ω − model

Ce modèle est né de la volonté de Rieutord et Espinosa Lara de développer un modèle analytique relativement simple à manipuler, mais qui capture correctement les phénomènes physiques essentiels, permettant ainsi d’être plus précis que la loi de von Zeipel (VONZEIPEL,1924), laquelle reste trop approximative. En effet, l’expression de von Zeipel, c’est-à-dire Teff ∝ geffβ où β = 0.25 pour les enveloppes radiatives (expression originale de Von Zeipel) et β = 0.08 pour les enveloppes convectives (LUCY,1967), entraîne une distribution de production d’énergie non- physique. Ce « paradoxe de von Zeipel » est expliqué par exemple dans RIEUTORD (2016). Or, il est désormais nécessaire de modéliser cette distribution de flux pour des étoiles en rotation rapide pour pouvoir interpréter les données toujours plus précises auxquelles l’interférométrie nous donne accès. En modélisant la physique de telles étoiles de façon simplifiée, ils sont parvenus à obtenir des modèles dans lesquels la dépendance en latitude des paramètres physiques (température, gravité, vitesse de rotation angulaire...) en tout point de l’étoile est gouvernée par le seul paramètre ω (d’où le nom d’ω − model).

3. La vitesse critique réelle Ωcest inconnue tant que le modèle n’est pas calculé à cette vitesse-là.

La vitesse critique du modèle de Roche est souvent utilisée dans la littérature, mais c’est seulement une transformation de la vitesse de rotation keplerienne ΩK. C’est donc la vitesse keplerienne qui

sera utilisée comme référence de la vitesse de rotation angulaire dans la suite du manuscrit, ω = 0.5 signifiant ainsi que la vitesse angulaire est égale à 50 % de la vitesse keplerienne. Une explication plus poussée de la différence entre vitesse critique et vitesse keplerienne est donnée en appendice de RIEUTORD(2016).

Le calcul des paramètres physiques dans l’ω − model se fait à partir de plusieurs hypothèses :

— L’énergie est conservée dans l’étoile, en terme de bilan énergie produite dans le cœur / énergie libérée à la surface.

— Il n’y a pas de source d’énergie dans l’enveloppe. L’intégralité de l’énergie produite par l’étoile est produite lors des réactions de fusion dans son cœur. La condition précédente et celle-ci se traduisent par une divergence nulle du flux radiatif dans l’enveloppe de l’étoile, ∇ · F = 0.

— Le flux radiatif est anti-parallèle à la gravité effective. Ceci n’est pas exactement vrai dans une enveloppe radiative, où le gradient de température n’est pas aligné avec le gradient du potentiel gravitationnel, dû à la baroclinicité dans les étoiles en rotation rapide. Or, le flux radiatif est anti-parallèle au gradient de température. Cependant, comme montré dans la Fig. 1 de ESPINOSA LARA et RIEUTORD (2011), la différence de direction entre les deux gradients ne dépasse pas 0.5 degré, même pour une étoile tournant à 90 % de sa vitesse critique. Cette hypothèse est donc robuste, même à vitesse de rotation élevée. Le flux est donc de la forme F = −f (r, θ)geff, avec r, θ et φ les coordonnées sphériques. La gravité effective est ici donnée par le modèle de Roche, modèle amplement utilisé dans la communauté pour la représentation de la distribution de masse dans les étoiles de masse intermédiaire et massives, qui représentent la majorité des rotateurs rapides pour lesquels l’ω −model fut conçu. Ce modèle suppose que l’intégralité de la masse de l’étoile est concentrée en un point, en son cœur, approximation valable pour de telles étoiles (voir COLLINS,1963, par exemple pour une description du formalisme de Roche).

De ces trois conditions découle le fait que la variation latitudinale de flux dans l’étoile dépend d’un seul paramètre ω, rapport entre la vitesse angulaire de rotation et la vitesse de rotation képlerienne à l’équateur :

ω = Ω ΩK = _qΩ GM R3 eq . (2.6)

Couplées aux conditions limites appropriées, ces trois hypothèses suffisent à décrire une étoile déformée par la rotation, avec des résultats similaires aux modèles 2D produits par le code ESTER. En effet, on peut voir d’après la Fig. 5 de RIEUTORD (2016), reproduite ici en Fig.2.2que l’exposant β équivalent de modèles obtenus grâce à l’ω − model et celui de modèles faits avec ESTER sont identiques jusqu’à un aplatissement ε ∼ 0.25, avec un écart de moins de 3 % à ε = 0.3, sachant que ε = 0.33 correspond à la vitesse critique (dans l’approximation de Roche). Le même constat peut être fait pour la température effective, avec ESPINOSA LARAet RIEUTORD (2011) démontrant (Fig. 3, également reproduite en Fig. 2.2) que le rapport Teq/Tpoledonné par un ω − model est identique à celui donné par un modèle

Fig. 2.2.: Comparaison des modèles ESTER et ω−model. Dans les deux cas, la ligne continue représente l’ω − model. En haut, le coefficient β équivalent à celui de von Zeipel est indiqué en fonction de l’aplatissement de l’étoile. La courbe de style tiret-point représente le code ESTER, tandis que les deux courbes en tirets représentent les valeurs extrêmes de β pouvant être obtenues à la surface pour un modèle de type β

(voir RIEUTORD,2016). En bas, le rapport des températures équatoriale et polaire

est indiqué en fonction de l’aplatissement, pour l’ω − model, 2 modèles ESTER

(croix pour Xc= X et triangles pour Xc= 0.5X), et la loi de von Zeipel (tirets).

ESTER, quelle que soit la vitesse de rotation, et même à un stade avancé de la phase séquence principale de l’étoile (représenté ici par un ratio Xc/X égal à 0.5).

Les modèles de type ω − model dépendent uniquement des paramètres d’entrée suivants : le rayon équatorial Req, la masse M , la luminosité L, et le ratio ω. Ils ne permettent donc pas de déterminer les valeurs optimales d’autres paramètres fondamentaux de l’étoile tels que sa métallicité, ou son stade évolutif (simulé dans ESTER par le ratio Xc/X). Cette dépendance à un faible nombre de paramètres peut s’avérer utile, comme je le démontrerai dans la Sect.3. L’autre intérêt évident de l’ω − model est sa rapidité. Le calcul des paramètres physiques est presque instantané, ce qui est attendu pour un modèle analytique qui ne calcule pas la structure interne de l’étoile, mais seulement sa surface.