Aérodynamique

Il est possible de quantifier la puissance disponible dans le vent à l’aide des définitions du débit massique et de l’énergie cinétique. En effet, le vent est le résultat du déplacement d’une masse d’airmde densitéρà une vitessev. La quantité de masse traversant un disque d’aireAen une période de temps donnée s’exprime à l’aide de l’équation 1.2.

dm

dt =ρAv (1.2)

E_c,v = 1

2mv² (1.3)

L’énergie cinétiqueE_c,v d’une masse de vent est proportionnelle à sa vitessev élevée au carré (équation 1.3). La puissance disponible dans le ventP_v est, quant à elle, la quantité d’énergie cinétiqueE_c,v fournie par unité de temps. En combinant les équations 1.2 et 1.3, on obtient :

P_v = dE_c,v

L’équation 1.4 montre que la puissance varie en fonction de la vitesse du vent élevée au cube.

Le coefficient de puissanceC_P exprime l’efficacité de la conversion de puissance au rotor. Il est le résultat de la division de la puissance mécaniqueP_mparP_v (équation 1.5). En pratique, il est impossible d’extirper toute la puissance contenue dans le vent, car ceci aurait pour effet d’immobiliser complètement la masse d’air tout juste derrière le rotor. Pour cette raison, la limite théorique deC_P, appelée limite de Betz, est de¹⁶/27ou 0,593. Elle est obtenue à l’aide de la théorie de la quantité de mouvement (momentum theory), qui décrit la relation entre la vitesse du vent en amont et en aval du rotor. La figure 1.10 montre la puissanceP_v ainsi que la puissance maximale exploitable selon la limite de Betz. En considérant le rendement des divers systèmes des éoliennes, ces dernière opèrent à des valeurs deC_P inférieures à 0,5.

C_P = P_m

P_v = P_m 1

2ρπR²v³

(1.5)

La puissance mécanique d’une éolienne peut également être exprimée par la relation 1.6 oùω est la vitesse angulaire du rotor.

P_m =Qω (1.6)

0 2 4 6 8 10 12 0

5 10 15 20 25

v(m/s)

P(kW)

Pv

Pm,Betz

Figure 1.10 Puissance totale du vent et puissance mécanique maximale exploitable selon la limite de

Betz pour l’éolienne du WESNet (ρ= 1.225kg/m³etR= 4.04m).

Le couple Q est le produit des forces aérodynamiques de portanceL et de traînée Dcausée par le vent circulant de part et d’autre d’un profil aérodynamique. La théorie de l’élément de pale (blade element theoryou BEM) permet de calculer ces forces sur de petites sections d’une pale appelées éléments (figure 1.11a). Le coupleQet la pousséeT résultent de la somme des forces de tous les éléments. Cette théorie se base sur deux hypothèses :

• les forces par unité de longueurdL etdD sont déterminées uniquement par les coeffi-cients aérodynamiques des profils des éléments ;

• il n’y a pas d’interaction aérodynamique entre les éléments.

Les équations 1.7 permettent de trouver les forces par unité de longueur dL et dD à partir des coefficients de portance C_l et de traînée C_d. Ces derniers sont déterminés par le profil aérodynamique d’un élément. Ils varient en fonction de l’angle d’incidence du vent relatifv_rel, aussi appelé angle d’attaque et identifiéα. Leurs valeurs sont précalculées pour chaque profil (figure 1.12). La variablecest la corde, c’est-à-dire la distance entre les bords d’attaque et de fuite du profil. La portancedLest toujours perpendiculaire àv_relalors que la traînéedDy est

toujours parallèle (figure 1.11b). Tel que montré sur la figure 1.11b, une variation de l’angle de calage de la paleβcause une modification deαentraînant un changement deC_let deC_d.

dL= 1

Figure 1.11 La théorie de l’élément de pale : (a) représentation d’un rotor avec illustration d’un élément et représentation du coupleQet de la poussée T, (b) détail d’un élément avec identification des variables et des principales

forces aérodynamique.

