Accord de phase

Pour que le champ harmonique puisse se construire efficacement sur toute la longueur de l’interaction, il faut que les harmoniques g´en´er´ees en diff´erents points interf`erent constructi- vement. D’o`u l’importance de l’accord de phase. Dans le cas d’un accord de phase classique, le champ harmonique Eq et le champ fondamental E1 doivent se propager avec la mˆeme

vitesse de phase pour que le transfert d’´energie du champ fondamental (vecteur d’onde k1)

au champ harmonique g´en´er´e (vecteur d’onde kq avec q impair) soit optimal :

4kq= kq− qk1 = 0 (I.18)

Dans un cristal non lin´eaire, cette condition est remplie grˆace aux propri´et´es de bir´efringence. Pour la g´en´eration d’harmoniques, l’accord de phase est un peu plus complexe, il existe des ´

etudes compl`etes de l’accord de phase pour la g´en´eration d’harmoniques dans les r´ef´erences suivantes [Sali`eres et al. 95, Balcou et al. 97].

Pour la g´en´eration d’harmoniques, la condition d’accord de phase s’´ecrit :

kq = qk01+ qKgeo(r,z) + K(r,z) (I.19)

O`u

• kq est le vecteur d’onde du champ harmonique produit, en supposant une g´eom´etrie

peu focalis´ee |kq| ≈ nqqω_c0, o`u nq est l’indice du milieu `a la pulsation qω0.

• k0

1 est le vecteur d’onde associ´e `a la propagation libre du champ laser, sa norme d´epend

de l’indice du milieu |k0₁| ≈ n1ω_c0. Comme nous l’avons vu pr´ec´edemment, les atomes

• Kgeo(r,z) = ∇φgeo(r,z) est le vecteur d’onde associ´e `a la focalisation du faisceau. Le

premier terme de φgeo(r,z) correspond `a la phase de Gouy [Sali`eres 95].

φgeo(r,z) = − arctan  2z b  | {z } Phase de Gouy + 2k 0 1r2z b2_{+ 4z}2 (I.20) Avec b=2πw2

0/λ, le param`etre confocal. La phase de Gouy subit une variation de π/2

lors du passage au foyer de z = −b/2 `a z = b/2.

• K(r,z) = ∇φi(r,z) = −αi∇I(r,z) est le vecteur d’onde associ´e au dipˆole atomique

local. Il est d´etermin´e par le gradient de la phase intrins`eque du dipˆole, l’indice i=1,2 d´esignant les trajectoires dominantes dans le processus de g´en´eration d’harmoniques. Le vecteur d’onde associ´e au faisceau fondamental est :

k1 = k01 + Kgeo (I.21)

Le facteur de d´esaccord de phase 4kq est d´efini par :

4kq= |kq− qk1 − K(r,z)| (I.22)

Dans la suite, on consid`ere un milieu dilu´e soumis `a un ´eclairement modeste (ionisation n´egligeable). Dans ce cas, les dispersions dues aux atomes et aux ´electrons libres peuvent ˆ

etre n´eglig´ees.

La figure I.9 illustre la distribution du vecteur d’onde k1 et du vecteur d’onde associ´e `a la

polarisation non lin´eaire K(r,z) pour un faisceau Gaussien. Le laser se propage de la gauche vers la droite. Comme attendu, le vecteur k1 est dirig´e principalement dans la direction z, il

converge pour z < 0 et diverge pour z > 0.

On illustre diff´erentes conditions d’accord de phase pour diff´erents points de l’interaction d’un champ ´electrique (Gaussien) et le milieu atomique. Ceci reste tr`es sch´ematique, car bien entendu, la phase d´epend de l’harmonique consid´er´ee et de la phase intrins`eque des harmoniques suivant le chemin quantique consid´er´e.

(1) (2) b d c c d a b z a r

Fig. I.9 : Distribution spatiale dans la r´egion du foyer du vecteur d’onde laser k1 (1) et du vecteur

d’onde K associ´e la phase atomique (2) d’apr`es [Balcou et al. 97].

1 k qr q kr a

En r=0, z=0, le vecteur d’onde K est nul. On obtient alors un d´esaccord de phase du `a la phase de Gouy, conduisant `a la condition 4kq ≈ 2q/b. 1 k qr Kr q kr c

En r=0, z<0, l’accord de phase n’est pas rempli, par cons´equent la g´en´eration d’har- moniques est peu efficace autour des ces points. q kr 1 k qr Kr b

En r=0, z>0, le vecteur d’onde K permet de compenser le d´esaccord de phase. Un ac- cord de phase colin´eaire est ainsi r´ealis´e. Le champ harmonique ´emis se construit sur l’axe, ce qui donne une ´emission harmonique centr´ee en sortie du milieu en champ loin- tain. Dans un milieu g´en´erateur fin, seul le chemin quantique court τ1 remplit les condi-

tions d’accord de phase [Antoine et al. 96a,

Gaarde et al. 99]. Cette contribution est donc dominante. 1 k qr q kr Kr d

En r6=0, z<0, il existe des r´egions o`u l’accord de phase non-colin´eaire est r´ealis´e. Le champ harmonique pr´esente alors une structure an- nulaire. Le gradient radial est d’autant plus important que φi est grand. Le chemin quan-

tique long τ2 semble alors avoir une contribu-

tion dominante dans l’accord de phase hors- axe.

jet VUV

Fig. I.10 : Efficacit´e de conversion de l’harmonique 45 g´en´er´ee dans le n´eon en fonction de la position z du centre du jet (de longueur : 1 mm) par rapport au foyer. La construction 3D repr´esente la structure radiale du champ harmonique pour z=-1 et z=3 d’apr`es [Sali`eres et al. 95].

