2. ENSEMBLE DE PARTICULES DIFFUSANTES... 37
A. Coefficients d’absorption et de diffusion ... 37 B. Les différents régimes de diffusion... 39
3. LES DIFFERENTS MODELES DE DIFFUSION DE LA LUMIERE... 40
4. L’EQUATION DE TRANSFERT RADIATIF (ETR) ... 41 A. Rappels de photométrie... 41
a) Définitions ... 41 b) BRDF et facteur de réflectance... 43
B. Domaine de validité de l’équation de transfert radiatif... 45 C. Paramètres du modèle ... 46
a) Le milieu... 47 b) Les centres diffuseurs ... 47 c) Les flux lumineux... 48
D. Bilan des flux et équation de transfert radiatif ... 49
5. RESOLUTION DE L’ETR: LES DIFFERENTES METHODES... 52
A. Méthode à 2 flux ... 53 B. Méthode à 4 flux ... 54 C. Méthodes multi-flux... 55 6. METHODE A 2-FLUX (KUBELKA-MUNK) ... 56
Introduction
Le matériau étudié, la peinture, est constitué de pigments dispersés dans un milieu qui est considéré comme homogène, transparent, non diffusant et non absorbant : le liant. Après une approche historique et artistique abordée dans le chapitre précédent, nous nous intéressons, dans cette partie, aux phénomènes physiques qui permettent d’expliquer l’aspect visuel d’une couche picturale. Pour cela, il est nécessaire de comprendre les interactions entre la lumière incidente et les composants du matériau. Il s’agira ensuite de proposer un modèle physique permettant de modéliser la propagation de la lumière dans une couche picturale.
Optiquement, une peinture se comporte comme un milieu hétérogène, contenant des pigments qui diffusent et absorbent la lumière incidente en fonction de la longueur d’onde. L’ensemble de ces interactions conduit à la couleur de la peinture que nous observons.
La première étape dans la compréhension des phénomènes optiques consiste à s’intéresser à l’interaction entre un centre diffuseur, le pigment dans le cas d’une couche de peinture, et une onde incidente électromagnétique. Cela permet notamment de définir les paramètres relatifs à l’absorption et à la diffusion de lumière par un centre diffuseur et d’envisager le calcul de ces paramètres par la théorie de Mie (1. Interaction entre une
particule et une onde incidente). Le comportement d’un ensemble de particules diffusantes est
ensuite étudié, en abordant notamment la définition des différents régimes de diffusion (2.
Ensemble de particules diffusantes). Un rapide état de l’art permet alors de citer les
différentes méthodes qui traitent de la diffusion multiple de la lumière dans les matériaux et de voir les conditions d’application de chacune de ces méthodes (3. Les différents modèles de
diffusion de la lumière). Pour la modélisation de l’aspect visuel des couches picturales, notre
choix s’est alors arrêté sur la théorie du transfert radiatif (ETR). Les conditions de validité de l’équation de transfert radiatif (ETR) sont détaillées, puis un bilan de flux diffus dans un matériau diffusant permet d’établir précisément cette équation (4. L’équation de transfert
radiatif). Plusieurs méthodes permettent sa résolution, nous en donnons un rapide aperçu (5. Résolution de l’ETR : les différentes méthodes). Deux d’entre elles retiennent notre attention
pour la suite de ce travail et sont donc détaillées. La première fait appel à de nombreuses approximations mais permet de travailler avec des équations simples (6. Méthode du 2 flux
(Kubelka-Munk)). La seconde présente l’avantage de proposer une solution exacte au
problème du transfert radiatif, de permettre de résoudre les problèmes liés à la modélisation de l’aspect visuel des couches stratifiées et d’envisager diverses configurations d’éclairage et d’observation (7. Méthode de la fonction auxiliaire).
Les deux méthodes de résolution retenues sont présentées dans ce chapitre. Leurs applications sont présentées pour la méthode de Kubelka-Munk dans le chapitre III. Base de
données des coefficients d’absorption et de diffusion et notamment dans le paragraphe III.7. La reconnaissance des constituants d’un mélange de pigments et pour la méthode de la
fonction auxiliaire dans les chapitres III. Base de données des coefficients d’absorption et de
1. Interaction entre une particule et une onde incidente
A. Absorption, diffusion et extinction
Pour comprendre l’aspect visuel d’une peinture, il faut s’intéresser aux propriétés optiques des matériaux diffusants. Dans notre cas, ce sont des pigments dispersés dans un liant. Les notions de diffusion et d’absorption de la lumière sont largement utilisées, ainsi que dans une moindre mesure celle d’extinction. Il paraît donc indispensable de définir précisément ces phénomènes.