L’angle φ d’arrivée du vent relatifv_rel ainsi que sa vitesse dépendent de la vitesse axiale du vent atmosphériquev et de la vitesse linéaire d’un point de la palerω. Or, la vitesse axiale du vent à la palev_aet la vitesse radialev_rot (équation 1.8a) sont utilisées pour calculerv_rel. Les coefficients d’induction axialeaet tangentiel a permettent de tenir compte du ralentissement

−150 −100 −50 0 50 100 150

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

α(deg)

C_L C_D

Figure 1.12 Graphique des coefficients de portanceC_l et de traînéeC_den fonction de l’angle d’attaqueαpour

le profil profil DU-00-W-212.

de l’air traversant le rotor et de l’effet de la rotation de l’air dans son sillage. La valeur de ces deux coefficients est calculée à l’aide de la BEM. Q, T et P_m sont obtenus une fois a et a définis pour tous les éléments.

v_a=v(1−a) (1.8a)

v_rot=rω(1 +a) (1.8b)

v²_rel=v²_a+v_rot² (1.8c)

Par conséquent, trois facteurs peuvent avoir un impact sur le C_P d’une éolienne : la vitesse du ventv, la vitesse angulaire du rotorωet l’angle de calageβ¹. La puissance mécaniqueP_m peut être exprimée par l’équation 1.9.

1. Dans la littérature, l’angle de calage de la pale est souvent identifiéθ_p,0alors que l’angle de vrille local est identifiéθ_p. Dans cette explication, un angle de vrille nul est considéré etβ est utilisé pour l’angle de calage de la pale.

P_m = 1

2ρπR²v³C_P(v, ω, β) = 1

2ρπR²v³C_P(λ, β) (1.9) L’introduction de la vitesse en bout de paleλ permet de lierv etωen une seule variable sans unité :

λ= ωR

v (1.10)

Cette relation entre la vitesse tangentielle du bout de pale et la vitesse axiale du vent apparaît fréquemment dans les calculs aérodynamiques d’éoliennes. La figure 1.13a montre la cartogra-phie deC_P en fonction deλet deβ. Elle permet d’effectuer deux constats. Premièrement, le coefficient de puissance optimal est atteint à une seule valeur deλidentifiéeλ_opt. Ceci signifie queωdoit toujours être proportionnel àvafin de tirer la puissance maximale du vent. La figure 1.13a confirme qu’une valeur deλ_opt = 8permet d’obtenir leC_P optimal pour l’éolienne du WESNet. Deuxièmement, le coefficient de puissance maximal est atteint à une seule valeur deβ identifiéeβ_opt et une augmentation deβ entraîne une baisse deC_P ou, autrement dit, de l’efficacité de l’éolienne (figure 1.14c).

Figure 1.13 Tracé de contours en fonction deβet deλpour l’éolienne du WESNet avec ρ= 1.225kg/m²etR= 4.04m pour : (a)C_P et (b)C_Q.

0 50 100 150 200 250

Figure 1.14 P_metQen fonction de la vitesse de rotationωpour l’éolienne du WESNet avec ρ= 1.225kg/m²etR= 4.04m : (a)Pmselon la vitesse du ventvpourβ = 5^◦, (b)Qselonv

pourβ= 5^◦, (c)P_mselonβpourv= 9,5m/s, (d)Qselonβpourv= 9,5m/s.

Une réorganisation de l’équation 1.6 met en évidence que le coupleQest également fonction de λ et de β (équation 1.11), et qu’il est proportionnel à la vitesse axiale du vent élevée au carré.

Le coefficient de coupleC_Qest défini par l’équation 1.12 et permet d’écrire une équation pour

La figure 1.14b montre que le couple maximal pour toute vitesse de vent n’est pas obtenu à λ_opt, mais bien à une valeur inférieure λ_Q comme démontré par le tracé de contour 1.13b. La figure 1.14d montre l’influence de l’angle de calage βsur le coupleQ: une augmentation de β entraîne une diminution du couple maximal pouvant être extrait du vent. Ces notions sont utilisées pour optimiser l’exploitation d’une éolienne.