corrigir os problemas mais importantes do método original, tornando-o mais robusto, sem a necessidade da utilização de métodos estatísticos complexos. Uma possível limitação da aplicação do método escolhido é que o mesmo estima a incerteza da projeção considerando apenas a variabilidade de kt, (Koissi et al, 2006), não levando em conta a incerteza relacionada à estimação dos demais parâmetros.

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Essa projeção foi realizada utilizando o software R, através do algoritmo desenvolvido por Miller (2001).

5. PROEÇÃO DA MORTALIDADE DO MUNICÍPIO DE SÃO