Pour ce faire, une approche énergétique est nécessaire [Bohren, 1983]. Considérons une particule, de forme quelconque, dans un milieu homogène non absorbant. Une sphère imaginaire A, de rayon arbitraire r supérieur à la taille caractéristique de la particule, est dessinée autour d’elle (Fig. II-1). Soit une onde plane monochromatique, caractérisée par ses vecteurs champ électrique Erinc
et champ magnétique Hrinc
, incidente sur la particule selon une direction arbitraire. La particule diffuse un champ électromagnétique Ersca
et Hrsca
. En tout point de l’espace, il est possible de définir le vecteur de Poynting2 ( )
2 1 E H* Sr r r ∧ ℜ = , qui
caractérise le flux d’énergie transporté par le champ électromagnétique. En fait, le vecteur de Poynting du champ électromagnétique total s’écrit de la façon suivante :
) ( 2 1 * tot tot tot E H Sr r r ∧ ℜ = (1)
Sachant que Ertot Erinc Ersca +
= et Hrtot Hrinc Hrsca +
= , nous obtenons finalement comme
expression : ext sca inc tot S S S Sr r r r + + = (2) où Srinc
est le vecteur de Poynting du champ incident, Srsca
celui du champ diffusé et Srext
est issu des termes croisés du produit vectoriel de l’équation (1). Ce dernier traduit l’interaction entre les champs incidents et diffusés.
2 Le vecteur de Poynting est défini par Sr Er Hr ∧
= où les champs Er
et Hr
sont réels. Dans le cas de mesures physiques, il convient de travailler avec des champs réels. Etant donné la constante de temps des détecteurs, seule la valeur moyenne temporelle du vecteur de Ponyting est accessible expérimentalement. Nous considérons donc uniquement par la suite dans notre raisonnement la moyenne temporelle S 1 S(t')dt'
t t
∫
+ = 〉 〈 τ τ . Le vecteurde Poynting exprimé dans les calculs s’écrit donc de la façon suivante ( ) 2 1 * H E Sr r r ∧ ℜ = [Bohren, 1983].
r
e
rx
y
z
Sphère A
r
e
re
rx
y
z
Sphère A
Fig. II-1 : Onde plane incidente sur une particule, notations
Le flux du vecteur de Poynting à travers la surface fermée constituée par la sphère A permet de considérer la variation d’énergie électromagnétique dans cette sphère arbitraire due à la particule : dA e S W A tot r abs =−
∫
r ⋅rSi 0Wabs > , cela signifie que de l’énergie est absorbée par la particule dans la sphère A. Le cas inverse, où de l’énergie serait crée n’est pas pris en compte ici. Le bilan énergétique (équation (2)) précédent s’écrit alors :
ext sca inc
abs W W W
W = − +
où chacun des termes est défini à l’aide des flux des différents vecteurs de Poynting :
∫
⋅ − = A inc r inc S e dA W r r =∫
⋅ A sca r sca S e dA W r r =−∫
⋅ A ext r ext S e dA W r rLe milieu dans lequel se trouve la particule est considéré comme étant non-absorbant et il n’y a pas de source dans la sphère considérée. Par conséquent, le flux du vecteur de Poynting correspondant au champ incident est nul Winc =0. Finalement, l’énergie d’extinction correspond à la somme de l’énergie de diffusion et d’absorption :
abs sca
ext W W
W = +
On définit alors les notions de sections efficaces, couramment utilisées pour caractériser les phénomènes de diffusion et d’absorption par des particules. Ces sections correspondent généralement à des surfaces supérieures à la surface physique de la projection de la particule sur un plan. Elles sont interprétées comme des zones d’interaction entre la particule et l’onde incidente. L’intensité lumineuse de l’onde incidente est notée Iinc. La section efficace d’extinction est alors définie comme le rapport entre Wext et l’intensité lumineuse incidente Iinc :
inc ext ext I W C = (3)
Cette grandeur a la dimension d’une surface et elle s’exprime donc en [m²]. De la même manière les sections efficaces de diffusion et d’absorption, Csca et Cabs, sont définies.
Enfin, dans le cas de la diffusion d’une onde par une particule, la répartition spatiale, ou diagramme de diffusion, de l’intensité diffusée est également un paramètre déterminant. La fonction de phase p( uur,r') exprime la quantité de lumière diffusée dans un angle solide unité selon la direction ur pour une lumière incidente de direction ur'. Cette grandeur ne possède pas d’unité et elle est généralement normalisée, de sorte que
∫
Ω=π π
4 p(ur,ur')d 4 . Ainsi
normalisée à 1, cette fonction peut s’interpréter comme la probabilité pour un photon incident selon la direction ur' d’être diffusée dans la direction ur.
u’
u p( uu, ')
r
r
u’
u’
uu p( uu, ')
r
r
Fig. II-2 : Fonction de phase pour une lumière incidente selon la direction ur' et diffusée selon la direction ur
Dans le cas où cette probabilité est identique dans toutes les directions, c’est-à-dire qu’il n’y a aucune direction privilégiée de diffusion, la fonction de phase est dite isotrope :
u u
u
p(r,r')= 1 ∀r
Les notions de section efficace et de fonction de phase ont été présentées dans le cas d’onde plane monochromatique incidente. Le raisonnement est valable à toutes les longueurs d’onde et ces paramètres sont donc des fonctions de la longueur d’onde.