ABAQUS

Le logiciel ABAQUS est utilisé dans le contexte de ce projet pour modéliser les piles de pont et vérifier leur comportement sous charge axiale et transversale. Les analyses effectuées sur ABAQUS sont des analyses par poussées incrémentales de type Explicit avec le modèle de béton armé non linéaire EPM3D.

2.6.3.2.1 Module Explicit d’ABAQUS

La formulation implicite itérative est l’approche de résolution standard des problèmes d’éléments finis non linéaires. Celle-ci se base sur l’équilibre des forces externes et internes et est obtenue de façon itérative jusqu’à l’atteinte du critère de convergence déterminé (Ben Ftima, 2013).

0

P I (2.21)

Les deux méthodes les plus utilisées sont la méthode de Newton-Raphson et la méthode de la longueur d’arc, aussi appelée Riks (Bouzaiene, 1997). Cependant, ces algorithmes deviennent très

difficiles à résoudre avec la fissuration du béton et l’augmentation de la taille des modèles (Ben Ftima, 2013). L’instabilité locale créée par l’adoucissement du béton représente une difficulté majeure pour ces algorithmes. Pour pallier à ce problème, des méthodes de résolutions explicites ont été développées au début des années 1990. Les méthodes explicites sont basées sur l’équilibre d’équations dynamiques résolues sans itération :

Mü P I (2.22)

où ü : Vecteur des accélérations nodales M : matrice de masse globale

En appliquant la charge très graduellement, le vecteur des accélérations nodales est quasi nul et l’équation peut être résolue de façon quasi statique. Cette méthode de résolution est avantageuse pour les problèmes complexes avec des non-linéarités géométriques, de matériaux et de contact. Pour réaliser une analyse quasi statique avec la formulation dynamique générale du module ABAQUS/Explicit, le chargement doit être appliqué à une vitesse assez lente pour que l’énergie cinétique engendrée par les masses en déplacement (ALLKE) soit négligeable par rapport à l’énergie interne de déformation (ALLIE). Ainsi, un ratio ALLKE/ALLIE inférieur à 5% est suggéré pour pouvoir considérer l’analyse quasi statique. En diminuant le temps d’incrémentation, on peut modifier ce ratio. Selon Ben Ftima (2013), il est recommandé d’utiliser un temps d’incrémentation 20 fois supérieur à la période fondamentale de la structure. De plus, un des avantages principaux du module ABAQUS/Explicit est sa compatibilité avec la loi de comportement non linéaire du béton armé EPM3D développée à Polytechnique Montréal. Le lecteur est invité à lire le manuel d’utilisation d’EPM3D (Ftima & Massicotte, 2014) pour une description plus détaillée ainsi que des détails additionnels (Aubrée, 2014).

2.6.3.2.2 Loi de comportement du béton armé EPM3D

Cette section vise à faire un bref résumé de la modélisation des matériaux du béton armé dans EPM3D. Bien que les logiciels et les ordinateurs de calculs soient rendus très performants, la validité d’un modèle dépend principalement des lois de matériaux utilisés. EPM3D est l’acronyme pour l’endommagement progressif multiaxial tridimensionnel. Les comportements en compression et traction, pré-pic et post-pic sont présentés à la Figure 2-19.

a) En compression b) En traction

Figure 2-19 : Comportement uniaxial du béton modélisé par EMP3D (tirée de Ben Ftima, 2013)

Le module EPM3D utilise une formulation incrémentale tangente, communément appelé hypo- élastique. C’est-à-dire que pour chaque incrément de temps, la sous-routine reçoit les incréments de déformation en chaque point, et actualise les contraintes dans chaque élément du maillage. Lorsque l’incrément de contrainte atteint l’enveloppe de rupture, la loi de comportement passe alors du pré-pic au post-pic. EPM3D offre deux types d’enveloppes de rupture : Willam et Warnke (1974) et Hsieh, Ting et Chen (1982). L’enveloppe de rupture est déterminée par un nombre de points de contrôle, soit 5 pour Willam et Warnke et 4 pour Hsieh and al. (Aubrée, 2014). Ces paramètres d’entrée sont déterminés expérimentalement et témoignent d’une grande complexité pour obtenir un critère de rupture performant et facile d’utilisation. Le lecteur est invité à lire les travaux de Nathan Aubrée (2014) pour d’amples informations.

L’endommagement du béton sous chargement cyclique peut être représenté dans la loi de comportement d’EPM3D avec une perte de rigidité. Celle-ci se traduit par un critère d’endommagement 𝜆 variant de 0 pour un béton sain à 1,0 pour un béton ayant atteint la contrainte

maximale. L’augmentation de la valeur de 𝜆 implique la diminution de la rigidité du béton et une modification de l’enveloppe de rupture en traction.

Tel que présenté à la Figure 2-19, une fois la valeur maximale atteinte en compression, le comportement post-pic du béton est représenté sous forme d’une droite de pente Ed. Celle-ci est

fonction du confinement et du module d’élasticité du béton. Plus le béton est confiné et détient un module d’élasticité initial élevé, plus la pente Ed sera douce. Le calcul de cette valeur est

relativement complexe et est bien expliqué dans les travaux de Aubrée (2014).

Pour ce qui a trait au comportement pré-pic en traction, ce dernier suit une loi linéaire élastique. Cependant, le comportement post-pic du béton en traction dépend de la prise en compte ou non du raidissement en traction. Celui-ci se définit comme étant la capacité du béton autour des armatures à reprendre la traction entre les fissures. EPM3D permet de choisir entre cinq lois de raidissement en traction : Fields and Bischoff (2004), Belarbi and Hsu (1994), CEB-FIP (1993), Collins and Mitchell (1991) et AIJ (1986).

Figure 2-20 : Comparaison des lois de raidissement en traction (tirée de Massicotte et al., 2012)

En ignorant le raidissement en traction, EPM3D utilise plutôt la loi post-pic adoucissante présentée à la Figure 2-19.