Suivant la position du milieu par rapport au faisceau laser, la r´ealisation de l’accord de phase diff`ere. La figureI.10repr´esente l’efficacit´e de conversion pour l’harmonique 45 g´en´er´ee dans un jet de n´eon en fonction de la position de son centre par rapport au foyer. La longueur du milieu est de 1 mm, l’´eclairement maximum est de 6.1014_W/cm2_{. Cette simulation a ´et´e}

effectu´ee par Sali`eres et al. [Sali`eres et al. 95] dans le cadre du mod`ele S.F.A.. Lorsque le laser est focalis´e avant le jet (z>0), le champ harmonique se construit sur l’axe et pr´esente une faible divergence. L’accord de phase favorise le chemin quantique court τ1. Lorsque le laser

est focalis´e apr`es le jet (z<0), le champ harmonique se construit principalement hors axe, pr´esentant un profil annulaire `a la sortie du milieu, avec une divergence plus importante que dans le cas pr´ec´edent. L’accord de phase favorise le chemin quantique long τ2. Les positions

optimales, o`u les conditions d’accord de phase b et d sont r´ealis´ees, se caract´erisent par deux maxima sur la courbe.

influence des atomes et des ´electrons sur l’accord de phase

La dispersion atomique introduite par le milieu g´en´erateur modifie l’indice de r´efraction du milieu. Le d´esaccord de phase introduit par le milieu atomique s’´ecrit alors :

∆kat_q = kat_q − qkat 1 = qω0Nat0 2c (κ at 1 − κ at q − κ at 1 ) (I.23) O`u N0

at est la densit´e d’atomes (atomes/cm3), αat est la polarisabilit´e statique du milieu

atomique (αat

1 = 1,6.10

−24 _cm−3 _{pour l’argon `a 800 nm [L’Huillier et al. 90]). L’´energie des}

photons harmoniques est sup´erieure `a l’´energie d’ionisation, par cons´equent les valeurs αat q

sont n´egatives et du mˆeme ordre de grandeur que αat 1 .

Le vecteur ∆kat

q est n´egatif, orient´e dans le sens inverse de kq. En l’absence d’ionisation, il

existe une pression optimal Popt permettant de compenser le d´esaccord de phase g´eom´etrique

et ainsi d’obtenir un accord de phase (∆k = 0).

L’effet des ´electrons libres sur l’accord de phase est tr`es important. En g´en´eral, il devient pr´epond´erant par rapport aux autres termes de dispersion. Il introduit un d´esaccord de phase positif entre le champ harmonique et le champ fondamental, qui augmente au fur et `a mesure que le milieu s’ionise. Pour une pression sup´erieure `a la pression optimale Popt, on peut obtenir

un accord de phase transitoire [M´evel et al. 00,Kazamias et al. 03b]. `A plus haute pression, la pr´esence des ´electrons libres perturbe la propagation du champ fondamental. Dans ces conditions, le d´esaccord de phase devient important [L’Huillier et al. 92a]. Le d´esaccord de phase introduit par les ´electrons s’´ecrit :

∆kelec_q = kelec_q − qkelec 1 =

ω2 p

2cqω0

(q2− 1) (I.24) O`u ωp est la fr´equence plasma d´efinie par :

ωp = s e2N e meε0 (I.25) Avec me masse de l’´electron, e la charge de l’´electron, ε0 est la permittivit´e du vide.

La figureI.11illustre le cas a avec l’addition des dispersions atomique et ´electronique si l’ionisation n’est pas trop ´elev´ee. Sous certaines conditions, les contributions de la dispersion ´

electronique et de la dispersion atomique aboutissent `a un accord de phase sur l’axe.

Lorsqu’il subsiste un d´esaccord de phase, on d´efinit une longueur de coh´erence Lcohcomme

´

etant la longueur sur laquelle le champ harmonique se construit efficacement. Lcoh=     π ∆kq     (I.26)

1

k

qr

kr

kr

∆

kr

∆

Fig. I.11 : Diagramme des vecteurs d’ondes impliqu´es dans l’accord de phase sur l’axe lors de la g´en´eration d’harmoniques.

L’accord de phase d´etermine `a la fois le profil spatial de l’´emission VUV et l’efficacit´e du processus de g´en´eration d’harmoniques. Cependant, un facteur suppl´ementaire limite l’efficacit´e.